人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时教学设计，共6页。

课题
等式性质与不等式性质
课型
新授课☑ 章/单元复习课□ 专题复习课□
习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
1.教学内容分析
教材内容包括梳理等式性质及其蕴含的思想方法，不等式的基本性质及其研究方法以及不等式的其他性质。
等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类。从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”。“对称性”是两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在联系，两者均是实数序的特征；从运算角度看，有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不变。
不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类。不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种。“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现。“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现。运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法 等运算，得出新的不等关系。由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异。实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位。
利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质。
结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下，类比等式基本性质，探究不等式的基本性质.
2.学习者分析
学生在小学和初中阶段已经接触过不等式，但上升到理论层次，例如比较大小的理论根据--作差法，对不等式性质的推导与证明，利用不等式性质解决简单的证明等问题，还有一定的难度，所以在教学过程中，注意引导学生分析不等式个性质的条件及结论，做到有理有据、严谨细致、条例清楚，提高逻辑推理和数学运算的核心素养。
3.学习目标确定
1. 了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，培养学生数学抽象的核心素养.
2. 会用作差法比较两个代数式的大小关系，提升数学运算的核心素.
3. 掌握并会应用重要不等式.
4.学习重点难点
重点：掌握不等式性质及其应用．
难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异．
5.学习评价设计
知识获得：学生独立完成练习，教师巡视观察，并挑选学生板书演示。（形成性评价）
能力提升：完成作业，必做题是为了检验学生对课堂内容的接受程度，
选做题是对所学内容的变形、拓展与延伸，目的是提高学
生运用所学知识解决问题的能力。（总结性评价）
6.学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：情境导入
教师活动1
在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票. 每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m”、“身高超1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？
学生活动1
活动意图说明：通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
环节二：新知讲授
教师活动2
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；40kmh；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出
8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可
能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎
样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
【问题3】由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设a，b是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B，当点A在点B的左边时，ab；当点A和点B重合时，a=b.
例1:比较x+2x+3和x+1x+4的大小
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
学生活动2
设该路段行驶的汽车速度为v，则0f≥2.5%，p≥2.3%
设三角形三边分别为a，b，c，则a+b>c,a−b设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x万元，
那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
(8－eq \f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.
a>b⟺a−b>0
aa=b⟺a−b=0
解：∵(x+2)(x+3)−(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)−(x2+5x+4)
=2>0，
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
因为∀a，b∈R，(a−b)2≥0，
当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+b2−2ab≥0.
因此，由两个实数大小关系的基本事实，
得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
活动意图说明
通过例题，使学生熟练比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养。同时在情景中体会重要不等式，为后面学习基本不等式做好准备
环节三：课堂练习
教师活动3
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.
比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.
学生活动3
解 0解 a＋b≥0；
解 因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，
所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).
证明：a−a+b2=a−b2
∵a>b ∴a−b>0 ∴ a−a+b2>0
即 a>a+b2
同理 a+b2−b=a−b2>0
即 a−b2>b
所以
活动意图说明
通过练习，使学生熟练比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养。
环节四：课堂小结
教师活动4
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法
步骤：作差，变形，定号
5.重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
学生活动4
学生思考回答，其他同学与教师补充。
设计意图
帮助学生梳理本节课的知识
7.板书设计
1.不等式基本原理
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b 习题讲解
a - b < 0 <=> a < b
2．作差比较法
步骤：作差，变形，定号
3.重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
8.作业与拓展学习设计
必做题：课本p42 习题2.1第2、3、4题
选做题：课本p43 习题2.1第10题
9.特色学习资源分析、技术手段应用说明
希沃白板
10.教学反思与改进
学生在从现实或数学背景中抽象获得不等关系与不等式时，对没有符号化的问题不知从何（如：连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短），教学时需要引导学生思考如何提取中的量，怎样描述问题中的量以及满足的不等关系，从而引导学生将问题符号 ．学生发现情境中隐流不等关系的能力较弱 如学生不容易从面积 度挖掘赵爽弦图中蕴含的重要不等式 ),时要加强背景分析，帮助学生从数量关系上获取有价值的信息