数学九年级上册圆课后测评

这是一份数学九年级上册圆课后测评，共72页。
第 2 章
对称图形——圆
【类型覆盖】
类型一、点、直线与圆的位置关系
【解惑】
1 ．用反证法证明“若eO 的半径为r ，点 P 到圆心的距离d 大于r ，则点 P 在eO 外” ．首先
应假设( )
A ．d ≤ r B ．点P 在eO 外
C ．d >r D ．点P 在eO 上或点P 在eO 内
【融会贯通】
2 ．已知eO 的半径为4cm ，若 OA = 5cm ，则点 A 与eO 的位置关系是( )
A ．点A 在eO 外 B ．点A 在eO 上
C ．点A 在eO 内 D ．不能确定
3．在同一平面内，点 P 到eO 上的最大距离是 11，最小距离是 3，那么eO 的半径r = ．
4 ．在Rt△ABC 中，上C = 90° , AC = 3cm ，BC = 4cm ，若以 AB 为直径作。 O ，则点C 在
。O ．（填“内” 、“外” 、“上”）
类型二、垂径定理
【解惑】
5 ．如图，弦CD 垂直于eO 的直径AB ，垂足为 H，且 AB = 20，CD = 16 ，则 BH 的长是 ( ).
A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
【融会贯通】
6 ．如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为 ，桥拱半径 则水面 宽 AB 为( )
A ． B ．3m C ． D ．5m
7 ．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件（如图所示）的半径，实践小组给 出了解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B ，连接AB ，分别以点A，B 为圆心，大于AB
的长为半径画弧，两弧相交于点E, F ，连接 EF ，交 于点C ，交弦 AB 于点D ，经测量
AB = 60cm ，CD = 10cm ，则圆形工件的半径为 cm ．
8 ．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千 AB 静止时，下端B 离地面l 的 距离BD 为0.5m ．
(1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即 上BAC1 = 上BAC2 ），当秋千分别 荡到两边的最高点C1 ，C2 位置时，若AD 交C1C2 于点 且C1C2 = 4m ，请你 计算秋千AB 的长度．
(2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为 △PQR 的挡光板，用于遮挡阳光，点Q ， P ，D 都在l 上，已知上RPQ = 45° , PD = 2m ，如果把挡光板沿QP 方向向右平移，但为安 全起见，要求PR 与秋千运动弧线最近点的距离不小于0.5m ，问挡光板应最多向右平移多少 米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到0.1m ）
类型三、弧、弦、圆心角关系
【解惑】
9 ．如图，A 、B 、C 是eO 上的点，OC 丄 AB ，垂足为点D ，BC ⅡOA ，若BC = 6 ，则OD 的长为( )
A ． B ．3 C ． D ．4
【融会贯通】
10 ．如图，AB 是eO 的直径，CD 是eO 的弦，CD 丄 AB 于点E ，C 是 的中点，连接 AF ．若eO 的半径为5 ，且 AF = 8 ，则 AE 的长为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
11 ．已知锐角 Ð AOB 如图，①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作 ， 交射线OB 于点D ，连接CD； ②分别以点C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点
M，N ；③连接OM，MN ．根据以上作图过程及所作图形，若OM = MN ，则Ð AOB 的度 数为 ° .
12 ．如图， ΘO 的直径AB 垂直弦CD 于点 E，F 是圆上一点，D 是BF 的中点，连接 CF 交 OB 于点 G ， 连接 BC ．
(1)求证：GE = BE ；
(2)若AG = 6 ，BG = 4 ，求CD 的长．
类型四、圆周角定理
【解惑】
13 ．如图， ΘO 的内接四边形ABCD 中，AB 丄 BC 于点 B ，AB = BC ，连接DB ，则上BDC 的度数为( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．15°
【融会贯通】
14 ．如图，半径为 2 的ΘO 的弦AD = BC ，且AD 丄 BC 于点 E，连接AB、AC ，则AB 的长
为( )
A ．2 B ．2 C ． D ．1
15 ．如图， ΘO 的半径为 8，直角三角板30° 角的顶点A 落在ΘO ，两边与ΘO 分别交于B ， C 两点，则弦BC 的长为 ．
16．如图，在ΘO 中，AB 为直径，AC 与CD 为弦，AB 丄 CD 于点 E，DF 丄 AC 于点 F，AB 与DF 相交于点 G．
(1)若上DGB = 56° ,求 上BDC 的度数；
(2)若AB = 20 ，BE = 8 ，求CD 的长．
类型五、正多边形与圆
【解惑】
17 ．平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器 的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案) ．已知正六边形ABCDEF 的 边长为 2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴 影部分的面积为( )
A ．8π - 18 B ．8π -12 C ．4π- 3 D ．4π - 6
【融会贯通】
18．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步 逼近圆来近似计算圆的面积．设ΘO 的半径为 1，若用如图所示的ΘO 的内接正十二边形的 面积来近似估计ΘO 的面积，则产生的正误差为( )
A ． B ． C ． D ． π - 3
19 ．如图，正五边形ABCDE 的顶点A, C 在ΘB 上，F 是优弧AC 上的一点（不与点A, C 重 合），连接 AF, CF ，则 上AFC 的度数为 ．
20 ．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒 2》呀？ 影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿， 你想知道这座建筑有多大吗？
问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度 的等腰三角形；
问题二： △ABC 中，上C = 90° , 上A = 15° , BC = 1 ，求 △ABC 的面积和tan15° 的值分别是多
少？（可以作AB 的中垂线DE 交AC 于 D，交 AB 于 E，则 △ADB 为等腰三角形， 上BDC = 30° )
问题三：若“正八边形”的边长AB 为2a ，求：正八边形的面积．
类型六、圆的计算（弧、面积）
【解惑】
21 ．如图，AC 为ΘO 直径，P 为下半圆上一点，上APC 的平分线交ΘO 于B ，AB＝2 ，I 是 △APC 的内心．当P 点从A 点运动到C 点时，I 走过的路径长为( )
A ． B ． τ C ．2τ D ．3τ
【融会贯通】
22 ．如果一个扇形的圆心角为120° ,半径为 4cm ，则这个扇形的面积为（ ）cm2 ．
A ．τ B ． C ． D ．
23 ．若圆锥的底面圆半径为4cm ，母线长为5cm ，则该圆锥的侧面积为 cm2 ．( τ 取3.14 ）
24 ．综合与实践
问题情境：如图 1，有一个圆锥草帽，其底面半径为r ，当把这个圆锥草帽的侧面展开后， 会得到一个半径为l ，圆心角为120° 的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______ ；（填“相等”或“不相等”）若 r = 2 ，则l = ______．
(2)问题抽象：图 2 中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为r ，侧面展开图会得到一个半径 为l ，圆心角为 n° 的扇形，请用含 r ，l 的式子表示n ．
(3)拓展延伸：图 3 是一种纸质圆锥形草㡌，AB = 6cm,l = 6cm, C 是线段PB 中点，如今计划 要从点A 到点C 再到点A 之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为13cm 的装饰彩带， 请问该彩带的长度是否够长，并说明理由．
类型七、三角形的外接圆与内切圆
【解惑】
25 ．如图，锐角 △ABC 内接于ΘO ，其中上BAC = 60° , M 为锐角△ABC 的内心，连AM 并延 长与ΘO 相交于点 D，若 上，则锐角 △ABC 的内切圆半径为（ ）（参
考数据 ， ≈ 1.732 ，结果保留 2 位小数）
A ．0.65 B ．0.66 C ．0.67 D ．0.68
【融会贯通】
26 ．如图，点O 是△ABC 外接圆的圆心．点I 是 △ABC 的内心．连接OB, IA ．若
上CAI = 37° ,则 上OBC 的度数为( )
A ．37° B ．20° C ．16° D ．14°
27 ．如图， ΘO 为△ABC 的外接圆，其中上B = 50° , 点 I 为△ABC 的内心，连接AI并延长交 ΘO 于点 D，连接IC，CD ，则 上ICD = ° .
