数学选择性必修 第一册空间向量及其运算课时作业

这是一份数学选择性必修 第一册空间向量及其运算课时作业，共7页。试卷主要包含了解析等内容，欢迎下载使用。
1．在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与eq \(AB,\s\up6(―→))相等的是( )
A.eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→)) B.eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))
C.eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→)) D.eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))
2．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝eq \r(7)，则a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．下列条件中，能说明空间中不重合的三点A，B，C共线的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→)) B.eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))
C．|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝|eq \(BC,\s\up6(―→))| D.eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))
4．已知两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a，且AB⊥b.已知AE＝6，BF＝8，EF＝2eq \r(39)，则线段AB的长为( )
A．10 B．2eq \r(26)
C．2eq \r(2)或10 D．2eq \r(2)或2eq \r(26)
5.如图，在四面体OABC中，设eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b，eq \(OC,\s\up6(―→))＝c，G为△OAB的重心，H为AC的中点，则eq \(GH,\s\up6(―→))＝( )
A.eq \f(1,6)a－eq \f(1,3)b＋eq \f(1,2)c
B．－eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b－eq \f(1,3)c
C.eq \f(1,6)a－eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c
D．－eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b＋eq \f(1,2)c
6．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面边长AB＝1，AA1＝eq \r(2)，P是正四棱柱表面上一点，则eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(PC1,\s\up6(―→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，1))
7．(多选)已知向量a，b，记|a×b|＝|a|·|b|·sin〈a，b〉，如|a|＝2，|b|＝3，a，b的夹角为30°，则|a×b|＝|a|·|b|·sin 30°＝2×3×eq \f(1,2)＝3，若在正三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝2，则( )
A．|eq \(AB,\s\up6(―→))×eq \(AC,\s\up6(―→))|＝2eq \r(3) B．|eq \(A1C1,\s\up6(―→))×eq \(A1C,\s\up6(―→))|＝eq \f(\r(3),2)
C．|eq \(BA,\s\up6(―→))×eq \(BA1,\s\up6(―→))|＝eq \r(2) ．|eq \(BA1,\s\up6(―→))×eq \(BC1,\s\up6(―→))|＝eq \f(\r(11),2)
8．(多选)在四面体P­ABC中，下列说法正确的有( )
A．若eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))，则eq \(BC,\s\up6(―→))＝2eq \(BD,\s\up6(―→))
B．若四面体P­ABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|eq \(MN,\s\up6(―→))|＝1
C．若eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝0，eq \(PC,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))＝0，则eq \(PB,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝0
D．若Q为△ABC的重心，则eq \(PQ,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(―→))
9．(5分)在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))的化简结果为______．
10.(5分)如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则向量eq \(PC,\s\up6(―→)) 在eq \(BC,\s\up6(―→)) 上的投影向量为__________．
11．(10分)如图，在四面体O­ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b，eq \(OC,\s\up6(―→))＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量a，b，c表示向量eq \(MN,\s\up6(―→))，eq \(OG,\s\up6(―→))；(5分)
(2)试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面．(5分)
12．(15分)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长均为eq \r(2).
(1)若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(8分)
(2)若AB1与BC1所成的角为eq \f(π,3)，求侧棱的长．(7分)
周末作业答案
第1周·周末作业
1．选B eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))，A错误；eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))，B正确；eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))，C错误；eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))，D错误．
2．选C 由题设a＋b＝－c，则a2＋2a·b＋b2＝c2，故5＋2a·b＝7，所以cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，可得〈a，b〉＝60°.
3．选D 对于空间中的任意向量，都有eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))，选项A错误；若eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))，则eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))，而eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))，据此可知eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(CB,\s\up6(―→))，即B，C两点重合，选项B错误；|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝|eq \(BC,\s\up6(―→))|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项C错误；eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))，则A，B，C三点共线，选项D正确．
4.选D 因为eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(EA,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BF,\s\up6(―→))，所以eq \(EF,\s\up6(―→))2＝eq \(EA,\s\up6(―→))2＋eq \(AB,\s\up6(―→))2＋eq \(BF,\s\up6(―→))2＋2eq \(EA,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))＋2eq \(EA,\s\up6(―→))·eq \(BF,\s\up6(―→))＋2eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(BF,\s\up6(―→))，又异面直线a，b所成的角为60°，EF＝2eq \r(39)，AE＝6，BF＝8，故156＝36＋|eq \(AB,\s\up6(―→))|2＋64＋48或156＝36＋|eq \(AB,\s\up6(―→))|2＋64－48，则|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2eq \r(2)或|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2eq \r(26).
