人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示巩固练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示巩固练习，共6页。试卷主要包含了设平面SCD的法向量为n＝，等内容，欢迎下载使用。
A.(1,2,3)B.(1,3,2)
C.(2,1,3)D.(3,2,1)
2.在空间直角坐标系中,坐标平面Oyz的一个法向量可以是( )
A.n=(0,0,1)B.n=(0,1,0)
C.n=(1,0,0)D.n=(1,1,1)
3.若平面α的一个法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是( )
A.(-1,-1,-1)B.(4,2,-1)
C.(3,2,1)D.(2,2,0)
4.在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ=( )
A.-7B.-5
C.5D.7
5.已知直线a,b的方向向量分别为a=(1,0,-1),b=(1,-1,0),且直线a,b均平行于平面α,平面α的单位法向量为( )
A.33,33,33
B.−33,−33,−33
C.(1,1,1)
D.33,33,33或−33,−33,−33
6.已知平面α={P|n·P0P=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是( )
A.(3,2,1)B.(-2,5,4)
C.(-3,5,4)D.(2,-4,8)
7.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A⁃BCD中,AB⊥平面BCD,
∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为( )
A.(0,1,0)B.(0,1,1)
C.(1,1,1)D.(1,1,0)
8.如图,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2.
平面OCB1的法向量n=(x,y,z)为( )
A.(0,1,1)B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1)D.(-1,-1,1)
9.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,六面体ABCD⁃A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,
正确的是( )
A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)
B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1)
10.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量为 .
11.(5分)已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=1, AD=12,则平面SCD的一个法向量为 .
12.(5分)已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为 ,点P的坐标满足的条件为 .
13.(10分)如图,已知长方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长AB=2,AD=4,AA'=3.以点D为原点,分别以DA,DC,DD'为x轴、y轴、z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,求下列直线的一个方向向量:
(1)AA';(6分)
(2)BD'.(4分)
14.(10分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为1的正三角形,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面DEF的一个法向量.
课时检测(七)
1．选A 因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2,4,6)，又(1,2,3)＝eq \f(1,2)(2，4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
2．选C 设y轴的方向向量j＝(0,1,0)，z轴的方向向量k＝(0,0,1)，坐标平面Oyz的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(j·n＝0，,k·n＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝0，,z＝0，))令x＝1，则n＝(1,0,0)，故选C.
3．选D 设点Q(x，y，z)在平面α上，因为P(1，1,1)，所以eq \(PQ,\s\up6(―→))＝(x－1，y－1，z－1)，由eq \(PQ,\s\up6(―→))·n＝(x－1)×1＋(y－1)×2＋(z－1)×3＝0，得x＋2y＋3z＝6，依次验证选项，只有D满足．
4．选D 因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1,1，－2)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－2,0,1)，所以n·eq \(AB,\s\up6(―→))＝－1＋λ－2μ＝0，n·eq \(BC,\s\up6(―→))＝－2＋μ＝0，可得μ＝2，λ＝5，所以λ＋μ＝7.
5．选D 设平面α的单位法向量为m＝(x，y，z), eq \r(x2＋y2＋z2)＝1①，因为直线a，b均平行于平面α，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·a＝0，,m·b＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－z＝0②，,x－y＝0③，))由①②③可得x＝y＝z＝eq \f(\r(3),3)或x＝y＝z＝－eq \f(\r(3),3)，故选D.
6．选B 对于A，eq \(P0P,\s\up6(―→))＝(2,0，－2)，n·eq \(P0P,\s\up6(―→))＝1×2＋1×0＋1×(－2)＝0；对于B，eq \(P0P,\s\up6(―→))＝(－3,3,1)，n·eq \(P0P,\s\up6(―→))＝1×(－3)＋1×3＋1×1＝1≠0；对于C，eq \(P0P,\s\up6(―→))＝(－4,3,1)，n·eq \(P0P,\s\up6(―→))＝1×(－4)＋1×3＋1×1＝0；对于D，eq \(P0P,\s\up6(―→))＝(1，－6,5)，n·eq \(P0P,\s\up6(―→))＝1×1＋1×(－6)＋1×5＝0，故选B.
