高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆练习题，共6页。试卷主要包含了已知椭圆C，设椭圆C1，如图,椭圆C1，若椭圆C等内容，欢迎下载使用。
A.长轴长为12B.焦距为34
C.焦点坐标为0,±34D.离心率为32
2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=3e1,则a=( )
A.233B.2
C.3D.6
3.若椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(kb>0)的离心率e=22,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆的标准方程为( )
A.x22+y24=1B.x24+y28=1
C.x28+y216=1D.x28+y24=1
5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆C交于M,N两点,
若MN=3MF2且∠F1NF2=∠F1F2N,则椭圆C的离心率为( )
A.12B.22
C.35D.13
6.如图,把椭圆x24+y23=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,F是左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=( )
A.16B.18
C.20D.22
7.(多选)已知椭圆C:x24+y23=1,F1,F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点.下列说法正确的是 ( )
A.椭圆离心率为12B.|PF1|的最大值为3
C.0≤∠F1PF2≤π3D.|PF1|+|PF2|=2
8.(多选)如图,椭圆C1:x23+y2=1和C2:y23+x2=1的交点依次为A,B,C,D.则下列说法正确的是( )
A.四边形ABCD为正方形
B.阴影部分的面积大于3
C.阴影部分的面积小于4
D.四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=2
9.(5分)若椭圆C:x2m+y2m2−1=1的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为 .
10.(5分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,C的面积为8π,且离心率为32,则C的标准方程为 .
11.(5分)在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为 cm.
12.(5分)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点,若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为 .
13.(10分)求下列曲线的标准方程.
(1)长轴长为12,离心率为23,焦点在x轴上的椭圆;(5分)
(2)一个焦点为(0,2),长轴长为6的椭圆.(5分)
14.(10分)已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)若P为椭圆的上顶点,且PF1⊥PF2,△F1PF2的面积等于4,求椭圆的标准方程;(5分)
(2)若△POF2为等边三角形,求椭圆C的离心率.(5分)
15.(15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,长轴长与短轴长的和为6,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程;(6分)
(2)设P为椭圆C上一点,M(1,0).若λ=PF1|+PF2|2|PM|,求实数λ的取值范围.(9分)
课时检测(三十)
1．选CD 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq \f(x2,\f(1,16))＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r(3),4)，所以长轴长2a＝1，焦距2c＝eq \f(\r(3),2)，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(\r(3),4)))，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
2．选A 由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \\al(2,2)＝3eeq \\al(2,1).因此eq \f(3,4)＝3×eq \f(a2－1,a2).因为a＞1，所以a＝eq \f(2\r(3),3).
3．选B 因为k9－k>0，所以椭圆eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(kb>0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝8，,\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(3),2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2，))所以C的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
11．解析：设小椭圆的长半轴长为a，a>0，依题意，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))，则eq \f(202－102,202)＝eq \f(a2－52,a2)，解得a＝10，所以小椭圆的长轴长为2a＝20 cm.
答案：20
12．解析：如图，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝eq \r(a2＋b2)，由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，
且b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)>0，得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2).
答案：eq \f(\r(5)－1,2)
13．解：(1)由题意，2a＝12，∴a＝6，又e＝eq \f(2,3)，即eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝36－16＝20，又焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1.
(2)由题意，c＝2，椭圆焦点在y轴上，2a＝6，即a＝3，∴b2＝a2－c2＝5，
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1.
14．解：(1)由题意可得|PF1|＝|PF2|＝a，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＝4c2，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(a2,2)＝4，所以a2＝8，所以b2＝4，
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)法一 若△POF2为等边三角形，则P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，±\f(\r(3),2)c))，代入方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，可得eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，解得e2＝4±2eq \r(3)，又00)的离心率为eq \f(\r(3),2)，得eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝2b.
由长轴长与短轴长的和为6，得2a＋2b＝6，则a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知，y2＝1－eq \f(x2,4)，x∈[－2,2]，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
因此λ＝eq \f(2,|PM|)＝eq \f(2,\r((x－1)2＋y2))
＝eq \f(2,\r((x－1)2＋1－\f(x2,4)))
＝eq \f(2,\r(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋\f(2,3)))，
由x∈[－2,2]，得eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋eq \f(2,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，9))，则eq \f(2,3)≤λ≤ eq \r(6)，所以实数λ的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\r(6))).