高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示同步测试题，共9页。
A.14B.214
C.314D.914
2.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
3.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,则( )
A.A1C⊥B1DB.A1C⊥BC
C.B1D⊥BCD.B1D⊥AC
4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是( )
A.异面
B.平行
C.垂直不相交
D.垂直且相交
5.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为( )
A.7B.73
C.14D.142
6.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,点M在AC1上且AM=12MC1,点N为B1B的中点,则|MN|为( )
A.66B.156
C.216D.153
7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC⁃A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,BN=13BB1,MG=3GN,若AG=xAA1+yAB+zAC,则x+y+z=( )
A.78B.98
C.118D.138
8.(5分)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若D为A1C与AC1的交点,点E为空间中一点,且满足B1C1∥ED,EB1∥DC1,则点E的坐标为 .
9.(5分)在空间直角坐标系中,向量a满足|a|=3,且与向量b=(1,1,1)的夹角的余弦值为539,请写出向量a的一个坐标: .
10.(5分)已知空间三点A(-1,1,0),B(2,2,1),C(1,1,1),则点A到直线BC的距离为 .
11.(5分)已知向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB上,存在一点E,使得OE⊥a,其中O为坐标原点,则点E的坐标为 .
12.(5分)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小为 ,若D1E⊥EC,则AE= .
13.(10分)如图,在四棱锥S⁃ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分别为AB,SC,SD的中点.若AB=a,SD=b.
(1)求|EF|;(5分)
(2)求cs.(5分)
14.(10分)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,线段BB1,A1C1,BC的中点分别为D,E,F.已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2.
(1)求证:A1F⊥DE;(5分)
(2)求sin.(5分)
15.(15分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=26.
(1)若点F为DC的中点,求cs;(9分)
(2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当EM⊥BF时,求AMAB的值.(6分)
课时检测(六)
1．选C 因为点A，B，C共线，所以eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(AC,\s\up6(―→))共线，所以eq \f(a,1)＝eq \f(b,2)＝eq \f(b－2,3)，解得a＝－2，b＝－4，故eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－2，－4，－6)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－3，－6，－9)，|eq \(BC,\s\up6(―→))|＝eq \r(－32＋－62＋－92)＝3eq \r(14).
2．选C 因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(3,4，－8)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(2，－3,1)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(5,1，－7)，eq \(BC,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝10－3－7＝0，∴BC⊥AC，而|eq \(BC,\s\up6(―→))|＝eq \r(14)，|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝5eq \r(3)，所以△ABC是直角三角形．
3.选D 以D为原点，{eq \(DA,\s\up6(―→))，eq \(DC,\s\up6(―→))，eq \(DD1,\s\up6(―→))}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
所以eq \(A1C,\s\up6(―→))＝(－1,1，－1)，eq \(B1D,\s\up6(―→))＝(－1，－1，－1)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－1,0,0)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1,1,0)．因为eq \(A1C,\s\up6(―→))·eq \(B1D,\s\up6(―→))＝1，eq \(A1C,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝1，eq \(BC,\s\up6(―→))·eq \(B1D,\s\up6(―→))＝1，eq \(AC,\s\up6(―→))·eq \(B1D,\s\up6(―→))＝0，所以B1D⊥AC.故选D.
4.选B 设正方体的棱长为1.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则eq \(DA1,\s\up6(―→))＝(1,0,1)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1,1,0)．设eq \(PQ,\s\up6(―→))＝(a，b，c)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝0，,－a＋b＝0，))取eq \(PQ,\s\up6(―→))＝(1,1，－1)．∵eq \(BD1,\s\up6(―→))＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1，1)＝－eq \(PQ,\s\up6(―→))，∴eq \(PQ,\s\up6(―→))∥eq \(BD1,\s\up6(―→))，∴PQ∥BD1.
5．选B 因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)，所以eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－2，－1,3)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(1，－3，2)，所以|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝eq \r(14)，|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝eq \r(14)，
所以cs∠BAC＝eq \f(\(AB,\s\up6(―→))·\(AC,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))||\(AC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(－2×1＋－1×－3＋2×3,\r(14)×\r(14))＝eq \f(1,2)，所以∠BAC＝60°，平行四边形面积为2S△ABC，在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(―→))|×|eq \(AC,\s\up6(―→))|×sin∠BAC，设平行四边形的面积为S，所以S＝eq \r(14)×eq \r(14)×sin 60°＝7eq \r(3).
6.选C 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C1(0,1,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且eq \(AM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up6(―→))，∴(x－1，y，z)＝eq \f(1,2)(－x，1－y,1－z)，∴x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)，z＝eq \f(1,3)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)，\f(1,3))).
又Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，∴|eq \(MN,\s\up6(―→))|
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))2)＝eq \f(\r(21),6).
7.选C 如图，以A1为坐标原点，eq \(A1A,\s\up6(―→))，eq \(A1B1,\s\up6(―→))，eq \(A1C1,\s\up6(―→))分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．不妨令AB＝4，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，A1(0,0,0)，C(2，0,2)，M(0,0,1)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，4，0)).因为eq \(MG,\s\up6(―→))＝3eq \(GN,\s\up6(―→))，所以Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(1,4)))，则eq \(AG,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，3，\f(1,4)))，eq \(AA1,\s\up6(―→))＝(－2,0,0)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(0,4,0)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(0,0,2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝－2x，,3＝4y，,\f(1,4)＝2z，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(3,4)，,z＝\f(1,8)，))故x＋y＋z＝eq \f(11,8).
8．解析：由题意知B1(1,0,2)，C1(0,1,2)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，设点E(x，y，z)，则eq \(B1C1,\s\up6(―→))＝(－1,1,0)，eq \(DC1,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，eq \(ED,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(1,2)－y，1－z))，eq \(EB1,\s\up6(―→))＝(1－x，－y，2－z)，因为B1C1∥ED，EB1∥DC1，所以设eq \(ED,\s\up6(―→))＝λeq \(B1C1,\s\up6(―→))，eq \(EB1,\s\up6(―→))＝μeq \(DC1,\s\up6(―→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＝－λ，,\f(1,2)－y＝λ，,1－z＝0，))且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＝0，,－y＝\f(1,2)μ，,2－z＝μ，))解得λ＝μ＝1，x＝1，y＝－eq \f(1,2)，z＝1，所以点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，1))
9．解析：设a＝(x，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝9，,cs〈a，b〉＝\f(a·b,|a||b|)＝\f(x＋y＋z,3×\r(3))＝\f(5\r(3),9)，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝9，,x＋y＋z＝5.))
则向量a的一个坐标为(1,2,2)．
答案：(1,2,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(答案不唯一，坐标x，y，z满足\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝9，,x＋y＋z＝5))即可))
10．解析：由题意得eq \(AB,\s\up6(―→))＝(3,1,1)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－1，－1,0)，所以cs〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(―→))·\(BC,\s\up6(―→)),|\(AB,\s\up6(―→))||\(BC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(－4,\r(11)×\r(2))＝－eq \f(2\r(2),\r(11))，可得sin〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝eq \r(1－cs2〈\(AB,\s\up6(―→))，\(BC,\s\up6(―→))〉)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),\r(11))))2)＝eq \f(\r(3),\r(11))，所以点A到直线BC的距离为|eq \(AB,\s\up6(―→))|·sin〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝eq \r(11)×eq \f(\r(3),\r(11))＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
11．解析：设eq \(AE,\s\up6(―→))＝λeq \(AB,\s\up6(―→))，因为A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)，所以eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，－1，－2)，eq \(AE,\s\up6(―→))＝(λ，－λ，－2λ)，eq \(AO,\s\up6(―→))＝(3,1，－4)，eq \(OE,\s\up6(―→))＝eq \(AE,\s\up6(―→))－eq \(AO,\s\up6(―→))＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，因为eq \(OE,\s\up6(―→))⊥a，所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，解得λ＝eq \f(9,5)，又A(－3，－1,4)，eq \(AE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，－\f(9,5)，－\f(18,5)))，所以点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))
12．解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示
的空间直角坐标系．又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．则D(0,0,0)，D1(0，0,1)，A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,2,0)，设E(1，m,0)，0≤m≤2，
则eq \(D1E,\s\up6(―→))＝(1，m，－1)，eq \(A1D,\s\up6(―→))＝(－1,0，－1)，
∴eq \(D1E,\s\up6(―→))·eq \(A1D,\s\up6(―→))＝－1＋0＋1＝0，
∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°.
∵eq \(EC,\s\up6(―→))＝(－1,2－m,0)，D1E⊥EC，
∴eq \(D1E,\s\up6(―→))·eq \(EC,\s\up6(―→))＝－1＋m(2－m)＋0＝0，
解得m＝1，∴AE＝1.
答案：90° 1
13．解：(1)以D为原点，分别以射线DA，DC，DS为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a，0)，C(0，a,0)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)，\f(b,2)))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(b,2)))，所以eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，0，\f(b,2)))，
则|eq \(EF,\s\up6(―→))|＝eq \r(－a2＋02＋\f(b2,4))＝eq \f(\r(4a2＋b2),2).
