高中数学人教A版 (2019)必修 第一册等式性质与不等式性质教学设计

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课时教学设计
课题
2.1等式性质与不等式性质
授课时间： 年 月 日
课型：新授课
课时：一课时
1.教学目标
知识与技能 ：能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；
过程与方法：通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；
情感态度与价值观：培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，提高学生数学运算和逻辑推理能力。
2.学习重点难点
教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；
教学难点： 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；
3.教学准备
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
4.学习活动设计
环节一：情景引入，温故知新
（一）情境导学
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速40km/ℎ;
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
（4）连接线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0c,a−bb;如果a−b等于0，那么a=b；如果a−b是负数，那么ab⇔a−b>0;
a=b⇔a−b=0;
ax+1x+4
这里我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式），这是解决不等式问题的常用方法。
巩固训练1：已知x＜y＜0，比较(x2+y2)(x－y)与(x2−y2)(x+y)的大小.
解：∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
∴(x2+y2)(x－y)－(x2−y2)(x+y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2+y2)(x－y)＞(x2−y2)(x+y)．
比较两个实数(或代数式)大小的步骤：
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
教师活动：
通过对问题1中4个问题的引入，让学生思考并从实际问题中抽象找出其中的不等关系，教师进行补充说明；通过对数轴上的点的比较大小，引导学生得出一个基本事实，作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转化为判断差的符号，总结解题思路；通过例1和巩固训练1的解题思路的分析让学生知道如何用作差比较法比较两个式子的大小；
学生活动：
通过对问题1的独立思考，组内交流，并让一个组内的代表总结出组内结果并进行汇报，各组之间进行对比；通过让学生观察数轴上点的大小关系，加上引导得出一个基本事实，即作差比较法的基本思路的具体实施步骤；通过例1和巩固训练1让学生思考如何把作差比较法应用到本题当中，如何写出解答过程，通过与老师的讲解作对比分析自身的问题，并努力克服，通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系；
活动意图
通过生活中熟悉的情景，问题1和问题2引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系，培养学生数学建模的核心素养；通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力；例1和复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；通过巩固训练1练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。
环节二：
巩固练习：
1.用不等式或不等式组表示下列不等关系：p39 1.（详情看课本）
2.比较x+7x+3和x+6x+4的大小；
3.已知a>b,证明a>a+b2>b;
4.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是( )
A.5x+4yB B.A0⟺a>ba−b=0⟺a=ba−bbab=1⟺a=babc,那么a>c，即a>b,b>c⇒a>c
我们来证明性质2：
由两个实数大小关系的基本事实知a>b⇒a−b>0b>c⇒b−c>0}⇒a−b+b−c>0
类比等式的性质3-5，可以猜想不等式的如下性质：
性质3：如果a>b,那么a+c>b+c
性质4：如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,cd,那么a+c>b+d
事实上，由a>b和性质3，得a+c>b+d；由c>d,和性质3，得a+c>b+d；再根据性质2得a+c>b+d；
利用性质2和性质4可以推出：
性质6：如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd；
性质7：如果a>b>0,那么an>bnn∈N,n≥2
实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据。
例1： 判断下列命题是否正确:
（1）a>b,c>b⇒a>c ；（2）a>b,⇒ac2>bc2 ；
（3）a>b,c>d⇒ac>bd ；（4）a2c>b2c,⇒a>b ；
（5）a>b,⇒a2>b2 ；（6）a>b,⇒a2>b2 ；
（7）a>b>0,c>d>0⇒ac>bd ；
跟踪训练1：
1、用不等号“>”或“b，cb>0，c0，那么1a2 ______1b2
（4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb；
例2：已知a>b>0,c>0,求ca>cb；
证明：因为a>b>0，所以ab>0，1ab>0，于是a∙1ab>b∙1ab,即1b>1a.由c>0，得ca>cb.
跟踪训练2：已知a>b，证明a>a+b2>b；
证明：a−a+b2=2a−a+b2=a−b2>0； a+b2−b=a+b−2b2=a−b2>0 所以a>a+b2>b.
教师活动：
通过情景导入让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察、研探；通过预习课本引导学生回答5个问题；由不等式的性质类比推出不等式的性质，通过例题1和跟踪训练1巩固不等式性质及应用；通过例2和跟踪训练2主要是讲解不等式的证明技巧和审题思路。
学生活动：
通过情景导入让学生自由发言，引导学生进一步观察、研探；通过让学生阅读课本，对课本上的内容有进一步的认识和思考，并要求学生回答5个问题，要求学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题；通过复习的等式的基本性质让学生类比出不等式的基本性质，通过例1和跟踪训练1的思考和解答，让学生找出自身存在的问题；通过让学生对例2和跟踪训练2思考和解答，在审题和讲解过程中让学生找出自身问题所在，巩固学习的知识点。
活动意图
通过生活中熟悉的情景，问题1和问题2引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系，培养学生数学建模的核心素养；通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力；例1和复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；通过巩固训练1练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度；通过例2和跟踪训练2不等式证明过程的讲解，意在让学生理解审题过程，跟着老师学习写解答过程，在教育教学中培养学生的逻辑思维能力。
环节二：
巩固练习：
1．已知aa+b2>b;
4.给出下列结论：
①若ac>bc，则a>b；
②若abc2；
③若1ab,c>d，则a−c>b−d；
⑤若a>b,c>d，则ac>bd；
其中正确结论的序号是____________
已知1