苏科版（2024）九年级上册用一元二次方程解决问题课后作业题

这是一份苏科版（2024）九年级上册用一元二次方程解决问题课后作业题，共38页。试卷主要包含了5 ， ，5 ， 即甲走了24等内容，欢迎下载使用。
专题 1.4（1） 用一元二次方程解决问题（知识梳理与题型
分类讲解）
一、【学习目标】
1 ．经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实 世界数量关系的有效模型；
2 ．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；
3 ．能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解 决问题的能力．
二、【知识梳理】
【知识点 1】列方程解应用题的一般步骤：
审：认真审题，理解题意，找出题目中的等量关系，注意找关键词．
设：根据题目要求，选择合适的未知数，可直接设未知数，也可间接设未知数，注意要带单 位．
列：依据等量关系，列出一元二次方程，要确保方程两边的单位一致．
解：运用适当的方法解一元二次方程，如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等．
检：一是检验方程的解是否正确，二是检验解是否符合实际意义，如实际问题中的人数、长 度、面积等不能为负数或小数（根据具体情况）．
答：写出实际问题的答案，包括单位．
【知识点 2】常见实际问题的数量关系：
①传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
②增长（降低）率问题：
平均增长率公式；a(1+ x)n = b （a 起始量，b 是终止量，x 是平均增长率，n 增长次数）
平均降低率公式：a(1- x)n = b （a 起始量，b 是终止量，x 是平均降低率，n 降低次数）
③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等；
④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数= 十位数字×10+个位数字；
⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价× （1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单 件利润× 总销量等等
三、【题型目录】
【题型一】传播问题
【题型二】增长率问题
【题型三】图形面积问题 【题型四】数字问题
【题型五】商品销售问题 【题型六】动点运动问题
【题型七】工程问题+行程问题 【题型八】握手+循环赛问题
【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题 【题型十】其他问题
四、【题型展示与方法点拨】
【题型一】传播问题
【例题 1】（24-25 九年级上·全国·阶段练习）
1 ．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极 强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有 64 人受到 感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【变式 1】（24-25 九年级上·新疆阿克苏·期中）
2 ．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡 共 90 张，设小组有x 人，列方程正确的是( )
A ．x (x -1) = 90 B ．x (x -1) = 180
C ．x (x +1) = 90 D ．x (x +1) = 180
【变式 2】（26-27 九年级上·全国·课后作业）
3 ．某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的 又长出同样多的小 支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是 109 根，则这种植 物的主根长出 根支根．
【题型二】增长率问题
【例题 2】（24-25 八年级下·辽宁大连·期中）
4 ．某商场在五一期间将单价 400 元的某种商品经过两次降价后，以324 元的价格出售．
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议：先公布降价5% ，然后再降价15% ，这样更有吸引力，请问售货员的 方案对顾客是否更优惠？为什么？
【变式 1】（24-25 八年级下·安徽安庆·期中）
5 ．在国家经济宏观调整下，某企业 2024 年 10 月份的利润实现新突破，达到月利润 300 万 元，11 月份和 12 月份的利润合计为 800 万元，设 11 月份和 12 月份利润的平均增长率为 x ，根据题意可列方程为( )
A ．300x + 300x2 = 800
B ．300 (1+ x )2 = 800
C ．300 (1+ x ) + 300(1+ x )2 = 800
D ．300 + 300 (1+ x)+ 300(1+ x)2 = 800
【变式 2】（24-25 九年级下·江苏南京·期中）
6 ．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的 产量两年内从 300 千克增加到 363 千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分 率为
【题型三】图形面积问题
【例题 3】（24-25 八年级下·安徽亳州·期中）
7 ．如图，用长为20m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m ）围成中间隔有一道 篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 边上用其他材料做了宽为1m 的两扇小门．若花圃的面积恰好为40 m2 ．
