还剩9页未读，
继续阅读
所属成套资源：整套数学2019人教a版选择性必修 第一册学案学案
成套系列资料，整套一键下载
- 2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案第一章 §1.4 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 学案 9 次下载
- 2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案第二章 习题课 与圆有关的最值问题 学案 6 次下载
- 2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案第二章 §2.5 2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的实际应用 学案 6 次下载
- 2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案第二章 §2.5 2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系 学案 6 次下载
- 2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案第二章 §2.4 2.4.2 圆的一般方程 学案 7 次下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案设计
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案设计，共12页。学案主要包含了两圆位置关系的判断，相交弦及圆系方程问题，圆与圆的综合性问题等内容，欢迎下载使用。
导语
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
一、两圆位置关系的判断
1．代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
注意点：
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，
圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
解 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝eq \r(a－2a2＋1－12)＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即0反思感悟 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系．
跟踪训练1 (1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是( )
A．4 B．6 C．16 D．36
答案 C
解析 圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
∵两圆有三条公切线，
∴两圆外切，
∴eq \r(2＋12＋0－42)＝1＋eq \r(a)，解得a＝16.
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
答案 4
解析 到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝eq \r(3＋12＋－1－22)＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
二、相交弦及圆系方程问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解 (1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋6x－4＝0， ①,x2＋y2＋6y－28＝0， ②))的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3,0)，r＝eq \r(13)，
∴C1到直线AB的距离d＝eq \f(|－3＋4|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(13－\f(1,2))＝5eq \r(2)，
即两圆的公共弦长为5eq \r(2).
(2)方法一 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则eq \r(a＋12＋a－4－32)＝eq \r(a＋62＋a－4＋22)，
解得a＝eq \f(1,2)，故圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq \r(\f(89,2)).
故圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(7,2)))2＝eq \f(89,2)，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二 设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
跟踪训练2 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．
答案 (x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
解析 方法一 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝3，))
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为eq \r(3－32＋3＋12)＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二 同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16，))
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x2＋y2－eq \f(4,1＋λ)x－eq \f(4λ,1＋λ)y－6＝0，圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).
又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))在直线x－y－4＝0上，
所以eq \f(2,1＋λ)－eq \f(2λ,1＋λ)－4＝0，解得λ＝－eq \f(1,3)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
三、圆与圆的综合性问题
例3 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－eq \r(3))的圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则eq \r(a－12＋b2)＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋eq \r(3)y＝0，
故eq \f(b＋\r(3),a－3)＝eq \r(3).②
eq \f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq \r(3)，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq \r(3))2＝36.
延伸探究 将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－ eq \r(3))的圆的方程”，如何求？
解 因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－eq \r(3))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a－12＋02)＝r＋1，,3－a2＋－\r(3)2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,r＝2，))
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．
跟踪训练3 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，求圆O2的方程．
解 (1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
所以圆心距|O1O2|＝eq \r(2－02＋1＋12)＝2eq \r(2)，
由圆O2与圆O1外切，得圆O2的半径为2eq \r(2)－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq \r(2).
(2)因为圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，
所以圆心O1到直线AB的距离为eq \r(22－\r(2)2)＝eq \r(2).
当圆心O2到直线AB的距离为eq \r(2)时，圆O2的半径为eq \r(\r(2)2＋\r(2)2)＝2.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
当圆心O2到直线AB的距离为3eq \r(2)时，圆O2的半径为eq \r(3\r(2)2＋\r(2)2)＝eq \r(20).
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
1．知识清单：
(1)两圆的位置关系．
(2)两圆的公共弦．
(3)圆系方程．
(4)圆与圆的综合性问题．
2．方法归纳：几何法、代数法．
3．常见误区：将两圆内切和外切相混．
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
答案 B
解析 把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝eq \r(1－02＋0－22)＝eq \r(5)2．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5 C．－2 D．5
答案 AB
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
依题意有eq \r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2，
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.
3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是______________．
答案 (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析 设圆C的半径为r，
圆心距d＝eq \r(4－02＋－3－02)＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，
则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq \r(3)，则a＝________.
答案 1
解析 将两圆的方程相减，
得相交弦所在的直线方程为y＝eq \f(1,a)，
圆心(0,0)到直线的距离d＝eq \f(1,a)＝eq \r(22－\r(3)2)＝1，
所以a＝1.
课时对点练
1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
答案 C
解析 由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切．
2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 A
解析 圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为eq \f(y－0,x－1)＝eq \f(2－0,－1－1)，即x＋y－1＝0.
3．圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
两圆的圆心距为eq \r(42＋32)＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.