7．选B 根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D(0，1,0)，C(1,1,0)，A(0,0,1)，则eq \(DC,\s\up6(―→))＝(1,0,0)，eq \(AD,\s\up6(―→))＝(0,1，－1)，设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(―→))·m＝x＝0，,\(AD,\s\up6(―→))·m＝y－z＝0，))令y＝1，可得z＝1，则m＝(0,1,1)．
8.选C 由题意建立如图所示的空间直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，且AB＝eq \r(2)，∴AO＝OC＝1，∴OA1＝1，∴A(0，－1,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1,1,0)，eq \(OC,\s\up6(―→))＝(0,1,0)，又eq \(A1B1,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1,1,0)，∴B1(1,1,1)，eq \(OB1,\s\up6(―→))＝(1,1,1)．∵平面OCB1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝0，,x＋y＋z＝0，))得y＝0，x＝－z，结合选项，可得n＝(1,0，－1)，故选C.
9．选AC 由题意，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)．对于A、B，eq \(BD1,\s\up6(―→))＝(－1,1,1)，∴向量(－2,2,2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确；对于C，设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CB1,\s\up6(―→))＝0，,n·\(CD1,\s\up6(―→))＝0.))又eq \(CB1,\s\up6(―→))＝(0，－1,1)，eq \(CD1,\s\up6(―→))＝(－1,0,1)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y＋z＝0，,－x＋z＝0.))令x＝1，可得n＝(1,1,1)，故C正确；对于D，设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(CB1,\s\up6(―→))＝0，,m·\(CD,\s\up6(―→))＝0.))又eq \(CB1,\s\up6(―→))＝(0，－1,1)，eq \(CD,\s\up6(―→))＝(－1，0,0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－b＋c＝0，,－a＝0.))令b＝1，得m＝(0,1,1)，故D不正确．故选AC.
10．解析：∵A(1,1，t)，B(2,2,4)，∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1,1，4－t)．又平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，∴eq \(AB,\s\up6(―→))·m＝3＋1－4＋t＝0，解得t＝0，∴直线AB的一个方向向量为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1,1,4)．
答案：(1,1,4)
11．解析：由题设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则eq \(SC,\s\up6(―→))＝(1,1，－1)，eq \(DC,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0)).设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(SC,\s\up6(―→))＝x＋y－z＝0，,n·\(DC,\s\up6(―→))＝\f(1,2)x＋y＝0，))令y＝1，故n＝(－2,1，－1)是平面SCD的一个法向量．
答案：(－2,1，－1)(答案不唯一)
12．解析：直线OA的一个方向向量为eq \(OA,\s\up6(―→))＝(1,1,1)．由题意知OA⊥α，因为AP⊂α，所以OA⊥AP，eq \(AP,\s\up6(―→))＝(x－1，y－1，z－1)，则eq \(OA,\s\up6(―→))·eq \(AP,\s\up6(―→))＝0，即x－1＋y－1＋z－1＝0，所以x＋y＋z＝3.
答案：(1,1,1)(答案不唯一) x＋y＋z＝3
13．解：(1)由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4,0,0)，B(4,2,0)，A′(4，0,3)，D′(0,0,3)．
因为向量eq \(AA′,\s\up6(―→))＝(0,0,3)，所以直线AA′的一个方向向量为eq \(AA′,\s\up6(―→))＝(0,0,3)．
(2)因为向量eq \(BD′,\s\up6(―→))＝(－4，－2,3)，所以直线BD′的一个方向向量为eq \(BD′,\s\up6(―→))＝(－4，－2,3)．
14．解：连接PF，CF，因为△PAB是边长为1的正三角形，PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
连接AC，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形．又F为AB的中点，所以CF⊥AB.综上可知，直线FB，FC，FP两两垂直，
所以建立以F为原点，FB，FC，FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，由题意，在正△PAB和正△ABC中，FP＝FC＝eq \f(\r(3),2)，则F(0,0,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)，0))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),4)))， 所以eq \(FE,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),4)))，eq \(FD,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)，0)).设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(FE,\s\up6(―→))＝0，,n·\(FD,\s\up6(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)y＋\f(\r(3),4)z＝0，,－x＋\f(\r(3),2)y＝0，))
令y＝2，则x＝eq \r(3)，z＝－2，即n＝(eq \r(3)，2，－2)，
所以平面DEF的一个法向量为n＝(eq \r(3)，2，－2)(答案不唯一)．