(1)求此时花圃AB 边的长；
(2)花圃的面积能达到50 m2 吗？若能，求出AB 边的长；若不能，请说明理由．
【变式 1】（2025·新疆喀什·模拟预测）
8 ．在一幅长80cm ，宽40cm 的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的 矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2 ，设白色纸边的宽度为xcm，则所列方程正确的是
( )
\l "bkmark1" A ．80 × 40 + 2 × 80x + 2 × 40x + 2x2 = 4500
\l "bkmark2" B ．(80 + x)(40 + x) = 4500
\l "bkmark3" C ．80 × 40 + 2 × 80x + 2 × 40x = 4500
\l "bkmark4" D ．(80 + 2x)(40 + 2x) = 4500
【变式 2】（2025·吉林通化·模拟预测）
9．如图，小区物业规划在一个长60m ，宽22m的矩形场地ABCD 上，修建一个小型停车场， 阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm 的道路，中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的 总面积是600m2 ，那么 x 满足的方程是 ．
【题型四】数字问题
【例题 4】（24-25 九年级上·广东·开学考试）
10 ．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14 ，交换数字的位置后，得到的新两位数 比这两个数字的积还大38 ，求这个两位数．
【变式 1】（24-25 九年级上·辽宁铁岭·期末）
11 ．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流 数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子 算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数 字小 3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x ，则根据题意可
列方程为( )
A ．(x + 3) +10x = x2 B ．10 (x - 3) + x = x2
C ．10 (x - 3) - x = x2 D ．10 + (x - 3) = x2 【变式 2】（2025·江苏扬州·二模）
12 ．如图，根据小丽与DeepSeek 的对话，DeepSeek 在深度思考后，给出的答案是 ．
【题型五】商品销售问题
【例题 5】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）
13 ．某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为 40 元，规定销售单价不低于进价，且不高于进 价的 2 倍，日销量y（台）与销售单价 x（元）之间的关系如图所示．
(1)求y 与 x 之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为 160 元？ 【变式 1】（24-25 九年级上·山东青岛·期末）
14．将进货价格为 35 元的商品按单价 40 元售出时，能卖出200 个．已知该商品单价每上涨 1 元，其销售量就减少 5 个．设这种商品的单价上涨x 元时，可获得 1870 元的利润，则下 列方程正确的是( )
A ．(x + 40 - 35)(200 - 5x) = 1870 B ．(x - 40)(200 - 5x) = 1870
C ．(x - 35)(200 - 5x) = 1870 D ．(x + 40 - 35)(200 -10x) = 1870
【变式 2】（24-25 九年级上·四川眉山·阶段练习）
15 ．某商场销售一批衬衣，平均每天售出 30 件，每件衬衣盈利 50 元．为了尽快减少库存， 商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价 1 元，商场平均每天可多售出 2
件．若商场平均每天盈利 2000 元，则每件衬衣应降价 ．
【题型六】动点运动问题
【例题 6】（24-25 九年级上·广东湛江·阶段练习）
16 ．在长方形ABCD 中，AB = 5cm ，BC = 6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm / s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm / s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．
(1)填空：BQ = ______ ，PB = ______ ．（用含 t 的代数式表示）；
(2)当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？
(3)是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm2 ？若存在，请求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由．
【变式 1】（24-25 八年级下·安徽亳州·期中）
17 ．如图，在 △ABC 中，上C = 90° , AC = 4cm ，BC = 3cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 方向以1cm / s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以1cm / s 的速度运动，P ，Q
