2020-2021学年1.1 集合的概念测试题

1.1  集合的概念及特征（精练）

【题组一 集合的判断】

1．（2019·辽宁海州阜新实验中学高一月考）下列说法中正确的是(　　)

A．联合国所有常任理事国组成一个集合

B．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合

C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合

D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素

【答案】A

【解析】年龄较小不确定,所以B错; {1，2，3}与{2，1，3}是相同的集合; 由1，0，5，1，2，5组成的集合有4个元素,因此选A.

2．（2020·郸城县实验高中高一月考）下列几组对象可以构成集合的是（    ）

A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人

C．世界著名的科学家 D．某单位所有身高在1.7m以上的人

【答案】D

【解析】选项，，所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，

选项的标准唯一，故能组成集合．故选：D．

3．（2019·河南高一期末）下列关于集合的命题正确的有（   ）

①很小的整数可以构成集合

②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一个集合;

③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素

④空集是任何集合的子集

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误

②集合为，需要求出函数的值域，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故错误

③l，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误

④空集是任何集合的子集正确综上只有1个命题正确，故选

4．（2020·朝阳吉林省实验高二期末（文））已知非零实数，，，则代数式表示的所有的值的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当都为正数时，；

当都为负数时，.

因此，若都为正数，则；

若两正一负，则；

若一正两负，则；

若都为负数，则.

所以代数式表示的所有的值的集合是.故选：D.

【题组二 集合的表示方法】

1．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）方程组的解构成的集合是（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵∴ ∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}故选：C．

2．（2020·宁夏兴庆银川一中高二期末（文））已知集合，则集合中元素的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】，所以集合中元素的个数为3.故选：D.

3．（2020·朝阳吉林省实验高二期末（文））集合用列举法表示是（   ）

A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}

C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}

【答案】D

【解析】由题意，又，∴集合为．

4．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：

（1）方程组的解集；

（2）方程的实数根组成的集合；

（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；

（4）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.

【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）.

【解析】（1）解方程组得故解集可用列举法表示为.

（2）方程的实数根为1，因此可用列举法表示为.

（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且.

（4）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，故可用描述法表示为.

【题组三 集合中元素的意义】

1．（2019·徐汇.上海中学高一期中）下列命题中正确的有（    ）

①很小的实数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③集合是指第二和第四象限内的点集.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】对于①，集合具有确定性，故①错；

对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错；

对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错；故选A

2．（2019·全国高一课时练习）下列与集合表示同一个集合的有（    ）

A．B．C．D． E.

【答案】AC

【解析】由得即,所以根据集合的表示方法知A,C与集合M表示的是同一个集合故选：AC

3．（2019·北京四中高一专题练习）下列集合是否有区别？

（1）；（2）；（3）

（4）；（5）或

【答案】有区别

【解析】由题意可知：

（1），表示大于或等于的全体实数构成的集合；

（2），表示大于或等于的全体实数构成的集合；

（3），表示曲线上所有的点构成的集合；

（4），表示点构成的集合；

（5）或，表示直线或直线上的点所构成的集合.

综上所述，以上5个集合有区别.

【题组四 集合与元素的关系】

1．（2020·浙江高一课时练习）已知集合，则有（    ）.

A．且 B．但 C．但 D．且

【答案】B

【解析】由，即集合A，

则，.故选：B

2（2020·浙江高二学业考试）已知集合，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为集合，所以，，，故选：D

3．（2020·全国高一）设不等式的解集为，下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解不等式：，可得：，

所以，显然，故选：B.

4．（2020·全国高一课时练习）已知集合，集合，选项中元素与集合的关系都正确的是（    ）

A．，且 B．，且

C．，且 D．，且

【答案】C

【解析】因为，所以；又，所以，故C正确.

故选：C

5．（2020·浙江高一课时练习）已知集合，用列举法表示为____________.

【答案】

【解析】由，得，

.故答案为:.

【题组五 求参数】

1．（2020·全国高一）已知集合，若，则______.

【答案】2

【解析】依题意或，解得或；

由集合中元素的互异性可知当时，集合的两个元素相等，不合题意；

所以.故答案为：2.

2．（2020·全国高一）含有三个实数的集合既可表示成又可表示成，______.

【答案】1

【解析】由题意可知，两个集合相等，，

由所以只能是，即，所以，

由集合互异性可知，则，解得，符合题意，

所以，故答案为：1.

3．（2019·全国高一课时练习）当集合 时，_______,______,_______.

【答案】            

【解析】由于两个集合相等，所以两个集合的元素完全一样，左边集合有元素0，所以右边集合也有元素0，且只能c=0, 其余元素要一样，所以a=1,,填．

4．（2018·黄陵中学高新部高一期末）已知集合，若，则________.

【答案】0

【解析】若两个集合相等,则两个集合中的元素完全相同.

,又,故答案为0.

5．（2020·全国高一）已知集合，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是______；

【答案】

【解析】若中至少有一个元素，则方程至少有一个解．

当时，方程等价为，即，满足条件．

当，判别式，解得且．

综上所述，的取值范围为，即

故答案为：

6．（2020·全国高一课时练习）若，则集合中所有元素之和为________.

【答案】2

【解析】因为，所以，即.

此时即为， 所以元素之和为2.

故答案为：2

7．（2020·全国高一）已知, ,求实数的值.

【答案】

【解析】因为，所以有或，显然，

当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；

当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故.

8．（2020·全国高一课时练习）已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018=______．

【答案】-1

【解析】∵集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，∴，解得x=-1，y=0，
则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．故答案为：-1．

9．（2020·全国高一）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，

（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；

（2）若A是空集，求a的取值范围；

（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或

【解析】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，

当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，

当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，

（2）若A是空集，

则方程ax2+2x+1=0无解，

此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.

（3）若A中至多只有一个元素，

则A为空集，或有且只有一个元素，

由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.

10．（2020·全国高一课时练习）设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】(1)若a∈A，则∈A.

又∵2∈A，∴＝－1∈A.

∵－1∈A，∴＝∈A.

∵∈A，∴＝2∈A.

∴A中另外两个元素为－1，.

(2)若A为单元素集，则a＝，

即a2－a＋1＝0，方程无解．

∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．