5.选A 如图，连接OH，连接OG并延长交AB于点D，则D为AB中点，且eq \(OG,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(―→))，∴eq \(OG,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)·eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)．∵H为AC的中点，∴eq \(OH,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,2)(a＋c)，∴eq \(GH,\s\up6(―→))＝eq \(OH,\s\up6(―→))－eq \(OG,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)(a＋c)－eq \f(1,3)(a＋b)＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,3)b＋eq \f(1,2)c.
6．选B 设AC1的中点为O，则eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(PC1,\s\up6(―→))
＝(eq \(PO,\s\up6(―→))＋eq \(OA,\s\up6(―→)))·(eq \(PO,\s\up6(―→))＋eq \(OC1,\s\up6(―→)))＝(eq \(PO,\s\up6(―→))＋eq \(OA,\s\up6(―→)))·(eq \(PO,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→)))＝|eq \(PO,\s\up6(―→))|2－|eq \(OA,\s\up6(―→))|2，又|eq \(OA,\s\up6(―→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AC1,\s\up6(―→))|＝eq \f(1,2)×eq \r(1＋1＋2)＝1，∵当P为正四棱柱的侧面的中心时，|eq \(PO,\s\up6(―→))|min＝eq \f(1,2)，当P为正四棱柱的顶点时，|eq \(PO,\s\up6(―→))|max＝eq \f(1,2)|eq \(AC1,\s\up6(―→))|＝1，∴|eq \(PO,\s\up6(―→))|2－|eq \(OA,\s\up6(―→))|2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))，则eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(PC1,\s\up6(―→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0)).
7.选ABD 对于A，在正三棱台ABC­A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1＝2，|eq \(AB,\s\up6(―→))×eq \(AC,\s\up6(―→))|＝|eq \(AB,\s\up6(―→))|·|eq \(AC,\s\up6(―→))|·sin∠BAC＝2×2×sin 60°＝2eq \r(3)，故A正确；对于B，在正三棱台ABC­A1B1C1中，易知∠A1AC＝60°，所以A1C＝eq \r(3)，sin∠CA1C1＝sin 30°＝eq \f(1,2)，所以|eq \(A1C1,\s\up6(―→))×eq \(A1C,\s\up6(―→))|＝|eq \(A1C1,\s\up6(―→))|·|eq \(A1C,\s\up6(―→))|·sin∠CA1C1＝1×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)，故B正确；对于C，同理可知A1B＝eq \r(3)，sin∠ABA1＝eq \f(1,2)，所以|eq \(BA,\s\up6(―→))×eq \(BA1,\s\up6(―→))|＝|eq \(BA,\s\up6(―→))|·|eq \(BA1,\s\up6(―→))|·sin∠ABA1＝2×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \r(3)，故C错误；对于D，易知△BA1C1是腰长为eq \r(3)，底边长为1的等腰三角形，则cs∠A1BC1＝eq \f(3＋3－1,2×\r(3)×\r(3))＝eq \f(5,6)，故sin∠A1BC1＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))2)＝eq \f(\r(11),6)，所以|eq \(BA1,\s\up6(―→))×eq \(BC1,\s\up6(―→))|＝eq \r(3)×eq \r(3)×eq \f(\r(11),6)＝eq \f(\r(11),2)，故D正确．
8.选CD 如图，对于A，由eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))，得3eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋2eq \(AB,\s\up6(―→))，得(eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→)))＋2(eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→)))＝0，得eq \(CD,\s\up6(―→))＋2eq \(BD,\s\up6(―→))＝0，则eq \(BC,\s\up6(―→))＝3eq \(BD,\s\up6(―→))，故A错误；对于B，eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(PN,\s\up6(―→))－eq \(PM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(―→))，得2eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→))－eq \(PA,\s\up6(―→))，得4|eq \(MN,\s\up6(―→))|2＝|eq \(PB,\s\up6(―→))|2＋|eq \(PC,\s\up6(―→))|2＋|eq \(PA,\s\up6(―→))|2＋2eq \(PB,\s\up6(―→))·eq \(PC,\s\up6(―→))－2eq \(PB,\s\up6(―→))·eq \(PA,\s\up6(―→))－2eq \(PC,\s\up6(―→))·eq \(PA,\s\up6(―→))＝4＋4＋4＋2×2×2×cs 60°－2×2×2×cs 60°－2×2×2×cs 60°＝8，得|eq \(MN,\s\up6(―→))|＝eq \r(2)，故B错误；对于C，因为eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝0，eq \(PC,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))＝0，所以eq \(PA,\s\up6(―→))·(eq \(BP,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→)))＝0，eq \(PC,\s\up6(―→))·(eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \(PB,\s\up6(―→)))＝0，将两式相加，得eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(BP,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→))·eq \(PB,\s\up6(―→))＝0，即eq \(PB,\s\up6(―→))·(eq \(AP,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→)))＝0，得eq \(PB,\s\up6(―→))·eq \(AC,\s\up6(―→))＝0，故C正确；对于D，eq \(PQ,\s\up6(―→))＝eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(AQ,\s\up6(―→))＝eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(―→))＝eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(PN,\s\up6(―→))－eq \(PA,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(PN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(―→))，故D正确．
9．解析：如图，取BC的中点F，连接DF，因为E为等边△BCD的中心，F为BC的中点，则eq \(DF,\s\up6(―→))＝eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(―→))，故eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BF,\s\up6(―→))－eq \(DF,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝eq \(AF,\s\up6(―→))＋eq \(FD,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝0.