两点同时出发，运动时间为 ．当 时，t = ( )
A ． B ．
C ． 或 s D ． 或 s 【变式 2】（24-25 八年级下·广西南宁·期中）
18 ．如图，在平行四边形 ABCD 中， AB = 8cm ，BC = 24cm ，P，Q 分别从 A，C 同时出发， 向D，B 运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点P 的速度为1cm / s ，在 运动的过程中，若存在使四边形APQB 是邻边之比为2 :1的平行四边形时刻，则点Q 的速度 为 cm / s ．
【题型七】工程问题+行程问题
【例题 7】（2025·山东临沂·一模）
19．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A ，B 两条不 同的粽子生产线，A 生产线每小时加工粽子400 个，B 生产线每小时加工粽子500 个．
(1)若生产线A ，B 一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000 个，则 B 生产线至少加 工多少小时？
(2)原计划A ，B 生产线每天均工作8 小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A 生 产线每小时比原计划多生产100a 个（a > 0 ），B 生产线每小时比原计划多生产100 个．若A 生产线每天比原计划少工作2a 小时，B 生产线每天比原计划少工作a 小时，这样一天恰好 生产粽子6000 个，求a 的值．
【变式 1】（23-24 八年级下·浙江宁波·期中）
20 ．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步 而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速 度为 7，乙的速度为 3 ．乙一直往东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后 与乙相遇．那么相遇时甲走了多远( )
A ．10.5 步 B ．16.5 步 C ．24.5 步 D ．25.5 步
【变式 2】（23-24 八年级下·浙江绍兴·期末）
21 ．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒 1.5 米，乙的速度为每秒 1 米，乙一 直向东走，甲先向南走 10 米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米．
【题型八】握手+循环赛问题
【例题 8】（2025·贵州贵阳·二模）
22 ．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1） 班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
(1)若该班级共有 n 个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有 ______局；
(2)求这次比赛共有多少个选手参加？
【变式 1】（24-25 八年级下·浙江嘉兴·期中）
23．某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了 21 场．设 参加这次比赛的有 x 个班级，根据题意，可列方程为( )
A ．x (x +1) = 21 B ．
C ．x (x -1) = 21 D ． 【变式 2】（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）
24 ．第 33 届“哈洽会”有若干家公司参加，每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共 签订了 45 份合同．则参加此次“哈洽会”的公司有 家．
【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题
【例题 9】（2025·上海·中考真题）
25 ．解方程
【变式 1】（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）
26 ．分式方程 的根为 ( )
A ．-1或 2 B ．-2 或 1 C ．-1 D ．2
【变式 2】（24-25 八年级下·上海奉贤·期末）
27 ．用换元法解分式方程 ，如果设 y= x2 - x ，那么原方程可化为关于y 的 整式方程是 ．
【题型十】其他问题
【例题 10】（2025·湖南·模拟预测）
28 ．电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲 述一个感人的故事，影片于 2025 年 1 月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影 院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降 价 18 元，这样按原定票价需花费5000 元购买的门票张数，现在只花费了3200 元．
(1)求每张电影票的原定零售票价；
(2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连 续两次降价后票价为每张40.5 元，求原定零售票价平均每次降价的百分率．
【变式 1】（24-25 九年级上·湖南永州·期末）
29．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中， 记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数 学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了 1 个石榴，第二个人摘了 2 个石榴，第三 个人摘了 3 个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把 果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到 10 个石榴，问这群人共有多少· 人？”
