高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置一等奖教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置一等奖教案及反思，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重，教学方法，知识梳理，课前测试，典例剖析等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标：


1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．


2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．


3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．


二、教学重、难点


1．直线与圆：位置关系的判定与分类，以及解析法研究几何问题的思想的体会与应用．(重点)


2．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)


3．会进行圆与圆位置关系的判断．(重点)


4．用直线与圆、圆与圆的方程解决平面几何问题和其他综合问题．(难点)


三、教学方法：一学、二记、三应用。


四、知识梳理：


1.直线与圆的位置关系：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))


消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.


2.圆与圆的位置关系


设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：


3．圆的切线方程


若圆的方程为x2+y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2+y2＝r2相切的切线方程为___________．


注：点P必须在圆x2+y2＝r2上．


经过圆(x－a)2+(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．


4．计算直线被圆截得的弦长的常用方法


(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))eq \s\up12(2)＝r2－d2.


(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：


设直线与圆的交点为，，则





注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．


5．圆系问题


按照前面我们推导直线系的方法，类似可以得到：


(1)过直线与圆交点的圆系方程：若直线L：Ax+By+C＝0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F＝0相交，则经过它们交点的圆系方程可表示为，．


(2)过两圆交点的圆系方程：若两圆为C1：，C2：．则过这两圆的交点的圆的方程可表示为C3：，，不含圆C2．


五、课前测试：


1．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为( )


A．±eq \r(3)B．±eq \f(\r(3),3)


C．±eq \f(\r(3),2)D．±1


2．圆与圆的位置关系是（ ）．


A． 内含 B． 外离 C． 外切 D． 相交








3．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝














六、典例剖析：


题型一 直线与圆的位置关系


例1.（1）（直线系特点）(2018·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆


x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )


A．相切 B．相交


C．相离D．不确定

















（2）（代数法）已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是( )


A．相切B．相离


C．内含D．相交














（3）（几何法）若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝eq \r(1－x2)有且只有两个公共点，则m的取值范围是.























(4)（讨论法）（选讲提升）(2019·浙江嘉兴质检)已知直线l：xcsα＋ysinα＝2(α∈R)，圆C：x2＋y2＋2xcsθ＋2ysinθ＝0(θ∈R)，则直线l与圆C的位置关系是( )


A．相交B．相切


C．相离D．与α，θ有关





























课堂小结:判断直线与圆的位置关系常见的方法


(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程后利用Δ判断．


(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．


上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．


课堂练习1：圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )


A．相离B．相切


C．相交D．以上都有可能




















题型二 圆的切线方程


例2 （1）圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为( )


A．x＋eq \r(3)y－2＝0 B．x＋eq \r(3)y－4＝0 C．x－eq \r(3)y＋4＝0 D．x－eq \r(3)y＋2＝0














（2）平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )


A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0


C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0














（3）（对称性质）(2015高考·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆


(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )


A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5)B．－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)


C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5)D．－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)


























课堂小结:圆的切线方程的两种求法


(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.


(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.


课堂练习2：．(2019·福建宁德调研)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝ .














题型三圆中弦长问题


例3（1）(2019·安徽合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )


A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0


C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

















（2） (2019·陕西西安模拟考试)直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于( )


A.eq \r(3)B．2eq \r(3)


C．2eq \r(2)D.eq \r(5)














课堂练习3：直线被圆所截得弦的长度为，则实数的值是（）


A． B． C． D．














题型四 圆与圆的位置关系


例4：（1）(2019·广东佛山顺德调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )


A．{1，－1,3，－3} B．{5，－5,3，－3}


C．{1，－1} D．{3，－3}














（2）(2018·惠州调研)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )


A．内切B．相交


C．外切D．相离























（3）（两圆公共弦）(2018·宜昌二模)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2eq \r(3)，则a的值为( )A．2 B．±2 C．1 D．±1






































（4）（圆系方程）过圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的交点的圆中，面积最小的圆的方程为_____________________________．






































（5）．（均值不等式）两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,b2)的最小值为________．





























课堂小结:解决圆与圆位置关系问题的2大通法


(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．


(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．


课堂练习4：(2019·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是.


























七．学习评估


1．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )


A．eq \f(1,2)B．eq \f(3,5)


C．eq \f(\r(3),2)D．0











2．已知直线l截圆x2＋y2－2y＝0所得的弦AB的中点坐标为－eq \f(1,2)，eq \f(3,2)，则弦AB的垂直平分线方程为( )


A．x－y－1＝0 B．x＋y－1＝0


C．x－y＋1＝0 D．x＋y＋1＝0

















3．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则点(k，b)所在的圆为( )


A．x－eq \f(1,2)2＋(y＋5)2＝1B．x－eq \f(1,2)2＋(y－5)2＝1


C．x＋eq \f(1,2)2＋(y－5)2＝1D．x＋eq \f(1,2)2＋(y＋5)2＝1

















4．(2018·河北省定兴三中月考)圆O：x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )


A．eq \r(5)B．eq \r(6)


C．2eq \r(5)D．2eq \r(6)

















5．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )


A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

















6．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )


A．eq \f(1,2) B．1 C．eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)














7．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( )


A．x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0








8．在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(3π,4)














9.已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．




















10．已知直线与轴交于点，圆的方程为.


（1）如果直线与圆相切，求的值；


（2）如果直线与圆交于两点，且，求的值.方法


位置关系
几何法
代数法
相交
dΔ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0