28 ．如图1，已知 △ABC 中，AB = AC = 10 ，BC = 12 ，点 I 是 △ABC 内一点，若
上BIC 上BAC 且BI 平分上ABC ．
(1)求证：点I 是 △ABC 的内心；
(2)如图2 ：直接写出答案： △ABC 外接圆的半径r = ___________ ； △ABC 的内心I 与外心
O 的距离l = ．
___________
类型八、求不规则图形的面积
【解惑】
29 ．如图，在 △ABC 中，上BAC = 90°, AB = AC ，分别以点 B、C 为圆心、BC 的长为半径 画弧，与BA、CA 的延长线分别交于点D、E ．若BC = 4 ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．2τ - 4 B ．4τ - 4 C ．8τ - 8 D ．4τ - 8
【融会贯通】
30 ．如图，在菱形ABCD 中，上BCD = 120° ,点 E 为AB 的中点，以 E 为圆心，AE 长为半 径画弧交BD 于点 F，交 BC 于点 G，若 BD = 4 ，则图中阴影部分的面积为( )
A ． B ． C ． D ．
31 ．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术” ．如图是研究“割 圆术”时的一个图形， 所在圆的圆心为点 O，四边形ABCD 为矩形，边CD 与ΘO 相切于 点E ，连接 BE ，上ABE = 15° ,连接OE 交AB 于点F ．若AB = 4 ，则图中阴影部分的面积 为 ．
32 ．如图， ΘO 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，过点 C 作ΘO 的切线CD 交BA 延长线于点 D，点 E 为上一点，且 = ．
(1)求证：DC Ⅱ AE ；
(2)若EF 垂直平分OB ，DA = 6 ，求阴影部分的面积．
类型九、圆的切线证明
【解惑】
33 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，上BAC = 120° , 点 D 在BC 边上，ΘD 经过点A 和点 B 且与BC 边相交于点 E．
(1)求证：AC 是ΘD 的切线；
若 的半径．
【融会贯通】
34 ．如图，以菱形ABCD 的边AD 为直径作ΘO 交AB 于点 E，连接DB ，F 是BC 上的一点， 且BF = BE ，连接DF ．
(1)求证：DF 是ΘO 的切线．
(2)当上C = 60° , BF = 2 时，求ΘO 的半径．
35 ．如图，AB 是ΘO 的直径，CD 是ΘO 的弦，连接AC ，上ACD = 60° ,点 E 在AB 的延长 线上，作直线DE ，上E = 30° .
(1)求证：DE 是ΘO 的切线；
(2)若BE = 4，求 DE 的长．
36 ．如图，AB 是△ABC 的外接圆ΘO 的直径，D 是线段OA 上（不与点 A 重合），连接CD ，
△ECD 是由△BCD 沿CD 翻折得到，DE 交AC 于点 F，连接CO ．
(1)如图 1，若 EF = CF ，求证：CE 是ΘO 的切线；
(2)若BC = 6 ，AC = 8 ，
①如图2，当 DE 丄 AC 时，求的值；
@如图3，当点 D 与点 O 重合时，连接AE ，求 AE 的长．
类型十、尺规作图
【解惑】
37．科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原 理．如图 1 ， ΘO 表示地球，点P 是支点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图 1 中作出撬起地球的杠杆（直线l ），使其经过点P ，且与ΘO 相切于点D ．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图 2，连接OP 交ΘO 于点B ，延长 PO 交ΘO 于点A ，C 为AB 下方的ΘO 上一点，且
上ABC = 15° ,在图 1 的条件下，若D 为的中点，求上OPD 的度数．
【融会贯通】
38 ．规定：将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆，图 1 是锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆． 如图 2，要在四个村庄E ，F ，G ，H 修建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民 都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），请用尺 规在图上作出中转站所建位置，请简要说明理由．
39 ．如图，已知在Rt△ABC 中，上C = 90° .
(1)请按下列要求完成尺规作图；（不写作法，保留作图痕迹）
①作 ÐBAC 的平分线AD ，交 BC 于点D ；
②作线段AD 的垂直平分线与AB 相交于点O ，与 AC 相交于点E ；
③以点O 为圆心，以OD 长为半径画出圆O；
(2)在（1）的条件下，求证：BC 是ΘO 的切线．
40 ．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为 该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图 形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB 的覆盖圆有无数个，其中，以AB 为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段AB 的最小覆盖圆一定经过点A 、点B ．如图①, 以AB 为直径作ΘO ， 再过A 、B 两点作 ΘO¢ （O¢ 与O 不重合），连结O¢A, O ¢B ．在 △O ¢AB 中，有O¢A + O¢B > AB
( ▲ ).