【变式 2】（24-25 九年级上·湖北武汉·期中）
30 ．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二 尺，那之适出．问户高、广、邪各几何？译文是： 现在有一扇不知道高度和宽度的门和一根 不知道长度的竹竿（如图）．将竹竿横放，竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿比门高长出2 尺； 斜放，竿与门对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为 x 尺，则下列正确的方程是( )
A ．(x - 4)2 + (x - 2)2 = x2 B ．(x + 4)2 = x2 + (x - 2)2
C ．(x - 4)2 = x2 + (x + 2)2 D ．(x + 4)2 = x2 + (x + 2)2
1 ．(1)每轮传染中平均一个人传染了7 个人
(2)第三轮将又有 448 人被传染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据经过两轮传染后共有 64 人受到感染，即 可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的 64 人乘以每人每轮的传染人数 7 即可． 【详解】（1）解:设每轮传染中平均每人传染了 x 人，根据题意得
1+ x + x (x +1) = 64 ，
解得x = 7 或x = -9 (舍)．
答:每轮传染中平均一个人传染了7 个人．
（2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染 7 个人，经过两轮传染后有 64 人感染． 那么第三轮被传染的人数为64× 7 = 448 人．
答：第三轮将又有 448 人被传染．
2 ．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解 题的关键．
设该小组共有 x 人，则每人赠送(x -1) 张贺卡，与全组共送贺卡 90 张，据此列出关于 x 的 一元二次方程即可解答．
【详解】解：设该小组共有 x 人，则每人赠送(x -1) 张贺卡， 依题意得：x (x -1) = 90 ．
故选 A．
3 ．12
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出 x 根小分支，则可表示出主干、 支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的 关键．
【详解】解：设这种植物的主根长出 x 根支根．由题意，得
解得 不合题意，舍去）， :这种植物的主根长出 12 根支根．
故答案为：12．
4 ．(1)平均每次降价的百分率为10%
(2)售货员的方案对顾客更优惠，理由见解析
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的 等量关系，列出相应的方程．
（1）设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得 出关于 x 的一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意直接计算可得出答案．
【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为 x ， 由题意得：400 (1- x )2 = 324 ，
解得：x1 = 0.1 = 10% ，x2 = 1.9 （舍）， :平均每次降价的百分率为10% ；
（2）解：售货员的方案对顾客更优惠，理由如下：
400 × (1- 5%)× (1-15%) = 323 < 324 ， :售货员的方案对顾客更优惠．
5 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握后利润与原利润和 增长次数的关系，是解题的关键．
10 月份的月利润 300 万元，11 月份和 12 月份利润的平均增长率为x ，11 月份和 12 月份的 利润合计为 800 万元，列方程即可．
【详解】解：: 11 月份和 12 月份利润的平均增长率为x ，10 月份的利润 300 万元， : 11 月份的利润300(1+ x) 万元，
: 12 月份的利润300(1+ x )2 万元， : 300 (1+ x ) + 300(1+ x )2 = 800 ．
故选：C．
6 ．10%
【分析】本题考查一元二次方程的应用，牢记年均增长率的计算公式是解题的关键．
根据年均增长率的计算公式，列方程即可． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为 x． 根据题意得：300(1 + x)2 = 363
解得 x1 = 0.1 = 10%，x2 = -2.1（不合题意，舍去） 即平均每年增产的百分率为10% ，
故答案为：10%
7 ．(1)花圃AB 边的长为 4 米．
(2)花圃的面积不能达到50 m2 ，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运 用所学知识解决实际问题成为解题的关键．
（1）设花圃 AB 边的长为 x，则花圃的边BC 的长为(22 - 3x)米，由墙的最大可用长度为 11m ，可知 再根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）令x (22 - 3x) = 50 ，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃 AB 边的长为 x，则花圃的边BC 的长为(22 - 3x)米，
