初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系同步练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系同步练习题，共12页。试卷主要包含了方程x2-，关于x的方程等内容，欢迎下载使用。
1．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A．﹣7B．7C．2D．﹣2
4．关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A．B．C．1D．
5．如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( )
A．B．
C．D．
6．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4B．2或-2C．2D．-2
7．关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
8．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
9．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
10．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
11．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
能力提升
1．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7B．C．6D．
2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2025D．1
3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．B．C．或3D．或3
4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
拔高拓展
1．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
2．阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 分层作业
基础训练
1．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴
∵，
∴，
选D．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A．﹣7B．7C．2D．﹣2
【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故选：B．
4．关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ）
A．B．C．1D．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
，
故选：D
5．如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( )
A．B．
C．D．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴3＋1＝−p，3×1＝q，
∴p＝−4，q＝3，
所以这个一元二次方程是，
故选：A．
6．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4B．2或-2C．2D．-2
【详解】解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
7．关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
【详解】解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
8．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
【详解】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
9．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：2．
10．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
11．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
能力提升
1．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7B．C．6D．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
2．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045B．4044C．2025D．1
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A．B．C．或3D．或3
【详解】解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
故选：A
4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【详解】解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
拔高拓展
1．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
2．阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
【详解】（1），；
故答案为；；
（2），，且，
、可看作方程，
，，
；
（3）把变形为，
实数和可看作方程的两根，
，，
．