QO¢A = O ¢B ，
:2O¢A > AB ，即 ΘO¢ 的直径大于ΘO 的直径．
:ΘO 是线段AB 的最小覆盖圆．“ ▲ ”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问
题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆 的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图@，在Rt△ABC 中， 上ACB = 90° . ΘO 是以AB 为直径的圆．请你判断点C 与ΘO 的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知， ΘO 是Rt△ABC 最长边AB 的最小覆盖圆，所以，ΘO 是Rt△ABC 的 最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③,在矩形 ABCD 中，AB = 1cm ，BC = 2cm ．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD 的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图 痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
（2）该矩形 ABCD 的最小覆盖圆的直径为 cm ；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形 ABCD ．则这样的两个等圆的最小直径为 cm ．
1 ．D
【分析】此题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性， 这种证明法称为反证法．
用反证法证明，即是假设命题的结论不成立，以命题的否定方面作为条件进行推理，得出和 已知条件、公理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定命题的结论成立．
【详解】原命题结论为“点P 在ΘO 外”，其否定应为“点P 不在ΘO 外”．
根据圆的基本性质，点与圆的位置关系仅有三种：当d >r 时在圆外，d = r 时在圆上，d < r 时在圆内．
因此，“点P 不在圆外”等价于“点P 在圆上或圆内”．
选项中对应此否定的为选项 D，故首先应假设 D 成立．
故选：D．
2 ．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若ΘO 的半径为r ，一点P 和圆心O 的距离为d ，当 d = r 时，点P 在ΘO 上；当d < r 时，点P 在ΘO 内；当d >r 时，点P 在ΘO 外．熟记相关 结论即可．
【详解】解：∵ OA = 5cm > 4cm ，
:点 A 在ΘO 外 故选：A
3 ．4 或 7
【分析】本题考查了点和圆的位置关系， 熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题 意，分①点 P 在ΘO 内；@点 P 在ΘO 外两种情况分别求解即可．
【详解】解：①当点 P 在ΘO 内，如图 1：
:PA = 3 ，PB = 11，
: AB = PA + PB = 14 ，
:ΘO 的半径 @当点 P 在ΘO 外，如图 2：
:PC = 3 ，PD = 11， : CD = PD - PC = 8 ，
:ΘO 的半径
:综上所述， ΘO 的半径r =4 或 7． 故答案为：4 或 7．
4 ．上
【分析】本题考查了点与圆的位置关系， 勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定 理求出AB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 最后根据点与 圆的位置关系判断即可．
【详解】解：∵ 上C = 90° , AC = 3cm ，BC = 4cm ，
∵ AB 为⊙ O 的直径，
:点 O 为AB 的中点，半径为 ，
:点 C 在⊙ O 上， 故答案为：上．
5 ．C
【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用、勾股定理等知识点， 掌握垂直于弦的直径平分 这条弦且平分弦是解题的关键．
如图：连接OC ，根据圆的性质、垂径定理求出OC, OB CH ，再根据勾股定理以及线段的和 差求解即可．
【详解】解：如图：连接OC ，
∵ AB 是ΘO 的直径，CD 丄 AB ，
在Rt△OCH 中 : BH = OB - 6 = 4 ．
故选：C．
6 ．B
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理．
连接OA ，根据题意，得出OA = m ，OD = 2m ，再根据勾股定理，得出AD 的长，再根据 垂径定理，即可得出AB 的长．
【详解】解：连接 OA ， ∵桥拱半径
: AB = 2AD = 2 × 1.5m = 3m ．
故选：B．
7 ．50
【分析】本题考查圆中求线段长， 涉及垂径定理、勾股定理等知识， 在EF 上取一点O 作为 圆心，连接OB ，如图所示，根据题意表示出相关线段长度，在Rt△BDO 中，由勾股定理列 方程求解即可得到答案．熟记垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长的组合是解决问 题的关键．
【详解】解：在 EF 上取一点O 作为圆心，连接OB ，如图所示：
Q AB = 60cm ，
设OB = rcm ，
QCD = 10cm ，
:OD = OC - CD = (r -10)cm ，
在Rt△BDO 中，上ODB = 90° , BD = 30cm ，OB = rcm ，OD = (r -10)cm ，则由勾股定理 可得(r -10)2 + 302 = r2 ，
解得r = 50cm ， 故答案为：50 ．
8 ．(1) 2.5m
(2) 0.7m
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理的应用， 全等三角形的性质与判定，等腰直角三 角形的性质，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）秋千侧视图可看成以点A 为圆心的一段圆弧，设该圆弧所在圆的半径AB 为rm ，得出 B 垂直平分C1C2 ．在Rt△AEC2 中，勾股定理建立方程，求得r = 2.5 ，即可求解；
（2）连接AP ，设挡光板沿QP 方向平移后最多应到如图RP 的位置，作IF Ⅱ RP 且与切eA 相切于点F ，挡光则板PR 与秋千运动弧线的最近点为点F ．射线AF 与RP ，QD 分别相交 于点G ，H ，则AG 丄 RP ．证明 △AGP≌△ADP 得出PD = PG ，进而求得从而应向右平移的 最大值为2 - PD ，即可求解．
【详解】（1）如图，秋千侧视图可看成以点 A 为圆心的一段圆弧，
设该圆弧所在圆的半径AB 为rm ，
依题意，得 在ΘA 中， Q 上BAC1 = 上BAC2 ，
: AB 垂直平分C1C2 ．
在Rt△AEC2 中，AE2 + EC22 = AC22 ，
解得r = 2.5 或负值舍去）．
即秋千AB 的长度为2.5m ．
（2）设挡光板沿QP 方向平移后最多应到如图RP 的位置，作IF Ⅱ RP 且与切ΘA 相切于点F ， 挡光则板PR 与秋千运动弧线的最近点为点F ．
射线AF 与RP ，QD 分别相交于点G ，H ，则 AG 丄 RP ．
又Q上RPQ = 45° ,
:△ADH 与 △GPH 均为等腰直角三角形．
:HD = AD ，HG = PG ．
当FG = 0.5 时，AG = AF + FG = 2.5 + 0.5 = 3 ， 连接AP ，又 AD = 3 ，: AG = AD ，
又AP = AP ，上AGP = 上ADP = 90° , :△AGP≌△ADP ．
:PD = PG ．
从而应向右平移的最大值= 2 - PD = 2 - (3 - 3) = 5 - 3 ≈ 0.757 ≈ 0.7 (m) ．
:应将挡光板沿QP 方向向右最多平移约0.7m ．
9 ．B
【分析】通过连接OB ，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出 OD 与BC 的关系来求解．