∵墙的最大可用长度为11m ，
: 22 - 3x ≤ 11，解得： 由题意可得：x (22 - 3x) = 40 ，
整理得：3x2 - 22x + 40 = 0 ，解得：x = 4 或 答：花圃AB 边的长为 4 米．
（2）解：花圃的面积不能达到50 m2 ，理由如下：
令x (22 - 3x) = 50 ，
整理得：3x2 - 22x + 50 = 0 ，
因为 Δ = (-22)2 - 4× 3 × 40 = -116 < 0 ，
所以方程3x2 - 22x + 50 = 0无解，即花圃的面积不能达到50 m2 ．
8 ．D
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为
(80 + 2x)cm ，宽为(40+ 2x)cm ；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型 列面积方程，矩形的面积= 矩形的长× 矩形的宽．
【详解】解：挂图长为(80+ 2x)cm ，宽为(40+ 2x)cm ， 所以根据矩形的面积公式可得：(80 + 2x)(40+ 2x) = 4500 ．
故选：D．
9 ．(60 - 2x)(22 - 2x) = 600
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度， 可得出停车位（即阴影部分）可合 成长为(60 - 2x)m ，宽为(22 - 2x )m 的矩形，结合阴影部分的总面积是600m2 ，即可列出关 于 x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形场地ABCD 的长为长60m ，宽 22m，且所修建停车位的两侧是宽xm 的 道路，中间是宽2xm的道路，
:停车位（即阴影部分）可合成长为(60 - 2x)m ，宽为 (22 - 2x )m 的矩形．
根据题意，得(60 - 2x)(22 - 2x) = 600 ， 故答案为：(60 - 2x)(22 - 2x) = 600
10 ．这个两位数是 68
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是 解题的关键．
设这个两位数的十位数字为 x，则其个位数字为(14 - x)，然后根据题意列出方程，解方程即 可求出结果．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为 x，则其个位数字为(14 - x)，
根据题意，得：10 (14 - x)+ x - x (14 - x) = 38 ， 整理得，x2 - 23x +102 = 0
解得x1 = 6 ，x2 = 17 （舍去） :14 - x = 14 - 6 = 8
答：这个两位数是 68．
11 ．B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是 解题的关键．
设周瑜逝世年龄的个位数字为x ，根据题意列出方程即可．
【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为 x ， 根据题意得，10 (x - 3) + x = x2 ．
故选：B．
12 ．1
【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个 数为x ，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上 1，其运算结果和这个数相同” 列出方程即可求解．
【详解】解：设这个数为x ，则有 x2 - x +1 = x
x2 - 2x +1 = 0 ， (x -1)2 = 0 ，
x -1 = 0 ，
解得x = 1 ．
故答案为：1．
13 ．(1) y = -0. 1x +14
(2)当护眼灯销售单价定为 60 元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为 160 元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出函数解析 式是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设 y 与 x 之间的函数关系式为y = kx + b (k ≠ 0) ．
把点(50, 9) 和(70, 7) 代入，得 解得
:y 与 x 之间的函数关系式为y = -0. 1x +14 ；
（2）解：根据题意，得(x - 40)(-0. 1x +14) = 160 ．
解得x1 = 60 ，x2 = 120 ．
:规定销售单价不低于进价，且不高于进价的 2 倍， : 40 ≤ x ≤ 80 ．
: x =120 不符合题意，舍去．
答：当护眼灯销售单价定为 60 元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为 160 元．
14 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关 系列出方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：(x + 40 - 35)(200 - 5x) = 1870 ， 故选：A．
15 ．25 元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平均每天售出的件数× 每件盈利= 每天 的利润列出方程解答即可．
【详解】解：设每件衬衫应降价x 元． 根据题意得：(50 - x)(30 + 2x) = 2000 ， 整理，得x2 - 35x + 250 = 0 ，
解得x1 = 10 ，x2 = 25 ，
Q 题目要求尽快减少库存，而选择降价越多则销售量越大， :取x = 25 ，
即若商场平均每天盈利 2000 元，则每件衬衣应降价 25 元． 故答案为：25 元．
