数学人教A版 (2019)椭圆一课一练

这是一份数学人教A版 (2019)椭圆一课一练，共10页。试卷主要包含了已知直线l，已知椭圆C，已知椭圆E，如图,椭圆有这样的光学性质等内容，欢迎下载使用。
A.相离B.相切
C.相交D.相交或相切
2.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是( )
A.13,−23B.−23,13
C.12,−13D.−13,12
3.经过点P1,32且与椭圆x24+y2=1相切的直线方程是( )
A.x+23y-4=0B.x-23y-4=0
C.x+23y-2=0D.x-23y+2=0
4.已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为( )
A.45B.65
C.85D.135
5.若椭圆x24+y23=1的弦AB中点坐标为1,12, 则直线AB的斜率为( )
A.32B.-32
C.38D.-38
6.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,
若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.23B.23
C.-23D.-23
7.(5分)若直线y=x+2与椭圆x2m+y23=1有两个公共点,则m的取值范围是 .
8.(5分)已知直线l:y=kx+1与椭圆x22+y2=1交于M,N两点,且|MN|=423,则k= .
9.(5分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的方程为 .
10.(5分)如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为x24+y23=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=32,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|= .
11.(5分)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B,P为C上一点(异于A,B),直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点,则|MN|的最小值为 .
12.(10分)已知椭圆C:x2b2+y2a2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且椭圆C经过点P13,43.
(1)求椭圆方程;(5分)
(2)若A点为椭圆上一动点,求A点到直线y=x-4的最小距离.(5分)
13.(10分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短半轴长为3,离心率为22.
(1)求椭圆M的方程;(4分)
(2)过P(1,1)的直线l交椭圆M于A,B两点,且P为AB的中点,求弦AB的长度.(6分)
14.(10分)如图,过点B(0,-b)作椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦,求这些弦中的最大弦长.
15.(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P3,32分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点.
(1)求C的离心率;(5分)
(2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.(10分)
课时检测(三十二)
1．选A 把x＋y－3＝0代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，得eq \f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－640，解得m>1或m1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
8．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－eq \f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0，由|MN|＝eq \f(4\r(2),3)，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝eq \f(32,9)，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝eq \f(32,9)，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq \f(32,9)，
即(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4k,1＋2k2)))2＝eq \f(32,9)，
化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.
答案：±1
9．解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式相减可得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0，
变形可得kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(－(x1＋x2)b2,(y1＋y2)a2)，
又AB的中点M为(1，－1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
代入上式可得，kAB＝eq \f(－2b2,－2a2)＝eq \f(b2,a2)，
又kAB＝kMF，F(4,0)，kMF＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，3b2＝a2，又a2＝b2＋c2，c2＝16，解得a2＝24，b2＝8，
所以椭圆E的方程为eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,8)＝1.
答案：eq \f(x2,24)＋eq \f(y2,8)＝1
10．解析：由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2，所以eq \f(|F1M|,|F2M|)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，由|PF1|＝eq \f(3,2)，|PF1|＋|PF2|＝4，得|PF2|＝eq \f(5,2)，故|F1M|∶|F2M|＝3∶5.
答案：3∶5
11．解析：如图所示，设P(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，易知A(－2,0)，B(2，0)，直线PA和直线PB的斜率存在，且斜率之积为kPA·kPB＝eq \f(y0,x0＋2)·eq \f(y0,x0－2)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)＝－eq \f(3,4).
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，则M(4,6k)，
直线PB的方程为y＝－eq \f(3,4k)(x－2)，则Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－\f(3,2k)))，
所以|MN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6k＋\f(3,2k)))＝|6k|＋eq \f(3,|2k|)≥2eq \r(|6k|·\f(3,|2k|))＝6.
当且仅当12k2＝3，即k＝±eq \f(1,2)时，等号成立，故|MN|的最小值为6.
答案：6
12．解：(1)∵椭圆C的焦点为F1(0，－1)，F2(0，1)，∴c＝1 ①，
又∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))在椭圆C：eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1上，
∴eq \f(1,9b2)＋eq \f(16,9a2)＝1 ②，
而a2＝b2＋c2 ③，
∴联立①②③得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝c＝1，))
∴椭圆方程为eq \f(y2,2)＋x2＝1.
(2)设l：y＝x＋m与椭圆相切，
∴联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(y2,2)＋x2＝1，))
∴3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－4×3(m2－2)＝0，∴m＝±eq \r(3)，
显然易知当m＝－eq \r(3)时，l：y＝x－eq \r(3)与y＝x－4距离最近，
∴d＝eq \f(|－\r(3)＋4|,\r(12＋(－1)2))＝eq \f(4－\r(3),\r(2))＝2eq \r(2)－eq \f(\r(6),2).
13．解：(1)由椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 的短半轴长为3，离心率为eq \f(\r(2),2)，可得b＝3且eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，即a＝eq \r(2)c，因为a2＝b2＋c2，可得2c2＝9＋c2，解得c＝3，所以a＝3eq \r(2)，所以椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(1,1)为AB的中点，
可得eq \f(x1＋x2,2)＝1，eq \f(y1＋y2,2)＝1，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),18)＋\f(y\\al(2,1),9)＝1，,\f(x\\al(2,2),18)＋\f(y\\al(2,2),9)＝1，))两式相减得9(x2－x1)(x1＋x2)＋18(y2－y1)(y1＋y2)＝0，
即eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(9(x1＋x2),18(y1＋y2))＝－eq \f(1,2)，即kAB＝－eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－3＝0，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))
整理得x2－2x－9＝0，
可得x1＋x2＝2，x1x2＝－9，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)·eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \f(\r(5),2)·eq \r(22－4×(－9))＝5eq \r(2).
14．解：设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|BM|2＝x2＋(y＋b)2＝x2＋y2＋2by＋b2①，
由eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，有x2＝eq \f(a2,b2)(b2－y2)②.
将②代入①式，整理得|BM|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2,b2)))y2＋2by＋(a2＋b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2,b2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(b3,c2)))2＋eq \f(a4,c2).
∵－b≤y≤b，
当b≤ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(即0ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(即\f(\r(2),2)a