【详解】解：连接OB ，
Q OC 丄 AB ，OA = OB
: AD = BD ， Ð ADO = 90° . Ð AOD = Ð BOD ， Q BC Ⅱ OA ，
: Ð AOD = Ð BCD = Ð BOD ． 又QOA = OB = OC ，
: Ð OBC = Ð BCD = Ð BOC ． : △OBC 是等边三角形，
: OC = BC = 6
Q OC 丄 AB ， △OBC 是等边三角形，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判 定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键．
10 ．B
【分析】本题主要考查了垂径定理， 勾股定理，弧、弦的关系， 熟练掌握垂径定理是解题的
关键，连接OC ，先证明 CD = AF = 8 ，进而得 从而即可得解．
【详解】解：连接 OC ，
∵ AB 是eO 的直径，CD 丄 AB 于点E ， : = 2 ，CE = DE ．
∵ C 是 的中点，
: = 2 = ，
: CD = AF = 8 ，
: CE = DE = 4 ，
∵ OC = 5 ，CD 丄 AB ，
QOA = 5 ，
: AE = OA - OE = 2 ， 故选：B
11 ．20
【分析】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心 角相等得到 △ OMN是等边三角形．连接 ON ，根据作图，结合已知可得 △ OMN是等边三角形， 进而根据作图可得CM = CD = DN ，即可得到 上COM = COD = 上DON = 20° ,即可求解．
【详解】解：如图，连接 ON ，由作图可知：OM = ON ，
又OM = MN
: △ OMN是等边三角形，
:上OMN = 60° ,
由作图可知：CM = CD = DN ，
:上COM = COD = 上DON = 20° , 故答案为：20 ．
12 ．(1)证明见解析 (2)8
【分析】（1）利用 ASA 证明△CEG≌△CEB ，即可得到 GE = BE ；
（2）连接OC ，求出直径 AB 的长，即得半径OC = OB = 5 ，求出OG ，由（1）知
,再求出OE ，利用勾股定理求出CE ，根据垂径定理即可求出 CD ．
【详解】（1）证明：∵ D 是 的中点， : 上FCD = 上BCD ，即 上GCE = 上BCE ， ∵ CD 丄 AB ，
: 上CEG = 上CEB = 90° ,
又∵ CE = CE ，
: △CEG≌△CEB (ASA ) ， : GE = BE ；
（2）解：如图，连接OC ，
∵ AG = 6 ，BG = 4 ，
: AB = 6 + 4 = 10 ，
: OG = OB - BG = 5 - 4 = 1，
: OE = OG + GE = 1 + 2 = 3，
:直径AB 丄 CD ，
: CD = 2CE = 2 × 4 = 8 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理， 三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌 握圆的基本性质、三角形全等的判定定理是解题的关键．
13 ．B
【分析】本题考查圆周角定理， 等腰直角三角形，关键是判定 △ABC 是等腰直角三角形，由 圆周角定理得到上BDC = 上BAC ；
连接AC ，判定 △ABC 是等腰直角三角形，得到上BAC = 45° ,由圆周角定理推出
上BDC = 上BAC = 45°
【详解】解：连接 AC ，
Q AB 丄 BC 于点 B，
:上ABC = 90°
Q AB = BC ，
:△ABC 是等腰直角三角形， :上BAC = 45° ,
:上BDC = 上BAC = 45°
故选：B
14 ．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接OA, OB ，根据AD = BC ，可得 = ， 所以上C = 上CAD ，由 AD 丄 BC ，可得 上C = 上CAD = 45° ,所以上O = 2上C = 90° ,即可求
【详解】解：如图，连接OA, OB ，
Q AD = BC ，
一 一
:AD=BC，
一 一
: AB = CD ，
:上C = 上CAD ， Q AD 丄 BC ，
:上AEC = 90° ,
:上C = 上CAD = 45° ,
:上O = 2上C = 90° , : AB = OA = 2 ，
故选： A．
15 ．8
【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接OC ，OB ，根据圆周角定理得出
上COB = 2上BAC = 60° ,继而得出 △OCB 是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接OC ，OB ，
一 一
∵ BC = BC ，上BAC = 30° , : 上COB = 2上BAC = 60° , 又∵OC = OB = 8 ，
: △OCB 是等边三角形， : BC = 8 ，
故答案为：8．
16 ．(1) 34° (2) 8
【分析】本题主要考查了垂径定理， 圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图 形的判定和性质．
（1）先求出 上A = 90° - 上AGF = 34° ,根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可；
（2）连接OC ，根据AB = 20 ，得出OA = OB = OC = AB = 10 ，根据垂径定理得出CE = CD ， 根据勾股定理求出CE = = = 4 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：Q 上DGB = 56° ,
:上AGF = 56° ,
QDF 丄 AC 于点 F，
:上GFA = 90° ,
:上A = 90° - 上AGF = 34° ,
Q上A与上BDC 都是弧BC 所对的圆周角，
:上BDC = 上A = 34° .
（2）解：连接OC ，如图所示：
∵ AB = 20 ，
: OA = OB = OC = AB = 10 ，
: OE = OB - BE = 10 - 8 = 2 ，
∵ AB 丄 CD ，
上CEO = 90° ,
: CD = 2CE = 8 ．
17 ．B
【分析】本题主要考查了正多边形与圆， 等边三角形的性质与判定，勾股定理，设正六边形 的中心为 O，连接OA，OB ，过点 O 作OH丄 AB 于 H，可证明△AOB 是等边三角形，得到 OB = AB = 2，BH = 则 根据S阴影 = 12 计 算求解即可．
【详解】解； 如图所示，设正六边形的中心为 O，连接OA，OB ，过点 O 作OH丄 AB 于 H，
又: OA = OB ，
: △AOB 是等边三角形，
:OB = AB = 2，BH = AB = 1 ，
: BA = BO ，
:点 O 在以 B 为圆心，AB 的长为半径的圆上，
故选：B．
18 ．D
【分析】此题考查了正多边形与圆， 含30° 角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性 质和含30° 角直角三角形的性质求出eO 的内接正十二边形的面积为3 ，即可求出答案．
解：如图，在 △AOB 中，AO = BO = 1, 上 作AH 丄 OB 于点H ，
: eO 的内接正十二边形的面积= × 12 = 3， :产生的正误差为 π × 12 - 3 = π - 3 ，
故选：D
19 ．54° ##54 度
【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理等知识点，理解圆周角定理是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求得上ABC = 108° 再根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：:正五边形ABCDE ，
: F 是优弧AC 上的一点（不与点A, C 重合），
故答案为：54° .