4．已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，则实数m的值为( )
A．0 B．－120 C．0或－120 D．5
答案 C
解析 将圆C：x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m，由两圆内切可得|6－eq \r(1－m)|＝5，解得m＝0或－120.
5．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为( )
A.eq \r(13) B．4 C.eq \f(4\r(39),13) D.eq \f(8\r(39),13)
答案 D
解析 由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
圆心O(0,0)到l的距离d＝eq \f(2\r(13),13)，圆O的半径R＝2，
所以截得的弦长为2eq \r(R2－d2)＝2eq \r(4－\f(4,13))＝eq \f(8\r(39),13).
6．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是( )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
答案 BCD
解析 由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.
A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.
∵|C1C|＝eq \r(17)∈(r1－r，r1＋r)，
∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，
∵|C2C|＝5＝r＋r2，
∴两圆外切，满足条件；
C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，
∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；
D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，
∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切．
7．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________．
答案 4a2＋b2＝1
解析 圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以eq \r(2a2＋b2)＝2－1＝1，
整理得4a2＋b2＝1.
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．
答案 x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－eq \f(3,4)，故所求圆的方程为x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0.
9．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
解 (1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,λ＋1)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,λ＋1)))2＝eq \f(4λ2＋1,λ＋12)，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ＋1)＋\f(4,λ＋1))),\r(5))＝eq \f(\r(4λ2＋1),|λ＋1|)，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
解 (1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)．
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以eq \f(|3k－4－k＋1|,\r(k2＋1))＝2，即eq \f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(5,12)，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
(2)依题意，设D(a，a＋2)．
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴eq \r(a－32＋a＋2－42)＝5，
解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
11. 设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为( )
A．4 B．4eq \r(2) C．8 D．8eq \r(2)
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝eq \r(a－b2＋a－b2)＝eq \r(32×2)＝8.
12．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有( )
A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C．公共弦AB的长为eq \f(\r(2),2)
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为eq \f(\r(2),2)＋1
答案 ABD
解析 对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，
两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；
对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；
对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝eq \f(|1－0|,\r(12＋－12))＝eq \f(\r(2),2)，半径r＝1，所以|AB|＝2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \r(2)，故C不正确；
对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝eq \f(\r(2),2)，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为eq \f(\r(2),2)＋1，故D正确．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 ＋y2＝8与圆C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(8，8－2\r(5)，8＋2\r(5)))
解析 由题知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，
当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，
设C1到AB的距离为d，
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以d＝eq \f(1,2)|AB|，即d＝eq \r(8－d2)，
所以d＝2，所以eq \f(|8－a|,\r(22＋12))＝d＝2，
解得a＝8±2eq \r(5)，
当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，
则8－a＝0，即a＝8.
14．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________________．
答案 x2＋y2－3x＋y－1＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(λ－1,1＋λ)))代入直线l：2x＋4y－1＝0的方程，
可得λ＝eq \f(1,3)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
15．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0,1)的距离为2，则实数a的取值范围是______________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(17),2)，0))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(17),2)))
解析 因为圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，
所以(x－a)2＋(y－a)2＝1，其圆心C(a，a)，半径r＝1.
因为点P到点(0,1)的距离为2，
所以P点的轨迹为x2＋(y－1)2＝4.
因为P又在(x－a)2＋(y－a)2＝1上，
所以圆C与圆x2＋(y－1)2＝4有交点，
即2－1≤eq \r(a2＋a－12)≤2＋1，
所以eq \f(1－\r(17),2)≤a≤0或1≤a≤eq \f(1＋\r(17),2).
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(17),2)，0))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(17),2))).
16．已知圆M与圆N：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(5,3)))2＝r2关于直线y＝x对称，且点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(5,3)))在圆M上．
(1)判断圆M与圆N的位置关系；
(2)设P为圆M上任意一点，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值．
(1)解 Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(5,3)))关于直线y＝x的对称点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(5,3)))，
所以圆M的半径
r＝eq \r(|MD|2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)＋\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)－\f(5,3)))2)＝eq \f(4,3)，
所以圆M的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,3)))2＝eq \f(16,9).
又|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)))2)＝eq \f(10\r(2),3)>eq \f(4,3)×2，
故圆M与圆N相离．
(2)证明 设P(x0，y0)，
则|PA|2＝(x0＋1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(5,3)))2＝(x0＋1)2＋eq \f(16,9)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(5,3)))2＝－eq \f(4,3)x0，|PB|2＝(x0－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(5,3)))2＝(x0－1)2＋eq \f(16,9)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(5,3)))2＝－eq \f(16,3)x0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|,|PB|)))2＝eq \f(1,4)，即eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2).
