高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数的概念学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数的概念学案，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，学生展示，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
【自主学习】
一．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是 .
思考1：如何求解3x＝2?
二.常用对数与自然对数
1.常用对数：通常我们将以 为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为 .
2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以 为底的对数称为自然对数，并把lgeN记作 .
三.对数的基本性质
1.负数和零 对数.
2.lga1＝ (a>0，且a≠1).
3.lgaa＝ (a>0，且a≠1).
思考2：为什么零和负数没有对数？
四.对数恒等式
1. aeq \s\up5(lgaN)＝ (a>0且a≠1，N >0).
2.lgaab＝ (a>0，且a≠1)．
思考3：如何推出对数恒等式aeq \s\up5(lgaN)＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？
解读：恒等式aeq \s\up5(lgaN)＝N与lgaab＝b的作用
1.aeq \s\up5(lgaN)＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
2.lgaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)lgaN是lga与N的乘积．( )
(2)(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( )
(4)在b＝lg3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．( )
2.若lg3x＝3，则x＝( )
A．1 B．3 C．9 D．27
【学生展示】经典例题
题型一 指数式与对数式的互化
点拨：指数式与对数式互化的思路
1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
例1 根据对数定义，将下列指数式写成对数式：
①3x＝eq \f(1,27)； ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝64； ③lg16eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)； ④ln 10＝x.
【跟踪训练】1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n；(4)lg 1000＝3.
题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值
点拨:1.将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
2.利用幂的运算性质和指数的性质计算.
例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；(3)lg5x2＝2.
【跟踪训练】2 (1)求下列各式的值.
①lg981＝________.②lg0.41＝________.③ln e2＝________.
(2)求下列各式中x的值.
①lg64x＝－eq \f(2,3)；②lgx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
题型三 对数基本性质的应用
点拨：利用对数性质求值的方法
1.性质:lga1＝0; lgaa＝1 (a>0，且a≠1).
2.求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值．
3.对数恒等式aeq \s\up5(lgaN)＝N (a>0且a≠1，N >0)，lgaab＝b(a>0，且a≠1).
例3 求下列式子值。
(1)2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________. (2)9＝________.
【跟踪训练】3 求下列各式中的x的值．
(1)lg2(lg3x)＝0；
(2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.
【当堂达标】
1．（多选）下列选项中错误的是( )
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以10为底的对数叫做自然对数
D.以e为底的对数叫做常用对数
2.（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是( )
A．与lg 1＝0B．＝与lg27＝－
C．lg39＝2与＝3D．lg55＝1与51＝5
3.对数式lg(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
4.方程lg(2x－3)＝1的解为________.
5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
(1)2－3＝eq \f(1,8)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))eq \s\up12(a)＝b；(3)lg eq \f(1,1 000)＝－3 .
6.计算下列各式：
(1) ；(2) .
7.若lg(x－2)(x2－7x＋13)＝0，求x的值．
【课堂小结】
1.对数概念的理解
(1)规定a>0且a≠1.
(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对数.
(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔lgaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①lgaab＝b；②algaN＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
【参考答案】
【自主学习】
一．a>0，且a≠1
思考1：x＝lg32.
二．10 lg_N e ln_N
三．没有 0 1
思考2：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝lgaN时，不存在N≤0的情况．
四．N b
思考3：因为ax＝N，所以x＝lgaN，代入ax＝N可得aeq \s\up5(lgaN)＝N.
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.C 解析：∵lg3x＝2，∴x＝32＝9.
【经典例题】
例1 解：①lg3eq \f(1,27)＝x；②lg64＝x；③16＝eq \f(1,2)；④ex＝10.
【跟踪训练】1 解 (1)因为43＝64，所以lg464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝n，所以lgeq \f(1,2)n＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
例2 解 (1)由lg2x＝－eq \f(1,2)，得2－eq \f(1,2)＝x，∴x＝eq \f(\r(2),2).
(2)由lgx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由lg5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5.
【跟踪训练】2 (1)①2 ②0 ③2
解析：①设lg981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即lg981＝2；②设lg0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即lg0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
(2)解：①由lg64x＝－eq \f(2,3)得；
②由lgx8＝6，得x6＝8，又x>0，即；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.
例3 (1) 0 解析：原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.
(2)4 解析： 9＝(9)＝3＝4.
【跟踪训练】3 解 (1)因为lg2(lg3x)＝0，所以lg3x＝1，所以x＝3.
(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1得lg3(lg2x)＝2，所以lg2x＝32，所以x＝29＝512.
【当堂达标】
BCD 解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝lgaN，故B错误．由定义可知CD均错误．只有A正确．
2.ABD 解析：对于A，，A正确；对于B，，B正确；
对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：ABD.
3.D 解析：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＞0,a－2≠1,5－a＞0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＜a＜5,a≠3)).故选D.
4.eq \f(13,2) 解析 由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq \f(13,2).
5.解 (1)由2－3＝eq \f(1,8)可得lg2eq \f(1,8)＝－3；
(2)由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))eq \s\up12(a)＝b得lgeq \f(1,7)b＝a；
(3)由lg eq \f(1,1 000)＝－3可得10－3＝eq \f(1,1 000).
6.解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
(2)原式.
7.解：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－7x＋13＝1 ①,x－2＞0 ②,x－2≠1 ③))，
由①得x2－7x＋12＝0.
∴x＝3或x＝4.
又由②③得x＞2且x≠3.
∴x＝4课程标准
学科素养
1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).
2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).
1、直观想象
2、数学运算