20 ．问题一：45；问题二：1+ ，2 - ；问题三：(8 + 8)a2 ．
【分析】本题考查正多边形的有关运算， 含30° 的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含 30° 的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键．
问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成360° ,可得等腰三角形每个顶角 的度数；
问题二：根据上BDC = 30° 及BC 的长可得CD 和BD 的长度，进而可得AD 的长度， △ABC
的面积 tan15° = ，把相关数值代入计算即可；
问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形CDEF ，则补充的四个小三角形为等腰直角三 角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积= 正方形的面积- 4 个等腰直角三角形的面积，
把相关数值代入计算即可．
【详解】解：问题一：Q 八个等腰三角形的顶角组成360° , :每个顶角的度数为
故答案为：45；
问题二：作AB 的中垂线DE 交AC 于 D，交 AB 于 E，
: AD = BD ，
:上ABD = 上A = 15° ,
:上BDC = 上ABD + 上A = 30° ,
Q BC = 1 ，
: AD = 2 ，
: AC = CD + AD = + 2 ，
问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形CDEF ，则补充的四个小三角形为全等 的等腰直角三角形，
Q 正八边形的边长为2a ，
: BC2 + CG2 = BG2 ， :BC = a ，
:正方形CDEF 的边长为2a + 2 a ，
:正八边形的面积= (2a + 2a )2 - 4× a )2 = (12 + 8)a2 - 4a2 = (8 + 8)a2 ．
21 ．B
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内切圆的定义， 三角形内切圆的圆心是三角形三条 角平分线的交点，所以 △APC 的内心是上APC 和上PAC 的角平分线的交点I ，根据三角形外 角的性质可知上BIA = 上BAI ，从而可知点 I 在以点B 为圆心且半径长为2 的AnC上运动，根 据弧长公式计算即可．
【详解】解：如下图所示，连接 AI ， Q AC 为eO 的直径，
:上APC = 上ABC = 90° ,
Q 上APC 的平分线交eO 于B ，
:上BAC = 上BPC = 45° , QI 是 △APC 的内心，
: AI 平分上PAC ，
:上BIA = 上BAI ，
:IB = AB = 2 ，
: 点I 在以点B 为圆心且半径长为2 的AnC上运动，该弧所对的圆心角为90° ,
:I 走过的路径长为 τ ,
故选：B．
22 ．D
【分析】本题考查了扇形面积， 掌握扇形面积公式是解题关键．根据扇形面积公式，圆心角
为n 度，半径为r 的扇形面积为 计算即可．
【详解】解：如果一个扇形的圆心角为120° ,半径为 4cm ，
则这个扇形的面积为 ， 故选：D．
23 ．62.8
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算， 圆锥的侧面积= 底面周长× 母线长÷2 ，把相应 数值代入即可求解．
【详解】解：2 × 3.14 × 4 × 5 ÷ 2 = 62.8 (cm2 )， 所以该圆锥的侧面积为62.8cm2 ．
故答案为：62.8 ．
24 ．(1)相等，6
(3)不够长；理由见解析
【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是
相等的，由r = 2 ，则 解答即可．
（2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为2π r ，侧面展开图的扇形弧长为 根据问 1 的 结论，得到等式，变形表示即可．
根据 得 得到A¢P 丄 PC ，计算最短
继而得到2A¢C = 6 = (cm) ，比较解答即可．
【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧 长是相等的，由r = 2 ，则
解得l = 6 ，
故答案为：相等，6．
（2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为2π r ，侧面展开图的扇形弧长为 根据问 1 的结论，得 ，
解得
（3）解：∵ AB = 6cm, l = 6cm ， : r = 3，
: A¢P 丄 PC ，
:够长．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开， 弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌 握展开图的意义是解题的关键．
25 ．B
【分析】本题考查三角形的内切圆与外接圆的综合，涉及垂径定理，切线的性质，勾股定理， 二次根式的混合运算等知识点，连接MC ，MB ，DB ，DC ，连接DO 交BC 于E ，过C 作 CN 丄 AB 于N ，设锐角 △ABC 的内切圆半径为r ，由内切圆可得点M 到 △ABC 三边距离为r ， MC ，MB ，MA 是 △ABC 的角平分线，先证明上DBM = 上BMD，得到 DB = DM = ，再 在VBDC 中，由上CBD = 上CDB = 30° ,得到 BC = 、/6 ，在 RtVCAN 和RtVCBN 中求出
最后根据S△求 解即可．
【详解】解： 如图，连接MC ，MB ，DB ，DC ，连接DO 交BC 于E ，过C 作CN丄 AB 于 N ，设锐角 △ABC 的内切圆半径为r ，
∵M 为锐角△ABC 的内心，
:点M 到 △ABC 三边距离为r ，MC ，MB ，MA 是 △ABC 的角平分线， : 上BAD = 上CAD ， ∠ABM = ∠CBM ，
∵ 上BAC = 60° , 上ABC = 45° ,
:ÐBAD = ÐCAD = ÐBCD = ÐCBD = 30° ,
: DB = DC ，ÐDBM = ÐCBM +ÐCBD = ÐCBM + 30° , ÐBMD = ÐBAD +ÐABM = ÐCBD = 30°+ÐABM ，
: 上DBM = 上BMD ，
∵ DB = DC ，
: OD 垂直平分BC ，
: Rt △BDE 中，上 : BC = 2BE = ，
∵ CN 丄 AB ，
:ÐCNB = ÐCNA= 90° ,
: Rt△CBN 中，上 Rt△CAN 中，上
: S△ABC = CN . AB =
: S△ABC = S△ABM + S△ACM + S△MBC = r . AB + r . AC + r . BC = AB + AC + BC ) ，
故选：B．
26 ．C
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形 内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
连接OC ，由点 I是 △ABC 的内心可得AI平分 ÐBAC ，根据角平分线的定义可得
上BAC = 2上CAI = 2 × 37° = 74° ,根据圆周角定理可得 上BOC = 2上BAC = 148° ,根据等腰三 角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】如图，连接OC ，
:点I 是 △ABC 的内心， : AI平分 ÐBAC ，
: 上CAI = 37° ,
: 上BAC = 2上CAI = 2 × 37° = 74° , :点O 是△ABC 外接圆的圆心，
: 上BOC = 2上BAC = 2 × 74° = 148° , : OB = OC ，
:上OBC = 上OCB = 180° - 上BOC) = 180° -148° ) = 16° , 故选：C．
27 ．65
【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、 三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由 I 是
△ABC 的内心，得到上BCD = 上BAD = 上上BAC ，上ACI = 上上ACB ，根据三 角形内角和定理得到上AIC = 115° ,又根据圆周角定理，可知 上ADC = 上B = 50° ,最后由三 角形外角的性质即可求出∠ICD ．
【详解】解：∵I 是△ABC 的内心，
: AI，CI 分别平分上BAC, 上BCA ，
∵ 上B = 50° ,
:上AIC = 180° - (上1AC + 上ICA) = 115° ; ∵ 上ADC = 上B = 50° ,
: 上ICD = 上AIC - 上ADC = 65° .
