高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数的概念优质学案设计

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知识点1对数的概念
1．对数的定义
一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．常用对数与自然对数
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为.
3．指数与对数的互化
当时，.
4．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
重难点一 对数概念及性质
【例1】有下列说法：
①以10为底的对数叫作常用对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以e为底的对数叫作自然对数；
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，
只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误，
故选：C
【例2】求下列各式中的取值范围.
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意得，解得，即的取值范围是.
（2）解：由题意可得，解得或，
即的取值范围是.
【变式1-1】 .
【答案】
【详解】原式.
故答案为：
【变式1-2】求下列各式中的取值范围：
(1)；
(2)（且）.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，解得，即的取值范围为.
（2）依题意，，解得或，即的取值范围为.
【变式1-3】求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)0
(3)5
(4)441
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
（4）由题意可得：.
重难点二 指数式与对数式的互化
【例3】已知，，，且，则（ ）
A．5B．6C．7D．12
【答案】D
【详解】，故可得，又，则.
故选：D.
【例4】已知，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】由，可得，，
所以.
故选：D.
【变式2-1】已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知，
所以“”是“”的充要条件.
故选：A
【变式2-2】已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】，则，则．
故答案为：
【变式2-3】将下列对数式写成指数式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据指数式和对数式的关系，可化为
（2）根据指数式和对数式的关系，可化为
知识点2对数的运算
1．对数运算性质
如果，且，那么：
（1）；（2）；（3）．
温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．
例如，是错误的．
2．对数换底公式
若，且，则(，且)．
3．由换底公式推导的重要结论
（1）.（2）.（3）
重难点三 对数的运算性质
【例5】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，则，
所以当耗氧量的单位数为时，
.
即此时的鲑鱼的游速为.
故选：B.
【例6】（1）计算：；
（2）化简求值：；
（3）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）2；（3）4
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）由已知可得，
因为，
所以，化简可得，
解得（舍去），或，
所以
【变式3-1】若函数，则 .
【答案】
【详解】由，则，
故答案为：.
【变式3-2】（多选）下列运算结果正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】对于A，原式，故A错误；
对于B，原式
，故B错误；
对于C，原式，故C正确；
对于D，原式，故D正确；
故选：CD
【变式3-3】已知，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．9
【答案】C
【详解】由，
则，
又，
结合，知，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
因此可得的最小值为，
故选：C.
重难点四 换底公式
【例7】若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】，，，，
.
故选：B
【例8】（多选）下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．若，则.
【答案】AC
【详解】对于A：，
，
所以，故A正确；
对于B：，
，
所以，故B错误；
对于C：
，故C正确；
对于D：因为，
所以，，
所以，故D错误.
故选：AC
【变式4-1】已知，且，则 .
【答案】或
【详解】因为，整理得到，
解得或，所以或，
故答案为：或.
【变式4-2】若实数，且，则 .
【答案】1
【详解】因为，所以，
由，
解得或（舍去），
所以，即，
所以，
故答案为：1
【变式4-3】若方程的两个解为，，求的值为 ．
【答案】
【详解】由题意：，
又．
故答案为：．
重难点五 对数方程
【例9】甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为
【答案】或
【详解】原方程可变形为：
甲写错了，得到根为及，；
又乙写错了常数，得到根为及，；
原方程为，即，
或，或.
故答案为：或.
【例10】求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)32
(2)
(3)16
【详解】（1）因为，所以
（2），所以x=-6.
（3）因为，所以，即，所以.
【变式5-1】若，则
【答案】2
【详解】由题设，故.
故答案为：2
【变式5-2】已知函数，且，则的值为 .
【答案】
【详解】因为函数
当时，，
方程，可化为，
所以，解得；
当时，
方程，可化为，
所以，故，矛盾，
故时，不存在满足条件，
所以.
故答案为:
【变式5-3】求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得．
（2）由，得，即，
又，且，则．
重难点六 用已知条件表示对数
【例11】已知，，则 （结果用、表示）.
【答案】
【详解】由，则，
又，
故答案为：.
【例12】已知，，则a，b表示 ．
【答案】
【详解】由，得，
则.
故答案为：.
【变式6-1】已知，则可用a，b表示为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
【变式6-2】已知，则 ．（用表示）
【答案】
【详解】由，得，又，
所以.
故答案为：
【变式6-3】（1）已知，用a、b表示;
（2）已知求b的值；
（3）已知，试用表示；
（4）已知，试用表示求.
【答案】（1）；（2）或；（3）（4）
【详解】（1）因为，则，
所以；
（2）
，
设则
则即或
即或
或.
（3），则.
，，
则
（4），
一、单选题
1．若，，则的值是（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】C
【详解】由，得，又，
所以.
故选：C
2．（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【详解】由，，
则，
故选：C
3．已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】由题意，.
故选：D.
4．若，是方程的两个实根，则的值等于（ ）
A．2B．C．100D．
【答案】C
【详解】由韦达定理可得：，
所以，所以.
故选：C
5．已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【详解】由，，
所以，即，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
6．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意设，则，，，
所以，
则，故A，C错误；
则，故B错误；
则，故D正确.
故选：D.
二、多选题
7．下列数值和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由对数换底公式可得，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
8．若，，且，，则下列等式正确的是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】对于A：，故错误；
对于B：，正确；
对于C：，故错误；
对于D：，正确.
故选：BD
9．已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为9B．的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ACD
【详解】由对数的性质及运算法则可知：，且，
所以：.
对于选项A：由，得：，
所以，
当，即时，取“”，所以选项A正确；
对于选项B：，所以，
当，即时取“”，所以的最大值为，所以选项B错误；
对于选项C：因为，
由选项B的解题中可知：，所以，
所以，所以选项C正确；
对于选项D：因为 ，即
当，即时，取“”，
所以，故选项D正确.
故选A,C,D.
三、填空题
10．计算： .
【答案】
【详解】
.
故答案为：
11．已知，，则用表示 .
【答案】
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
12．已知实数x，y满足，则 ．
【答案】3
【详解】设，则，
故即，
整理得到：，
故为方程的正根，
故，故，故，
故答案为：3.
【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理,
四、解答题
13．求值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
14．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)1
(3)20
【详解】（1）.
（2）因为，
所以.
（3）由，，
则，，
则，，
所以.
15．已知，，试用m，n表示．
【答案】
【详解】∵，，
∴
．
一、对数概念及性质
四、换底公式
二、指数式与对数式的互化
五、对数方程
三、对数的运算性质
六、用已知条件表示对数