又PG为∠APB的平分线，故eq \f(S△BPG,S△APG)＝eq \f(|PB|,|PA|)＝2为定值．方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|< dd＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
导语
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
一、两圆位置关系的判断
1．代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：
注意点：
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，
圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
解 圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝eq \r(a－2a2＋1－12)＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3
(4)当|C1C2|<3，即0
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系．
跟踪训练1 (1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是( )
A．4 B．6 C．16 D．36
答案 C
解析 圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
∵两圆有三条公切线，
∴两圆外切，
∴eq \r(2＋12＋0－42)＝1＋eq \r(a)，解得a＝16.
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
答案 4
解析 到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝eq \r(3＋12＋－1－22)＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
二、相交弦及圆系方程问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解 (1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋6x－4＝0， ①,x2＋y2＋6y－28＝0， ②))的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3,0)，r＝eq \r(13)，
∴C1到直线AB的距离d＝eq \f(|－3＋4|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(13－\f(1,2))＝5eq \r(2)，
即两圆的公共弦长为5eq \r(2).
(2)方法一 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则eq \r(a＋12＋a－4－32)＝eq \r(a＋62＋a－4＋22)，
解得a＝eq \f(1,2)，故圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq \r(\f(89,2)).
故圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(7,2)))2＝eq \f(89,2)，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二 设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
跟踪训练2 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．
答案 (x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
解析 方法一 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝3，))
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为eq \r(3－32＋3＋12)＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二 同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16，))
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x2＋y2－eq \f(4,1＋λ)x－eq \f(4λ,1＋λ)y－6＝0，圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).
又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))在直线x－y－4＝0上，
所以eq \f(2,1＋λ)－eq \f(2λ,1＋λ)－4＝0，解得λ＝－eq \f(1,3)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
三、圆与圆的综合性问题
例3 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq \r(3)y＝0相切于点M(3，－eq \r(3))的圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则eq \r(a－12＋b2)＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋eq \r(3)y＝0，
故eq \f(b＋\r(3),a－3)＝eq \r(3).②
eq \f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq \r(3)，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq \r(3))2＝36.
延伸探究 将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－ eq \r(3))的圆的方程”，如何求？
解 因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－eq \r(3))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a－12＋02)＝r＋1，,3－a2＋－\r(3)2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,r＝2，))
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．
跟踪训练3 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，求圆O2的方程．
解 (1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
所以圆心距|O1O2|＝eq \r(2－02＋1＋12)＝2eq \r(2)，
由圆O2与圆O1外切，得圆O2的半径为2eq \r(2)－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq \r(2).
(2)因为圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)，
所以圆心O1到直线AB的距离为eq \r(22－\r(2)2)＝eq \r(2).
当圆心O2到直线AB的距离为eq \r(2)时，圆O2的半径为eq \r(\r(2)2＋\r(2)2)＝2.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
当圆心O2到直线AB的距离为3eq \r(2)时，圆O2的半径为eq \r(3\r(2)2＋\r(2)2)＝eq \r(20).
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
1．知识清单：
(1)两圆的位置关系．
(2)两圆的公共弦．
(3)圆系方程．
(4)圆与圆的综合性问题．
2．方法归纳：几何法、代数法．
3．常见误区：将两圆内切和外切相混．
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
答案 B
解析 把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝eq \r(1－02＋0－22)＝eq \r(5)
A．2 B．－5 C．－2 D．5
答案 AB
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
依题意有eq \r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2，
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.
3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是______________．
答案 (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析 设圆C的半径为r，
圆心距d＝eq \r(4－02＋－3－02)＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，
则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq \r(3)，则a＝________.
答案 1
解析 将两圆的方程相减，
得相交弦所在的直线方程为y＝eq \f(1,a)，
圆心(0,0)到直线的距离d＝eq \f(1,a)＝eq \r(22－\r(3)2)＝1，
所以a＝1.
课时对点练
1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
答案 C
解析 由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切．
2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 A
解析 圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为eq \f(y－0,x－1)＝eq \f(2－0,－1－1)，即x＋y－1＝0.
3．圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
两圆的圆心距为eq \r(42＋32)＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.
4．已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，则实数m的值为( )
A．0 B．－120 C．0或－120 D．5
答案 C
解析 将圆C：x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m，由两圆内切可得|6－eq \r(1－m)|＝5，解得m＝0或－120.
5．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为( )
A.eq \r(13) B．4 C.eq \f(4\r(39),13) D.eq \f(8\r(39),13)
答案 D
解析 由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
圆心O(0,0)到l的距离d＝eq \f(2\r(13),13)，圆O的半径R＝2，
所以截得的弦长为2eq \r(R2－d2)＝2eq \r(4－\f(4,13))＝eq \f(8\r(39),13).