故答案为：65．
28 ．(1)见解析；
【分析】(1) 根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得上ABC = 上上BAC ，再 根据BI 平分上ABC 得上IBC = 45° - 上BAC ，进而可求出 上ICB = 45° - 上BAC ，则
上上BAC ，由此得CI 平分上ACB ，然后根据三角形内心的定义可得出结论；
(2) 连接OB ，ID ，IF ，IB ，IC ，依题意得 A ，I ，O 在同一条直线上，且AE 丄 BC ， OA = OB = r ，BE = 6 ，由此得 AE = 8 ，则OE = 8 - r ，在 Rt△OBE 中由勾股定理可求出 则 ；根据三角形内心性质得ID = IE = IF = a ，再根据
S△IAB + S△IBC + S△ICA = S△ABC 可求出a =3，由此可得 △ABC 的内心I 与外心O 的距离． 【详解】（1）证明：Q△ABC 中，AB = AC = 10 ，
: 上ABC = 上上ABC ，
:BI 平分上ABC ，
Q 上BIC = 90° + 上BAC ，
:上ICB = 180° - (çè 45° - 上BAC + 90° + 上BAC = 45° - 上BAC ，
:上ICA = 上ACB - 上ICB = 90° - 上BAC - (çè 45° - 上BAC = 45° - 上BAC ， :上ICB = 上ICA ，
:CI 平分上ACB ，
: 点I 是 △ABC 的内心；
（2）解：连接OB ，ID ，IF ，IB ，IC ，如图所示：
Q△ABC 是等腰三角形，点I是内心，点O 是外心
: A ，I ，O 在同一条直线上，且AE 丄 BC ，OA = OB = r ，
在Rt△ABE 中，AB = 10 ，BE = 6 ，
: AE = = 8 ，
在Rt△OBE 中，OB = r ，OE = AE - OA = 8 - r ，BE = 6 ， 由勾股定理得：OB2 = OE2 + BE2 ，
:r2 = (8 - r )2 + 62 ， 解得： ，
Q 点I 为 △ABC 的内心，D ，E ，F 为切点，
:ID = IE = IF = a ，
QS△IAB + S△IBC + S△ICA = S△ABC ，
1 1 1 1
: × 10a + × 12a + × 10a = × 12 × 8 ， 2 2 2 2
解得：a = 3，
:IE = a = 3 ，
:△ABC 外接圆的半径 ； △ABC 的内心I 与外心O 的距离l = ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质， 等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义 及性质是解决问题的关键．
29 ．D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得
上ABC = 上 进而由S阴影 = 2 (S扇形BCD - S△ABC )解答即可 求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ 上BAC = 90°, AB = AC ， : 上ABC = 上ACB = 45° ,
∵ BC = 4 ，
: AB = AC = BC = 2 ，
2
故选：D ．
30 ．B
【分析】连接 EF 、EG ，EG 交BD 于 H，由“直径所对的圆周角等于90° ”可得
上AFB = 90° ,即
F 点是AC 、BD 的交点．由菱形的性质可得上ABC = 60° , 上ABD = 上CBD = 30° , BF = 2 CF = 2 ，BC = 4 ．再证 △BHG≌△FHE ，则可得S△BHG = S△FHE ，进而可得
S空白△BGF = S扇形GEF ，则可得，求得S扇形 则可得S空白△ 由
S阴影 = S△BCD - S空白△BGF 即可得解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及扇形的面积．熟练掌 握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 EF 、EG ，EG 交BD 于 H．
∵ AB 是eE 的直径，
:上AFB = 90° ,
:F 点是AC 、BD 的交点，
∵菱形ABCD 中，上BCD = 120° ,
:上ABC = 60° ,
:上ABD = 上CBD = 30° ,
: CF = BF . tan 上
:BC = 2CF = 4 ，
:AB = BC = 4 ，
:EB = EG = EF = EA = 2 ，
Q EB = EG ，上EBG = 60° , :△EBG 是等边三角形，
:BH 丄 EG ，EH = GH ，BG = EG = EF ， :△BHG≌△FHE (HL) ，
△BHG △FHE ，
:S = S
: S空白△BGF = S扇形GEF ，
Q GF = GF ，
:上GEF = 2上GBF = 2 × 30° = 60° ,
S△BCD = BD . CF = × 4× 2 = 4 ，
2
阴影 △BCD 空白△BGF 3 ．
:S = S - S = 4 - p
故选：B
31 ．
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到 OE 丄 AB ，由垂径定理可得
AF = BF = 2 ，由圆周角定理可得 上AOE = 30° ,进而证明△AOB 是等边三角形，得到
OF = 2 ，再根据阴影部分的面积 = S扇形AOE - S△AOF 求解即可．
【详解】解：Q 所在圆的圆心为点 O，边CD 与eO 相切于点E ，
: OA = OB = OE ，OE 丄 CD ， Q 四边形ABCD 为矩形，
: ABⅡCD ，
: OE 丄 AB ，
Q AB = 4 ，
Q 上ABE = 15° ,
:上AOE = 2上ABE = 30° ,
QOA = OB ，OF 丄 AB ，
:上AOB = 2上AOF = 60° ,
:△AOB 是等边三角形，
: OA = AB = 4 ，
: OF = = 2 ，
: 阴影部分的面积= S扇形AOE - S△
故答案为 ．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积， 矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的 性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