16 ．(1)5 - t ，2t
(2)t = 2 时，PQ 的长度等于5cm
(3)存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm2 ，此时，t = 1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出BQ 、PB 的 长度是解题关键．
（1）根据距离=速度×时间解答即可；
（2）根据PQ 的长度等于5cm，利用勾股定理列方程求出 t 值即可得答案；
（3）根据五边形APQCD 的面积等于长方形面积减去△BPQ 的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点P 的速度为1cm / s ，点Q 的速度为2cm / s ，运动时间为 t 秒，
: BQ = 2t ，AP = t ， ∵ AB = 5cm ，
: PB = 5 - t ，
故答案为：2t ，5 - t ；
（2）解：∵ PB = 5 - t ，BQ = 2t ，ÐB = 90° , :当PQ = 5 时，(5 - t)2 + (2t)2 = 52 ，
解得：t = 2 或t = 0 （舍去），
:当t = 2 时，PQ 的长度等于5cm ．
（3）解：∵五边形APQCD 的面积等于26cm2 ，五边形 APQCD 的面积等于长方形面积减去
△BPQ 的面积，
解得：t1 = 1 ，t2 = 4 ，
∵当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，6 ÷ 2 = 3 ， : t ≤3 ，
: t = 1，
:存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm2 ，此时，t = 1．
17 ．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，AQ = CP = tcm ，则
CQ = AC - AQ = (4 - t) cm ，由勾股定理得到 AB = 5cm ，则 PQ = AB = 3cm ，则由勾股定 理可得32 = t2 + (4 - t)2 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，AQ = CP = tcm ， : CQ = AC - AQ = (4 - t)cm ，
在 △ABC 中，上C = 90° , AC = 4cm ，BC = 3cm ，则 ，
在Rt△CPQ 中，由勾股定理得PQ2 = CQ2 + PC2 ， : 32 = t2 + (4 - t)2 ，
解得 或 故选：C．
18 ．0.5 或 5
【分析】本题考查动点问题应用， 注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与 路程的关系， 以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为2 :1，分两种情况， 当AB : AP = 2 :1 时，AB = 8cm ，AP : AB = 2 :1 ，AP = 16cm ，利用AP 求出 t，求出CQ 的长， 利用vt = CQ 求解即可．
【详解】解：平行四边形的长宽之比为 2 :1， 当AB : AP = 2 :1 时，AB = 8cm ，
: AP = 4cm ，
:点P 的速度为1cm / s ， : t = 4 秒，
设 Q 的速度为vcm / s ，
: CQ = 4v = 24 - 4 ，解得v = 5cm / s ， 当AP : AB = 2 :1，
: AP = 2 × 8 = 16cm ， : t = 16 秒，
: CQ = 16v = 24 -16 ， : v = 0.5cm / s ，
:Q 点运动的速度0.5 或 5cm/秒．
19 ．(1)B 生产线至少加工 6 小时
(2)a 的值为 2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是 根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
(1) 设B 生产线加工x 小时，则A 生产线加工(11 - x) 小时，根据生产线A ，B 一共加工11小 时，且生产粽子总数量不少于5000 个，列不等式求解即可；
(2) 根据一天恰好生产了6000 个粽子，可列关于a 的一元二次方程，解方程即可求出a 的值． 【详解】（1）解：设 B 生产线加工x 小时，则A 生产线加工(11 - x) 小时，
根据题意可得：500x + 400(11- x) ≥ 5000 ，
解得：x ≥ 6
答：B 生产线至少加工6 小时；
（2）解：由题意可得：(400 + 100a)(8 - 2a) + (500 + 100)(8 - a) = 6000 ，
整理得：a2 + 3a -10 = 0 ，
解得a1 = 2 ，a2 = -5 （不符合题意，舍去）， 答：a 的值为2 ．
20 ．C
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示， 设经x 秒二人在B 处相遇，可得：AB = 3x ，AC = 10 ，BC = 7x -10 ，然后利用勾股定理列 出方程求解，然后即可得出甲走的步数．
【详解】设经 x 秒二人在 B 处相遇，这时乙共行走：AB = 3x ，
甲共行走：AC + BC = 7x ， Q AC = 10 ，
: BC = 7x -10 ， 又Q 上A = 90° ,
: BC2 = AC2 + AB2 ，
: (7x -10)2 = 102 + (3x )2 ，
解得：x = 0 （舍去）或 x = 3.5 ， : AB = 3x = 10.5 ，
AC + BC = 7x = 24.5 ， 即甲走了24.5 步，
故选：C．
21 ．24
【分析】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了x 秒，利用勾股定理列出方 程进行求解即可．