6．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是( )
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
答案 BCD
解析 由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.
A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.
∵|C1C|＝eq \r(17)∈(r1－r，r1＋r)，
∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，
∵|C2C|＝5＝r＋r2，
∴两圆外切，满足条件；
C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，
∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；
D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，
∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切．
7．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________．
答案 4a2＋b2＝1
解析 圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以eq \r(2a2＋b2)＝2－1＝1，
整理得4a2＋b2＝1.
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．
答案 x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－eq \f(3,4)，故所求圆的方程为x2＋y2－eq \f(3,4)x－eq \f(3,4)y－eq \f(11,4)＝0.
9．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
解 (1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,λ＋1)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,λ＋1)))2＝eq \f(4λ2＋1,λ＋12)，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ＋1)＋\f(4,λ＋1))),\r(5))＝eq \f(\r(4λ2＋1),|λ＋1|)，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
解 (1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)．
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以eq \f(|3k－4－k＋1|,\r(k2＋1))＝2，即eq \f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(5,12)，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
(2)依题意，设D(a，a＋2)．
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴eq \r(a－32＋a＋2－42)＝5，
解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
11. 设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为( )
A．4 B．4eq \r(2) C．8 D．8eq \r(2)
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝eq \r(a－b2＋a－b2)＝eq \r(32×2)＝8.
12．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有( )
A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C．公共弦AB的长为eq \f(\r(2),2)
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为eq \f(\r(2),2)＋1
答案 ABD
解析 对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，
两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；
对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；
对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝eq \f(|1－0|,\r(12＋－12))＝eq \f(\r(2),2)，半径r＝1，所以|AB|＝2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \r(2)，故C不正确；
对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝eq \f(\r(2),2)，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为eq \f(\r(2),2)＋1，故D正确．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 ＋y2＝8与圆C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为________________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(8，8－2\r(5)，8＋2\r(5)))
解析 由题知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，
当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，
设C1到AB的距离为d，
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以d＝eq \f(1,2)|AB|，即d＝eq \r(8－d2)，
所以d＝2，所以eq \f(|8－a|,\r(22＋12))＝d＝2，
解得a＝8±2eq \r(5)，
当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，
则8－a＝0，即a＝8.
14．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________________．
答案 x2＋y2－3x＋y－1＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，
则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，
把圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋λ)，\f(λ－1,1＋λ)))代入直线l：2x＋4y－1＝0的方程，
可得λ＝eq \f(1,3)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
15．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0,1)的距离为2，则实数a的取值范围是______________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(17),2)，0))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(17),2)))
解析 因为圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，
所以(x－a)2＋(y－a)2＝1，其圆心C(a，a)，半径r＝1.
因为点P到点(0,1)的距离为2，
所以P点的轨迹为x2＋(y－1)2＝4.
因为P又在(x－a)2＋(y－a)2＝1上，
所以圆C与圆x2＋(y－1)2＝4有交点，
即2－1≤eq \r(a2＋a－12)≤2＋1，
所以eq \f(1－\r(17),2)≤a≤0或1≤a≤eq \f(1＋\r(17),2).
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(17),2)，0))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(1＋\r(17),2))).
16．已知圆M与圆N：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(5,3)))2＝r2关于直线y＝x对称，且点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(5,3)))在圆M上．
(1)判断圆M与圆N的位置关系；
(2)设P为圆M上任意一点，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值．
(1)解 Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(5,3)))关于直线y＝x的对称点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(5,3)))，
所以圆M的半径
r＝eq \r(|MD|2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)＋\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)－\f(5,3)))2)＝eq \f(4,3)，
所以圆M的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,3)))2＝eq \f(16,9).
又|MN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)))2)＝eq \f(10\r(2),3)>eq \f(4,3)×2，
故圆M与圆N相离．
(2)证明 设P(x0，y0)，
则|PA|2＝(x0＋1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(5,3)))2＝(x0＋1)2＋eq \f(16,9)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(5,3)))2＝－eq \f(4,3)x0，|PB|2＝(x0－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(5,3)))2＝(x0－1)2＋eq \f(16,9)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(5,3)))2＝－eq \f(16,3)x0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|,|PB|)))2＝eq \f(1,4)，即eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2).
又PG为∠APB的平分线，故eq \f(S△BPG,S△APG)＝eq \f(|PB|,|PA|)＝2为定值．方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|< d
d<|r1－r2|
相关学案
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置优质学案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置优质学案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案，共12页。学案主要包含了圆与圆位置关系的判定，两圆相交的公共弦问题，两圆相切的有关问题等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案设计： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置学案设计，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