32 ．(1)见解析
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，扇形的面积．
（1）连接OC ，BE ，OC 交AE 于G ，由切线得到上OCD = 90° ,再由 = 结合垂径定 理得到OC 丄 AE ，即 上AGO = 上OCD = 90° ,则 DC Ⅱ AE ；
（2）连结OE 、BE ，由 EF 垂直平分OB ，得到OE = BE = OB ，则 △OEB 为等边三角 形．上BOE = 60° ,推出 上OAE = 上OEA = 上D = 30° ,得到 OD = 2OC = OA + AD ，
OC = OA = AD = 6 ，最后根据S阴影 = S扇形OAE - S△OAE 计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC ，BE ，OC 交AE 于G ，
∵eO 的切线CD ， : 上OCD = 90° ,
∵ AB 为直径， : 上ACB = 90° ,
∵ AC = CE ，
: OC 丄 AE ，
: 上AGO = 90° ,
: 上AGO = 上OCD = 90° ,
: DC Ⅱ AE ；
（2）解：连结OE 、BE ， ∵ EF 垂直平分OB ，
: OE = BE = OB ， : OE = OB ，
: △OEB 为等边三角形． : 上BOE = 60° ,
: 上AOE = 180° - 60° = 120° , : OA = OE ，
: 上OAE = 上OEA = 30° . : DC Ⅱ AE ，
: 上D = 上OAE = 30° . : 上OCD = 90° ,
: OD = 2OC = OA + AD ， : OA = OC ，DA = 6 ，
: OC = OA = AD = 6 ，
33 ．(1)见解析 (2) 2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质．
（1） 由 AB = AC 可得△ABC 为等腰三角形，再由圆的半径相等可得△ABD 为等腰三角形， 即上B = 上DAB = 30° ,由 上BAC = 120° 可求解 ÐDAC 的度数，由切线定理即可证明．
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解上ADE = 60° , 即得 △ADE 为等边三角形，再由边相等即可求解圆的半径．
【详解】（1）证明：连接 AD ， 因为在 △ABC 中，AB = AC ， 所以 △ABC 为等腰三角形，
又上BAC = 120° ,
所以
又因为在eD 中，BD = AD ，
所以△ABD 为等腰三角形，
所以上DAB = 上B = 30° ,
又上BAC = 120° ,
所以ÐDAC = 120°- ÐDAB = 120°- 30° = 90° , 即AD 丄 AC ，
所以AC 是eD 的切线．
（2）解：连接 AE ，
由（1）知 上DAB = 上B = 30° , 所以上ADE = 60° ,
又因为在eD 中，DE = AD， 所以 △ADE 为等边三角形，
所以上DAE = 60° ,
又因为上DAC = 90° ,
所以上EAC = 90° - 60° = 30° ,
所以上EAC = 上C ，
所以 △AEC 为等腰三角形， 所以AE = EC = 2 ，
所以AD = AE = 2 ，
所以eD 的半径为2 3 ．
34 ．(1)见解析 (2)2
【分析】（1）连接DE ，由 AD 是ΘO 的直径，得上AED = 90° ,由菱形的性质得 CB = AB ， CD = AD ，AD∥CB ，而 BD = BD ，即可证明 △CBD≌△ABD ，得 上CBD = 上ABD ，再证明
△FBD≌△EBD ，得 上BFD = 上BED = 90° ,则 上ODF = 90° ,即可证明 DF 是ΘO 的切线；
（2）由 AB = AD，上A = 上C = 60° ,证明△ABD 是等边三角形，因为DE 丄 AB ，所以 AE = BE = BF = 2 ，则AD = AB = 2BE = 4 ，求得 的半径长为 2． 【详解】（1）证明：连接DE ，
∵ AD 是ΘO 的直径， : 上AED = 90° ,
∵四边形ABCD 是菱形，
: CB = AB，CD = AD，AD∥CB ， ∵ BD = BD ，
: △CBD≌△ABD (SSS)， : 上CBD = 上ABD ，
∵ BF = BE，上FBD = 上EBD，BD = BD ， : △FBD≌△EBD (SAS) ，
: 上BFD = 上BED = 90° ,
: 上ODF = 180° - 上BFD = 90° ,
∵ OD 是ΘO 的半径，且DF 丄 OD ， : DF 是ΘO 的切线．
（2）解：∵ AB = AD，上A = 上C = 60° , :△ABD 是等边三角形，
∵ DE 丄 AB ， : AE = BE ，
∵ BF = BE = 2 ，
: AD = AB = 2BE = 2 × 2 = 4 ，
:ΘO 的半径长为 2．
【点睛】本题重点考查菱形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定定 理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
35 ．(1)见解析 (2) 4
【分析】本题考查圆周角定理， 切线的判定与性质，直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌 握切线的判定是解题的关键．
（1）连接OD, BD ，由圆周角定理得到 上ABD = 上ACD = 60° ,易证 △OBD 是等边三角形， 推出上BOD = 60° ,结合 上E = 30° ,即可得到 上ODE = 90° ,即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质可求出 OE = 8 ，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD, BD ，
Q上ACD = 60° ,
:上ABD = 上ACD = 60° .
Q OD = OB ，
: △OBD 是等边三角形，
:上BOD = 60° .
