初中数学二次函数同步练习题

这是一份初中数学二次函数同步练习题，共16页。试卷主要包含了已知点A，抛物线，，的图象开口最大的是，下列说法错误的是，关于抛物线，给出下列说法等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的值增大而减小
2下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0
3．已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
7．若抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则a的值为（ ）
A．B．﹣C．±D．0
8．关于抛物线，给出下列说法：
①物线开口向下，顶点是原点；
②当时，y随x的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上两点，则．
其中正确的说法有 _____．
9．如图，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）求b值；
（2）求的值．
10．若二次函数的图象开口向下，求m的值．
晓丽的解题过程如下：
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．
能力提升
1．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的图象经过原点，则k的值为（ ）
A．2B．C．2或D．3
3．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2B．C．D．
4．（2025·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．
6．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC的面积为_____．
7．如图，已知二次函数y=ax2a≠0与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．

拔高拓展
1．（2025·山东菏泽·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4B．C．2D．
2．已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 分层作业
基础训练
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的值增大而减小
【详解】解：抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
2下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0
【详解】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；
二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线 y轴，故选项B不合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；
二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意；
故选：D．
3．已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，
∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
4．抛物线，，的图象开口最大的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），
∵||＜|1|＜|-3|，
∴抛物线开口最大．
故选A．
5．若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
解得．
故选：A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图像开口越小，a越小图像开口越大
B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0
C．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
【详解】解：A. 抛物线y=ax2（a≠0）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大，该选项说法错误，符合题意；
B. 二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0，说法正确，不符合题意；
C. 二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
D. 不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，说法正确，不符合题意．
故选：A．
7．若抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则a的值为（ ）
A．B．﹣C．±D．0
【详解】解：∵抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴，
解得a＝，
故选：A．
8．关于抛物线，给出下列说法：
①物线开口向下，顶点是原点；
②当时，y随x的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上两点，则．
其中正确的说法有 _____．
【详解】解：∵，
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故该项正确；
③当时，时取最大值0，时取最小值，因此，故该项错误；
④若、是该抛物线上两点，则两点关于直线对称，因此，故该项正确．
故答案为：①②④．
9．如图，过点的直线与抛物线交于，两点．
（1）求b值；
（2）求的值．
【详解】（1）∵直线过点，
∴．
（2）∵，
∴直线的解析式为，
由得，
∴．
10．若二次函数的图象开口向下，求m的值．
晓丽的解题过程如下：
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．
【详解】解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
∵是二次函数，
∴，解得或，
∵抛物线图象开口向下，
∴，解得，
∴．
能力提升
1．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
2．二次函数的图象经过原点，则k的值为（ ）
A．2B．C．2或D．3
【详解】解：∵二次函数的解析式为：，
∴（k−2）≠0，
∴k≠2，
∵二次函数的图象经过原点，
∴，
∴k＝2或−2，
∵k≠2，
∴k＝−2．
故选：B．
3．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2B．C．D．
【详解】设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴AC=BO，+x=6，
解得（舍去），
∴B（2，4），
∴BO==，
∴AC=，
故选C．
4．（2025·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，点的图象如图所示，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：将代入中时，得：，将代入中时，得：，
根据图像可知，时的函数值，当时，的函数值，
则有： ，解得：，
故选B．
5．（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．
【详解】解：将点代入抛物线中，解得，
∴抛物线解析式为，
设CD、EF分别与轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，
得到：，
解得，(负值舍去)，
∴，
故答案为：．
6．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC的面积为_____．
【详解】解：∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，
∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0．
∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴x+x2＝6，
解得x1＝2，x2＝﹣3（不合题意舍去），
∴B（2，4），
∴OB2＝22+42＝20，
∴正方形OABC的面积＝OB•AC＝OB2＝10．
故答案为10．
7．如图，已知二次函数y=ax2a≠0与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．

【详解】（1）二次函数与一次函数的图象相交于，
则，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点
联立
解得
（3）设直线与轴的交点为,如图，
由，令，解得
，
拔高拓展
1．（2025·山东菏泽·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4B．C．2D．
【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．
2．已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．
【详解】（1）设直线的解析式为
，
解得
直线的解析式为，
抛物线过点
抛物线的函数解析式为；
（2）直线与抛物线相交于B，C两点，，
即
解得
当时，
直线
令，得

所以
当时，
【解】∵是二次函数，（第一步）
∴，解得或．（第二步）
【解】∵是二次函数，（第一步）
∴，解得或．（第二步）