答案：0
10．解析：∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，eq \(PC,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝(eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(PA,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝0＋6×6×eq \f(1,2)＋62＝54，∴向量eq \(PC,\s\up6(―→))在eq \(BC,\s\up6(―→))上的投影向量为eq \f(\(PC,\s\up6(―→))·\(BC,\s\up6(―→)),|\(BC,\s\up6(―→))|)·eq \f(\(BC,\s\up6(―→)),|\(BC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(54,36)eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(―→)).
答案：eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(―→))
11．解：(1)eq \(MN,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)a，
eq \(OG,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AG,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(―→))
＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)．
(2)证明：因为eq \(GH,\s\up6(―→))＝eq \(OH,\s\up6(―→))－eq \(OG,\s\up6(―→))，eq \(OH,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(OC,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)(b＋c)，
所以eq \(GH,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)(b＋c)－eq \f(1,3)(a＋b＋c)
＝－eq \f(1,3)a＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(―→))，
eq \(MN,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))，所以eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \f(3,2)eq \(GH,\s\up6(―→)).
所以M，N，G，H四点共面．
12．解：(1)证明：因为eq \(AB1,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BB1,\s\up6(―→))，eq \(BC1,\s\up6(―→))＝eq \(BB1,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)).
又BB1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，
所以eq \(BB1,\s\up6(―→))·eq \(AB,\s\up6(―→))＝0，eq \(BB1,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝π－〈eq \(BA,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＝π－eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3).
因为eq \(AB1,\s\up6(―→))·eq \(BC1,\s\up6(―→))＝(eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BB1,\s\up6(―→)))·(eq \(BB1,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))＝eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(BB1,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))＋|eq \(BB1,\s\up6(―→))|2＋eq \(BB1,\s\up6(―→))·eq \(BC,\s\up6(―→))
＝|eq \(AB,\s\up6(―→))||eq \(BC,\s\up6(―→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＋|eq \(BB1,\s\up6(―→))|2＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知eq \(AB1,\s\up6(―→))·eq \(BC1,\s\up6(―→))＝|eq \(AB,\s\up6(―→))||eq \(BC,\s\up6(―→))|·cs〈eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(BC,\s\up6(―→))〉＋|eq \(BB1,\s\up6(―→))|2＝|eq \(BB1,\s\up6(―→))|2－1，
又|eq \(AB1,\s\up6(―→))|＝eq \r(\(AB,\s\up6(―→))＋\(BB1,\s\up6(―→))2)＝
eq \r(2＋|\(BB1,\s\up6(―→))|2)＝|eq \(BC1,\s\up6(―→))|.
所以cs eq \f(π,3)＝|cs〈eq \(AB1,\s\up6(―→))，eq \(BC1,\s\up6(―→))〉|
＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(―→))·\(BC1,\s\up6(―→))|,|\(AB1,\s\up6(―→))||\(BC1,\s\up6(―→))|)＝eq \f(||\(BB1,\s\up6(―→))|2－1|,2＋|\(BB1,\s\up6(―→))|2)＝eq \f(1,2)，
解得|eq \(BB1,\s\up6(―→))|＝2，即侧棱长为2.