高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第2课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质第2课时教案，共5页。

课题
等式性质与不等式性质（第2课时）
课型
新授课☑ 章/单元复习课□ 专题复习课□
习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
1.教学内容分析
教材内容包括梳理等式性质及其蕴含的思想方法，不等式的基本性质及其研究方法以及不等式的其他性质。
等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类。从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”。“对称性”是两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在联系，两者均是实数序的特征；从运算角度看，有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不变。
不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类。不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种。“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现。“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现。运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法 等运算，得出新的不等关系。由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异。实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发 现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位。
利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质。
结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下，类比等式基本性质，探究不等式的基本性质.
2.学习者分析
学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性.
学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.
学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用“分析法”进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.
3.学习目标确定
1.了解等式的性质;掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
2.类比思想在数学中的应用,是开发学生创造性思维的工具,在对不等式性质的证明中提升逻辑思维能力和数学思维的严密性.
3.学会数学思维方法,提升逻辑推理的数学核心素养.
4.学习重点难点
教学重点：探索不等式的基本性质；不等式性质的直观解释和逻辑证明
教学难点：梳理出不等式性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质.
5.学习评价设计
学习准备：提问学生重要不等式的内容。（诊断性评价）
知识获得：学生独立完成练习，教师巡视观察，并挑选学生板书演示。（形成性评价）
能力提升：完成作业，必做题是为了检验学生对课堂内容的接受程度，
选做题是对所学内容的变形、拓展与延伸，目的是提高学
生运用所学知识解决问题的能力。（总结性评价）
6.学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：情境导入
教师活动1
上一课时我们学习了比较两个数的大小，为我们学习不等式的性质奠定了基础. 让我们先回顾等式的有关性质：
性质1 如果a=b,那么b=a.（对称性）
性质2 如果a=b，b=c,那么a=c.（传递性）
性质3 如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4 如果a=b,那么ac=bc.
性质5 如果a=b,c≠0,那么ac=bc.
学生活动1
学生回忆所学知识
活动意图说明：通过引导学生回忆，帮助学生用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力
环节二：新知讲授
教师活动2
性质1 如果a>b,那么bb.
性质2 如果a>b,b>c，那么a>c.(传递性）
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c.
性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc； 如果a>b,c<0,那么ac性质5 如果a>b，c>d那么a+c>b+d.
性质6 如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd.
性质7 如果a>b>0,那么an>bn n∈N,n≥2.
重要结论：如果a>b>0,那么0<1a<1b,如果b学生活动2
符号表示：a>b,b>c⟹a>c.
文字表示：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.
移项法则：a+b>c⟹a>c−b.
文字表示：不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.
注意：同向不等式相加得同向不等式，并无相减。
注意：同向不等式相乘得同向不等式，并无相除。另外“大于0”的条件不能忽略。
注意：“大于0”的条件不能忽略。
活动意图说明
帮助学生熟记不等式的性质，培养数学运算的核心素养
环节三：习题练习
教师活动3
例1.下列结论：
①若ac>bc，则a>b；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若a>b，则a2>b2；
④若1a<1b<0，则a>b.
其中正确结论的序号是 .
例2.已知a＞b＞0，c＜0，求证：ca>cb.
证明：∵a>b>0，
∴ab>0，1ab>0.
于是，a∙1ab>b∙1ab，
即1b>1a.
由c<0，得ca>cb.
学生活动3
利用不等式性质判断不等式是否成立的方法：
（1）运用不等式的性质判断：要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想象捏造性质；
（2）特殊值法：取特殊值时，要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算。尤其是在选择题中经常采用这种方法。
答案：④
学生尝试证明
活动意图说明
引导学生总结，学会学习，学会发现问题，解决问题，总结方法，提高解题速度和思维的严密性
通过不等式的判断、证明，使学生熟练掌握不等式的性质，培养学生解决问题的能力。
环节四：课堂小结
教师活动4
1.利用不等式的性质判断命题的真假时，
一定要注意不等式成立的条件.不要弱化
条件，尤其是不能凭空捏造性质.
2.利用不等式的性质证明简单的不等式
是否成立，实际上就是根据不等式的性质
把不等式进行适当的变形，证明过程中注
意不等式成立的条件.
学生活动4
学生补充总结。
设计意图
帮助学生梳理本节课的知识
7.板书设计
不等式的基本性质表 三道例题的方法总结
8.作业与拓展学习设计
必做题：课本p42 习题2.1第5、6、7、8题
选做题：课本p58 复习参考题第8题
9.特色学习资源分析、技术手段应用说明
PPT
10.教学反思与改进
等式的基本性质学生是熟知的，但学生不知道从哪些角度去梳理，归纳其中蕴含的数学思想则更难．教学时应给学生指明梳理的方向，先从整体上把握几个式子的结构特点，再进行分类梳理，并提示"运算是代数学的根本"在学生进行分类以后，性质2表示传递性学生很容易清楚，性质1表示对称性需引导，但都是自身的特征．对于性质3、性质4、性质5不妨先让学生通过自然语言描述，突出"加、减、乘、除"四个字，通过问题将学生引导到其共性就是运算，再归纳出"运算中的不变性".
学生类比等式的基本性质及其蕴含的数学思想方法探索并证明不等式基本性质存在一定的困难．性质1和性质2学生认为显然成立，性质3和性质4在初中都已学习了解过（初中是建立在从特殊到一般进行归纳的基础上获得这 性质的），这些性质为什么是成立的，该如何去证明，学生不知所措．教学时要通过问题引导学生回到实数的性质、实数大小关系的基本事实上去，不断修正学生的证明思路，形成合理的逻辑顺序． 由于学生缺乏代数证明的经验，对于正确地运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形会感到困难．教学时要加强证明思路的分析，以问题串的形式引导学生建立条件与结论的联系，当然这个过程需要教师的典型示范、学生多练习和师生一起纠正典型错误等方式逐步帮助学生掌握证明不等式的一般思路和方法．