数学2.5 直线与圆、圆与圆的位置获奖ppt课件

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前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系. 现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：
几何方法判断圆与圆的位置关系： 设两圆的圆心距为 d，两圆的半径分别为 r1，r2 (r1 ≠ r2)，则 （1）当 d ＞r1＋r2 时，圆 C1 与圆 C2 外离； （2）当 d＝r1＋r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切； （3）当 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆 C1与圆 C2 相交； （4）当 d ＝|r1－r2| 时，圆 C1 与圆 C2 内切； （5）当 d ＜|r1－r2| 时，圆 C1 与圆 C2 内含.
圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含.
已知两圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 和 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 1. 联立两圆的方程，消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程， 2. 当判别式 Δ > 0 时，两圆相交，当 Δ＝0 时，两圆外切或内切，当 Δ < 0 时，两圆外离或内含.
代数的方法判断两圆的位置关系：
【例】a 为何值时，两圆 C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0 和 C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0 （1）外切； （2）相交； （3）外离.
解：将两圆方程写成标准方程， C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为 C1(a, －2)，r1＝3，C2(－1, a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为 d，则 d 2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. （1）当 d＝5，即 2a2＋6a＋5＝25 时，两圆外切，此时 a＝－5或a＝2.
（2）当 1< d <5，即 1< 2a2＋6a＋5 < 25 时，两圆相交，此时－5 < a <－2 或－1< a <2.
（3）当d > 5，即 2a2＋6a＋5 > 25 时，两圆外离，此时a > 2 或a <－5.
（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 (D1－D2) x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
【例】已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. （1）判断两圆的位置关系； （2）求公共弦所在的直线方程； （3）求公共弦的长度.
解：（1）将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴r1－r2<|C1C2|（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝0.
解：（3）方法一：由（2）知圆 C1 的圆心 (1, －5) 到
方法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
直线 x－2y＋4＝0 的距离
【例】已知以C (4, －3)为圆心的圆与圆 O：x2＋y2＝1 相切，则圆C 的方程是__________________________________________.
解：设圆C 的半径为 r，
(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或 (x－4)2＋(y＋3)2＝36
当圆 C 与圆 O 外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆 C 与圆 O 内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆的方程为 (x－4)2＋(y＋3)2＝16 或 (x－4)2＋(y＋3)2＝36.
【例】已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0 和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：① m 取何值时两圆外切.
解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m.圆心分别为 C1 (1, 3)，C2 (5, 6).
【例】已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0 和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：② m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？