(2)由(1)知eq \(AG,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，0，\f(b,2)))，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－a,0,0)，
所以cs〈eq \(AG,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(AG,\s\up6(―→))·\(BC,\s\up6(―→)),|\(AG,\s\up6(―→))||\(BC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(a2,a·\r(a2＋\f(b2,4)))＝eq \f(2a,\r(4a2＋b2))＝eq \f(2a\r(4a2＋b2),4a2＋b2).
14．解：(1)证明：由题意易知AB，AC，AA1两两相互垂直，以A为坐标原点，eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AA1,\s\up6(―→))分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A1(0,0,2)，C1(4，0,2)，D(0，2,1)，E(2,0,2)，F(2,1,0)．
因为eq \(A1F,\s\up6(―→))＝(2,1，－2)，eq \(DE,\s\up6(―→))＝(2，－2,1)，
所以eq \(A1F,\s\up6(―→))·eq \(DE,\s\up6(―→))＝2×2＋1×(－2)＋(－2)×1＝0，因此A1F⊥DE.
(2)由(1)知eq \(DE,\s\up6(―→))＝(2，－2,1)，eq \(C1F,\s\up6(―→))＝(－2,1，－2)，
则|eq \(DE,\s\up6(―→))|＝eq \r(22＋－22＋12)＝3，|eq \(C1F,\s\up6(―→))|＝eq \r(－22＋12＋－22)＝3，
可得cs〈eq \(DE,\s\up6(―→))，eq \(C1F,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(DE,\s\up6(―→))·\(C1F,\s\up6(―→)),|\(DE,\s\up6(―→))||\(C1F,\s\up6(―→))|)＝eq \f(2×－2＋－2×1＋1×－2,3×3)＝－eq \f(8,9)，
所以sin〈eq \(DE,\s\up6(―→))，eq \(C1F,\s\up6(―→))〉＝eq \r(1－cs2〈\(DE,\s\up6(―→))，\(C1F,\s\up6(―→))〉)＝eq \f(\r(17),9).
15．解：(1)因为△PBC为等腰直角三角形，∠CPB＝90°，BC＝CD＝4，所以PC＝PB＝2eq \r(2).
又PD2＝(2eq \r(6))2＝24，PC2＋CD2＝(2eq \r(2))2＋42＝24，所以DC⊥PC.
而CD⊥AD，AD∥BC，故CD⊥BC，
因为PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC.
以C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(2eq \r(2)，0,0)，B(2eq \r(2)，2eq \r(2)，0)，F(0,0,2)，A(eq \r(2)，eq \r(2)，4)，eq \(AP,\s\up6(―→))＝(eq \r(2)，－eq \r(2)，－4)，
eq \(BF,\s\up6(―→))＝(－2eq \r(2)，－2eq \r(2)，2)，
所以cs 〈eq \(AP,\s\up6(―→))，eq \(BF,\s\up6(―→))〉＝eq \f(\(AP,\s\up6(―→))·\(BF,\s\up6(―→)),|\(AP,\s\up6(―→))||\(BF,\s\up6(―→))|)＝
eq \f(\r(2)×－2\r(2)＋－\r(2)×－2\r(2)＋－4×2,2\r(5)×2\r(5))＝－eq \f(2,5).
(2)由(1)知E(2eq \r(2)，eq \r(2)，0)，设eq \(AM,\s\up6(―→))＝teq \(AB,\s\up6(―→))，
而eq \(AB,\s\up6(―→))＝(eq \r(2)，eq \r(2)，－4)，所以eq \(AM,\s\up6(―→))＝(eq \r(2)t，eq \r(2)t，－4t)，
所以M(eq \r(2)＋eq \r(2)t，eq \r(2)＋eq \r(2)t,4－4t)，所以eq \(EM,\s\up6(―→))＝(eq \r(2)t－eq \r(2)，eq \r(2)t,4－4t)．又eq \(BF,\s\up6(―→))＝(－2eq \r(2)，－2eq \r(2)，2)，eq \(EM,\s\up6(―→))⊥eq \(BF,\s\up6(―→))，所以eq \(EM,\s\up6(―→))·eq \(BF,\s\up6(―→))＝－2eq \r(2)×(eq \r(2)t－eq \r(2))－2eq \r(2)×eq \r(2)t＋8－8t＝0，解得t＝eq \f(3,4)，所以eq \f(|\(AM,\s\up6(―→))|,|\(AB,\s\up6(―→))|)＝eq \f(3,4).