Q 上E = 30° ,
: 上ODE = 180° - 上BOD - 上E = 90° ,即 OD 丄DE ， :DE 是ΘO 的切线．
（2）解：Q 上E = 30° , BE = 4 ，
: OE = 2OD = 2OB = OB + BE ，
: OD = OB = BE = 4 ，
: OE = 8 ，
: DE = = 4 ．
36 ．(1)见解析；
@ ．
【分析】（1）由等边对等角得到 上FEC = 上FCE ，由折叠得到 上FEC = 上OBC ，进而得到
上FCE + 上OCA = 90° ,即可求证；
（2）①如图，过点C 作CH丄 AB 于点H ，设 EF = a ，DF = b ，根据勾股定理得
根据S△ 得 根据折叠的性 质得S△ECD = S△BCD ，EC = BC ，DB = DE = EF + DF = a + b ，推出 CF = CH ，求出
再根据S△ADC = AC . DF = AD . CH ，可求得 即可得出结 论；
@如图，过点C 作CH丄 AB 于点H ，连接 BE 交OC 于点G ，根据题意得 OA = OC = OB ，
根据折叠的性质得 CE = CB ， OE = OB ，推出 OC 垂直平分 BE ， 上BGO = 90° , GE = GB ，
1 1
由S△OBC = 2 OC . BG = 2 OB . CH 推出BG = CH ，则 OG = ，最后根据三角形中 位线定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：: EF = CF ， : 上FEC = 上FCE ，
: △ECD 是由△BCD 沿CD 翻折得到， : 上FEC = 上OBC ，
: 上FCE = 上OBC ， : AB 是ΘO 的直径，
: OA = OB = OC ，上ACB = 90°
: 上OCB = 上OBC ，7OCB +7OCA = 90° , : 上FCE + 上OCA = 90° ,
: OC 丄 CE ，
: CE 是ΘO 的切线；
（2）①如图，过点 C 作CG 丄 AB 于点 G，设 EF = a ，DF = b ，
∵ AB 是ΘO 的直径， : 上ACB = 90° ,
∵ BC = 6 ，AC = 8 ，
∵ △ECD 是由△BCD 沿CD 翻折得到，DE 丄 AC ，
: S△ECD = S△BCD ，EC = BC = 6 ，DB = DE = a + b ，上EFC = 90° ,
: AC . DF = AD . CG
②如图，过点 C 作CG 丄 AB 于点 G，连接 BE 交CO 于点 H，
由①知 : △ECD 是由△BCD 沿CD 翻折得到，
: CE = CB ，OE = OB ， : OC 垂直平分BE ，
: 上OHB = 90° , EH = BH ，
: OA = OB ，EH = BH ， : OH 是 △ABE 的中位线，
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，切线的判定，折叠的性质，等腰三角形的性质， 勾股定理，三角形中位线定理，等积变换等知识点．掌握直径所对的圆周角是直角，切线的 性质，折叠的性质是解题的关键．
37 ．(1)见解析
(2)15°
【分析】本题考查了圆周角定理， 垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是 解题的关键；
（1）连接OP ，以OP 的中点为圆心为半径作弧，交ΘO 于点D ，作直线PD ，即可求 解．
（2）根据垂径定理的推论可得CB 丄 OD ，根据切线的性质可得 OD 丄 PD ，则得出 BC Ⅱ PD ，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图（1），直线l 即为所求作的直线；
（2）解：如图，连接OD ，
∵ PD 是eO 的切线，
: OD 丄 PD ，
∵ D 是的中点， : CB 丄 OD ，
: BC Ⅱ PD ，
: 上OPD = 上ABC = 15° .
38 ．作图见解析
【分析】分别作线段 EF 、EH 的垂直平分线，两垂直平分线交于点O 即可．
【详解】解：如图，分别作线段 EF 、EH 的垂直平分线，两垂直平分线交于点O ，以点 O 为圆心，OE 为半径作eO ，则eO 为△EFH 的外接圆，
此中转站应建在△EFH 的外接圆圆心O 处．
理由：由图（1）知：若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）
为直径的圆，
∵ 上HEF = 上HEG + 上GEF = 47.8° + 35.1° = 82.9° < 90° , 上EHF = 50° , :△EFH 是锐角三角形，
:其最小覆盖圆为△EFH 的外接圆，设为eO ， 设直线EG 与eO 交于点E ，M ，连接MF ，
∵ = ，
: 上EMF = 上EHF = 50° < 53.8° = 上EGF ，
:点G 在eO 内，从而eO 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆， :中转站建在△EFH 的外接圆圆心处，符合题中要求．
【点睛】本题考查三角形外接圆的性质， 解题的关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形 为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖 圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆是解题的关键．
39 ．(1)图见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，垂线，作圆，切线的判定，熟练掌握切线的判定 方法，是解题的关键：
（1）根据要求，作图即可；
（2）角平分线得到 上CAD = 上BAD ，中垂线的性质 OA = OD ，进而推出 上ODA = 上CAD ，得 到OD∥CA ，得到 上ODB = 90° ,即可得证．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
（2）证明：∵ AD 平分 ÐBAC ， : 上CAD = 上BAD ，
∵ OE 垂直平分AD ， : OD = OA ，
: 上ODA = 上OAD ，
: 上ODA = 上CAD ， : OD∥CA ，
: 上ODB = 上C = 90° , : OD 丄 BC ，
∵ OD 为ΘO 的半径， : BC 是ΘO 的切线．
40 ．探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：C 在ΘO 上；证明见解析；拓展
应用：（1）作图见解析；（2） ·、 ；（3） 、 ；
【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明OC = OA = OB 即可得到答案；
拓展应用：（1）连接 AC, BD ，交于点 O ，以 O 为圆心，OA 为半径作圆即可；
（2）结合矩形性质与勾股定理计算即可；
（3）作 AD 的垂直平分线LJ ，交 AD 于L ，交 BC 于J，可得四边形 ABJL ，DCJL 是两个 全等的矩形，AL = DL = 1 = BJ = CJ ，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD ，可得两圆一定过L, J ， 再进一步解答即可.
【详解】解：探究一：
理由如下：易知线段AB 的最小覆盖圆一定经过点A 、点B ．如图①, 以AB 为直径作ΘO ， 再过A 、B 两点作 ΘO¢ （O¢ 与O 不重合），连结O¢A, O ¢B ．在 △O ¢AB 中，有O¢A + O¢B > AB
（三角形的任意两边之和大于第三边）．
QO¢A = O ¢B ，
:2O¢A > AB ，即 ΘO¢ 的直径大于ΘO 的直径．
:ΘO 是线段AB 的最小覆盖圆．“ ▲ ”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第 三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
探究二：∵ 上ACB = 90° , O 为AB 的中点， : OC = OA = OB ，
: C 在ΘO 上；
拓展应用：（1）如图， ΘO 即为矩形ABCD 的最小覆盖圆；
（2）:矩形ABCD ，AB = 1cm ，BC = 2cm ，
: 上
（3）作 AD 的垂直平分线LJ ，交 AD 于L ，交 BC 于J ， :四边形ABJL ，DCJL 是两个全等的矩形，
: AL = DL = 1 = BJ = CJ ，
:用两个等圆完全覆盖矩形ABCD ， :两圆一定过L, J ，
连接AJ, BL, CJ, DJ ，交点分别为Q, K ，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL 或CL 或DJ ， :最小直径为 ，
如图，作AB 的垂直平分线交AB, CD 于V, W ，
同法作ΘQ ， ΘK ，此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形ABCD ．则这样的两个等圆的最小直径为 cm .
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系， 直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应 用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题 的关键.