【详解】解：设两人走了x 秒，则：乙的路程为x 米，甲在北偏东某个方向走的路程为：
(1.5x -10) 米，
由题意，得：(1.5x -10)2 = 102 + x2 ， 解得：x = 24 或x = 0 （舍去）；
:乙的路程为24 米， 故答案为：24．
22 ．
(2)45 个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据每局比赛必得 2 分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：该班级共有 n 个参赛选手，则每个选手都要与(n -1) 个选手比赛一局，比
赛总共有 局；
（2）设这次比赛共有n 个选手参加，依题意，得 解方程，得n1 = 45, n2 = -44 （不符合题意，舍）
答：这次比赛共有 45 个选手参加．
23 ．D
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了 21 场比赛”是解决本题
的关键．设参加这次比赛的有 x 个班级，则每一个班比赛(x -1) 场，由于是单循环形式，故
足球友谊赛的总场数为 ) 场，从而可建立方程解答．
【详解】解：设参加这次比赛的有 x 个班级，由题意得
故选：D．
24 ．10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有x 家公司参加“哈洽会”，依题意得
,求解即可，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出 方程．
【详解】解：设有x 家公司参加“哈洽会”，依题意得：
整理得：x2 - x - 90 = 0 ，
解得：x1 = 10, x2 = -9 （舍去），
:参加此次“哈洽会”的公司有10 家， 故答案为：10 ．
25 ．x = 5
【分析】本题主要考查了解分式方程， 先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即 可得到答案．
解
方差两边同时乘以(x - 2)(x -1) 得：(x - 3) (x - 1) - 2 = 2 (x - 2)，
去括号得：x2 - 3x - x + 3 - 2 = 2x - 4 ， 移项，合并同类项得：x2 - 6x + 5 = 0 ， : (x -1)(x - 5) = 0 ，
: x -1 = 0 或x - 5 = 0 ， 解得x = 1 或x = 5 ，
检验，当x =1 时，x -1 = 0 ，此时 x =1 是原方程的增根，
当x = 5 时，(x - 2)(x -1) = 12 ≠ 0 ，此时 x = 5 是原方程的解， :原方程的解为x = 5 ．
26 ．C
【分析】此题考查解分式方程， 解一元二次方程，利用了转化的思想，熟练掌握知识点是解 题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得 到分式方程的解．
解
x (x - 2) + x = 2 ，
x2 - 2x + x = 2 ，
x2 - x - 2 = 0 ，
(x - 2)(x +1) = 0 ， x - 2 = 0 或x +1 = 0 ，
解得：x = 2 或x = -1 ，
经检验，当x =2 时，x - 2 = 0 ，则 x =2 是增根；
当x = -1 时，x - 2 ≠ 0 ，则原分式方程的解为 x = -1 ， 故选：C．
27 ．y2 - y - 6 = 0
【分析】本题主要考查了分式方程的化简， 根据题意可把原方程变成 根据分式的 化简步骤一步步得到即可；
【详解】解：由题意得： ， 两边同时乘以y 得：
y2 - y - 6 = 0
故答案为：y2 - y - 6 = 0
28 ．(1)每张零售电影票的原定价为50 元
(2)原定零售票价平均每次的下降率为10%
【分析】本题主要考查了分式方程和一元二次方程的实际应用，
（1）设每张零售电影票的原定价为 x 元，根据“在原定零售票价基础上每张降价18 元，这 样按原定票价需花费5000 元购买的门票张数，现在只花费了3200 元”列方程，即可求解；
（2）设原定零售票价平均每次的下降率为 m，根据“原定零售票价经过连续两次降价后票价 为每张40.5 元”列方程求解即可．
【详解】（1）解：设每张零售电影票的原定价为 x 元，则题意可得，
解得：x = 50 ，
经检验，x = 50 是原方程的根且符合题意， 故每张零售电影票的原定价为50 元．
（2）设原定零售票价平均每次的下降率为 m，
由题意得：50 (1- m)2 = 40.5 ，
解得m1 = 0.1 = 10% ，m2 = 1.9 （不合题意，舍去）， 即原定零售票价平均每次的下降率为10% ．
29 ．19
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
设这群人共有 x 人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到 10 个 石榴”，可列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设这群人共有 x 人，则共摘了个石榴， 根据题意得 ，
整理得：x2 -19x = 0 ，
解得：x1 = 0 （不符合题意，舍去）， x2 = 19 ， :这群人共有 19 人．
故答案为：19．
30 ．A
【分析】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确运用
勾股定理，关系是解答本题的关键．
设门对角线长为x 尺，表示出门高和门宽，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：∵设门对角线长为x 尺，
:竿的长度为x 尺，门高为尺(x - 2) ，门宽为(x - 4) 尺， 根据题意得：(x - 4)2 + (x - 2)2 = x2 ，
故选：A．