高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用导学案

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知识点一 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点二 空间角的向量法解法
【题型目录】
题型一、两条异面直线所成的角
题型二、直线与平面所成的角
题型三、两个平面的夹角
题型一、两条异面直线所成的角
1．如图，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一点P满足，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
3．如图，在三棱柱中， 面，，，为的中点.
(1)求证：面；
(2)求异面直线和所成角的大小.
题型二、直线与平面所成的角
4．如图所示，在直四棱柱中，，
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
5．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
题型三、两个平面的夹角
6．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，DE＝2BF＝2AB．
(1)证明：平面平面CDE．
(2)求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值．
7．如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．
(1)求证：；
(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．
8．如图，三棱柱中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C．
(1)求证：AO⊥平面BB1C1C；
(2)设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角的余弦值．
1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
(1)求直线DE和PF夹角的余弦值；
(2)求点E到平面PBF的距离．
2．如图，直三棱柱中，底面边长为.
(1)若侧棱长为1，求证：；
(2)若与所成角的大小为，求侧棱的长.
3．如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.
(1)已知平面平面，求证：.
(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
4．在如图所示的几何体中，、、都是等腰直角三角形，AB=AE=DE=DC，且平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
(1)求证：平面BCE；
(2)求直线AB与平面EAD所成角的正弦值．
5．如图，在三棱中，平面，，且．
(1)证明：平面平面；
(2)设棱，的中点分别为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
6．如图，在四棱锥中，是直角三角形，，四边形是等腰梯形，，，.
(1)证明：；
(2)若平面平面，求平面与平面的夹角的正弦值.
1．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．C．D．
2．如图，三棱锥中，，，，分别是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
3．在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.
4．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
5．在四棱锥中，已知底面是菱形，，，，若点为菱形的内切圆上一点，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.
6．正方形的边长是分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角 (如图所示).为矩形内一点，如果和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为______.
7．、为空间中两条互相垂直的直线，直角三角形的直角边所在直线与、都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，，当直线与成角时，与成的角为___________.
8．已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为______．
9．如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D点折到P点，且．
(1)求证：面ABCE；
(2)求AC与面PAB所成角的正弦值．
10．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．
(1)当点为线段的中点时，证明直线平面
(2)求证：；
(3)点在线段上，且，求直线与平面的夹角的正弦值
11．直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．
12．如图，在长方体中，，，E是线段上的动点．
(1)求证：；
(2)是否存在点E，使得直线AC与平面所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由．
13．四棱锥中，底面为梯形，，，，，为直二面角．
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值．
14．图是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图．
(1)证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；
(2)求图中的二面角的大小．
15．在直三棱柱中，E，F分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，二面角的余弦值为，求的长．
16．如图，点是以为直径的圆上的动点（异于、），已知，，平面，四边形为平行四边形.
(1)求证：；
(2)当点运动到中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))