人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式课后练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式课后练习题，共6页。试卷主要包含了点到直线y=1的距离d是，点到直线y=k距离的最大值为，若直线l1，若动点A,B分别在直线l1等内容，欢迎下载使用。
课后·训练提升
基础巩固
1.点(1,-1)到直线y=1的距离d是( )
A.2B.22
C.3D.2
答案:D
解析:d=|-1-1|1+0=2,故选D.
2.到直线2x+y+1=0的距离等于55的直线方程为( )
A.2x+y=0
B.2x+y-2=0
C.2x+y=0或2x+y-2=0
D.2x+y=0或2x+y+2=0
答案:D
解析:根据题意,知所求直线与直线2x+y+1=0平行,故可设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),因为这两条直线间的距离等于55,所以由两条平行直线间的距离公式,得距离d=|C-1|22+12=55,解得C=0或C=2,
故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.
3.点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1B.2
C.3D.2
答案:B
解析:由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,最大值为|AP|=2.
4.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1,l2间的距离是( )
A.423B.823C.42D.22
答案:B
解析:∵l1∥l2,∴a(a-2)-3=0,2a-6(a-2)≠0,解得a=-1.
∴直线l1的方程为x-y+6=0,l2的方程为-3x+3y-2=0,即x-y+23=0.
由两条直线间的距离公式得直线l1,l2间的距离是6-2312+(-1)2=823.
5.过两条直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,并与原点的距离等于1的直线共有( )
A.0条B.1条C.2条D.3条
答案:B
解析:解方程组x-y+1=0,x+y-1=0,得x=0,y=1.
即两条直线的交点坐标为(0,1).
由交点到原点的距离为1,可知只有1条直线符合条件.
6.(多选题)已知两条不重合的直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,且始终保持平行,则l1,l2之间的距离d可能的取值为( )
A.2B.26
C.5D.27
答案:ABC
解析:易知两直线之间的距离的最大值为P,Q两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|=(2+1)2+(-1-3)2=5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5],因此d的可能取值为2,26,5,故选ABC.
7.设点P在直线x+3y=0上,且点P到原点的距离与点P到直线x+3y-2=0的距离相等,则点P的坐标是 .
答案:-35,15或35,-15
解析:设P(-3a,a),
由题意得(-3a)2+a2=|-3a+3a-2|10,
即10a2=25,解得a=±15,
即点P的坐标为-35,15或35,-15.
8.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则|AB|的最小值为 ;AB中点到原点距离的最小值为 .
答案:2 32
解析:|AB|min=|-7+5|12+12=2;
原点O到直线l1的距离d1=72=722,
原点O到直线l2的距离d2=52=522,
故AB的中点到原点的距离的最小值为522+722-5222=522+22=32.
9.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)的距离相等的直线l的方程.
解法一:∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,
∴直线l的斜率存在,设为k.
又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1,解得k=0或k=1.
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
解法二:当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.
∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0;
当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,
∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.
10.如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,求直线l2的方程.
解:设直线l2的方程为y=-x+b(b>1),
则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).
∴|AD|=2,|BC|=2b.
设梯形的高为h,则h即为A点到直线l2的距离.
由点到直线的距离公式,得h=|1+0-b|2=b-12(b>1),
由梯形的面积公式得(2+2b)×b-12×12=4,
∴b2=9,b=±3.又b>1,∴b=3.
从而得直线l2的方程是x+y-3=0.
能力提升
1.已知两条平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于5,则k的取值范围是( )
A.[-11,-1]
B.[-11,0]
C.[-11,-6)∪(-6,-1]
D.[-1,+∞)
答案:C
解析:y=-2x-k-2可化为2x+y+k+2=0.
由两条平行直线间的距离公式,得|k+2+4|22+12=|k+6|5≤5,且k+2≠-4,即k≠-6,
得-5≤k+6≤5,即-11≤k≤-1,且k≠-6.
2.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y=x+1B.y=2
C.y=43xD.y=2x+1
答案:BC
解析:先考虑|PM|的最小值,即点M到所给直线的距离d,当d≤4时,直线上存在点P使|PM|=4,此时该直线为“切割型直线”.
对于A,d1=|5-0+1|2=32>4,不符合条件;
对于B,d2=24,不符合条件.
3.已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为( )
A.23B.10C.14D.215
答案:B
解析:将(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ变形整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以直线l是经过两直线x+y-2=0和3x+2y-5=0的交点的直线系.设两条直线的交点为Q,解方程组x+y-2=0,3x+2y-5=0,得交点Q(1,1),所以直线l恒过定点Q(1,1),于是点P到直线l的距离d≤|PQ|=10,即点P到直线l的距离的最大值为10.
4.(多选题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0截得的线段长为22,则直线m的倾斜角可能是( )
A.15°B.30°
C.60°D.75°
答案:AD
解析:因为直线l1∥l2,所以直线l1,l2间的距离d=|1-3|2=2.
如图,设直线m与直线l1,l2分别相交于点B,A,则AB=22.
过点A作直线l垂直于直线l1,垂足为C,则AC=d=2,
则在Rt△ABC中,sin∠ABC=ACAB=222=12,所以∠ABC=30°.又直线l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角为45°+30°=75°或45°-30°=15°.故选AD.
5.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为 .
答案:x=-3或7x+24y-75=0
解析:当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意;
当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y-4=k(x+3),
即kx-y+3k+4=0.
则原点到直线l的距离d=|3k+4|k2+(-1)2=3,
解得k=-724.
即直线l的方程为7x+24y-75=0.
综上可知,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0.
6.已知实数x,y满足3x-4y+2=0,则x2+y2-4x+6y+13的最小值为 .
答案:16
解析:由x2+y2-4x+6y+13可得(x-2)2+(y+3)2,可以看作直线3x-4y+2=0上的动点(x,y)与点(2,-3)之间的距离的平方.又因为点(x,y)与点(2,-3)之间的最小距离为点(2,-3)到直线3x-4y+2=0的距离,即|3×2-4×(-3)+2|32+(-4)2=4,故x2+y2-4x+6y+13的最小值为16.
7.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程.
解:设P(x,y)为角A的平分线上任一点,
则点P到直线AB与到直线AC的距离相等.
由已知条件可得直线AB,AC的方程分别是4x-3y-13=0和3x+4y-16=0,
故由点到直线的距离公式,
有|4x-3y-13|42+(-3)2=|3x+4y-16|32+42,
即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,
即4x-3y-13=±(3x+4y-16),
整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.
易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程.
8.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l的方程.
解:若截距为0,
可设直线l的方程为y=kx.
由题意知|4k-3|k2+1=32,解得k=-12±3142.
若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0.
由题意知|4+3-a|2=32,
解得a=1或a=13.
故所求直线l的方程为y=-12+3142x,y=-12-3142x,x+y-1=0或x+y-13=0.