高中数学人教A版 (2019)必修 第一册集合的概念优秀一课一练

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\l "_Tc10297" 【高频考点1】元素与集合的概念 PAGEREF _Tc10297 \h 1
\l "_Tc5671" 【高频考点2】元素与集合的关系 PAGEREF _Tc5671 \h 2
\l "_Tc5902" 【高频考点3】集合的表示方法 PAGEREF _Tc5902 \h 3
\l "_Tc17078" 【高频考点4】集合相等问题 PAGEREF _Tc17078 \h 4
\l "_Tc18774" 【高频考点5】集合的元素个数 PAGEREF _Tc18774 \h 5
\l "_Tc6813" 【高频考点6】空集的有关计算 PAGEREF _Tc6813 \h 6
\l "_Tc12671" 【高频考点7】集合的子集和真子集 PAGEREF _Tc12671 \h 6
\l "_Tc24105" 【高频考点8】子集和真子集个数问题 PAGEREF _Tc24105 \h 7
\l "_Tc28742" 【高频考点9】并集及其运算 PAGEREF _Tc28742 \h 8
\l "_Tc22387" 【高频考点10】交集及其运算 PAGEREF _Tc22387 \h 9
\l "_Tc3514" 【高频考点11】全集与补集及其运算 PAGEREF _Tc3514 \h 10
\l "_Tc23088" 【高频考点12】交集并集补集混合运算 PAGEREF _Tc23088 \h 11
\l "_Tc20194" 【高频考点13】利用venn图求集合 PAGEREF _Tc20194 \h 11
\l "_Tc4078" 【高频考点14】集合求参数问题 PAGEREF _Tc4078 \h 13
\l "_Tc10942" 【高频考点15】集合新定义问题 PAGEREF _Tc10942 \h 13
二、 \l "_Tc20672" 高考真题（刷真题） PAGEREF _Tc20672 \h 14
三、 \l "_Tc15270" 易错题型（练易错） PAGEREF _Tc15270 \h 16
高频考点精讲精练
\l "_Tc17993" 【高频考点1】元素与集合的概念
1．元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.
2．集合中元素的特点：
(1)确定性：集合的元素必须是确定的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的.
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.
【典型例题1】考察下列每组对象，能组成一个集合的是
①成都七中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点
③不小于3的正整数 ④的近似值．
①②B．③④C．②③D．①③
【典型例题2】下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A．数学必修第一册课本中所有的难题B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数
【变式训练1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班个子较高的同学B．大于2的整数
C．身高175cm以上的老师D．长寿的人
【变式训练2】给出下列说法：
①所有接近于的数构成一个集合；
②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，，，组成的集合含有个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③⑤C．③④⑤D．②④
【变式训练3】下列命题中正确的有（ ）．
①很小的实数可以构成集合；
②R表示一切实数组成的集合；
③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集；
④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式训练4】下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【高频考点2】 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
【名师点睛】1．元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
2．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
【典型例题1】设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典型例题2】集合，的元素个数为
A．4B．5C．10D．12
【变式训练1】已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】下列关系中，正确的有（ ）
A．∅∪{0}B．C．D．
【变式训练3】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．
（1）求实数x应满足的条件；
（2）若﹣2∈A，求实数x．
【高频考点3 】集合的表示方法
1．列举法：把集合的元素 一一列举 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
例：方程x2–1=0的所有解组成的集合可以表示为{–1，1}．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法：用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征．
格式：{x∈A|P（x）}，含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合．
例：不等式x–3>2的解集可以表示为{x∈R|x–3>2}或{x|x–3>2}．所有直角三角形组成的集合可以表示为：{x|x是直角三角形}．
【名师点睛】用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
【典型例题1】选择适当的方法表示下列集合：
（1）1和70组成的集合；
（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．
（3）大于1且小于70的实数组成的集合．
（4）平面直角坐标系中函数图象上的所有点组成的集合．
【变式训练1】集合的另一种表示法是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练2】已知集合．
（1）若中只有1个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；
（2）若集合中有2个元素，求实数的取值范围．
【变式训练3】已知集合，则用列举法表示（ ）
A．B．C．D．
【高频考点4】 集合相等问题
1．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
【名师点睛】从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。
【典型例题】下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
【变式训练1】已知集合，，，，若，则
A．1B．2C．D．
【变式训练2】已知集合，下列结论正确的是
A．B．C．D．
【变式训练3】若集合，且，则实数的值为 （ ）.
A．或B．C．D．或
【变式训练4】下面说法中，正确的为（ ）
A．且或
B．
C．
D．集合不满足元素的互异性
\l "_Tc17993" 【高频考点5】 集合的元素个数
【名师点睛】(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)由限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【典型例题1】已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
【典型例题2】若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．eq \f(9,2) B．eq \f(9,8)
C．0 D．0或eq \f(9,8)
【变式训练1】已知集合，则集合中的元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】下列集合中有限集的个数为（ ）
（1）二次方程的实数解组成的集合；
（2）能被3整除的整数组成的集合；
（3）一年之中四个季节的名称组成的集合；
（4）偶数组成的集合；
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式训练3】已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
\l "_Tc17993" 【高频考点6】 空集的有关计算
1．空集定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为
2．规定：空集是任何集合的子集．
【典型例题】下列集合中为空集的是
A．B． C． D．
【变式训练1】若集合，则实数的取值范围是
A．B．C．D．，
【变式训练2】设集合，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3】已知，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc17993" 【高频考点7】 集合的子集和真子集
1.子集：一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作 A⊆B（或 B⊇A）,读作“A包含于B”（或“B包含A”）.
2.规定：空集是任何集合的子集,即.
3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即.
（2）若,且,则.
1.真子集：如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）.
2.真子集的性质：（1）空集是任何非空集合的子集.
（2）若A B,B C,则A C.
【典型例题】已知集合，，，且
（1）求．
（2）写出集合的所有子集．
【变式训练1】如果集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2】（多选题）下列关系中，正确的有（）
A．B．C．D．
【变式训练3】若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc17993" 【高频考点8】 子集和真子集个数问题
1.有限集合的子集个数：
如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
2.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；
（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【典型例题】已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【变式训练1】 已知集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，则集合C＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}
的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【变式训练2】已知集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A有
个，当集合A中的元素最多时，集合A的真子集有 个．
【变式训练3】已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【变式训练4】设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
\l "_Tc17993" 【高频考点9】 并集及其运算
1．并集的概念：一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：

（1） （2） （3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
2．并集的性质：对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），； （2）；
（3）； （4）．
【典型例题】已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)