初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计，共8页。教案主要包含了知识储备，当堂小测，课后作业等内容，欢迎下载使用。
第21.2.4讲--- 一元二次方程的根与系数的关系
初中数学
年级
九年级
重难点
一元二次方程的根与系数的关系


一元二次方程的根与系数的关系的应用



【知识储备】


1、请大家按要求方法解下列方程，并完成下列表格 。


①x2 -2x=0(因式分解) ②x2-6x-7=0(配方法) ③x2+x-6=0(公式法)


方程
x1
x2
x1+x2
x1x2

x2 -2x=0





x2-6x-15=0





x2+x-6=0





以小组为单位，两个同学共解一个方程，然后共同填完表格。请第一个完成的小组展示答案。统一答案后，我们来共同观察，方程的两个根的和与两个根的积，与方程的系数有什么关系吗？


温馨提醒：老师给出的这三个方程的系数有什么共同点。（二次项系数为1）


请以小组为单位讨论这类方程的根与系数的关系。


学生回答，老师板书并通过表格验证结论。


若方程的两个根为x1和x2,则x1+x2=-p, x1x2=q.


趁热打铁练习，如果一个一元二次方程的两个根为2和3，请问这个方程式谁？


2、请大家按要求方法解下列方程，并完成下列表格


①2x2 -6x=0(因式分解) ②3x2+6x-5=0(配方法) ③2x2+5x+3=0(公式法)





方程
x1
x2
x1+x2
x1x2

2x2 -6x=0





3x2+6x-15=0





2x2+5x+3=0








还以小组为单位，两个同学共解一个方程，然后共同填完表格。请第一个完成的小组展示答案。统一答案后，我们来共同观察，方程的两个根的和与两根之积，与方程的系数有什么关系吗？


温馨提醒：老师给出的这三个方程的系数二次项系数不为1.


若方程的两个根为x1和x2,则，


3、推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．


设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．











以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．


由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）


结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1





我们就可把它写成


x2+px+q=0．





结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．





在使用根与系数的关系时，应注意：


（1）不是一般式的要先化成一般式；


（2）方程有根的前提下才能使用；


（3）在使用时，注意“－ ”不要漏写。


例1．已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值．











不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况．








关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围











例4．如果与是方程2x2+4x+1=0的两个实数根，求


的值

















例5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：


（1）x2-8x-20=0，(10，-2)；


（2）6y2+19y+10=0，；


（3）a2-2a+3=0，(+，-+)．


















【当堂小测】


１.下列方程的两根和与两根积各是多少？


⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2 ⑶.2X2+3X=0 ⑷.3X2=1


2.判断：方程x2-x+1=0的两根之和为1，两根之积为1.（ ）


3. 已知关于x的方程X2－（m+1）X+2m-1=0


则当m= 时,此方程的两根互为相反数.


当m= 时,此方程的两根互为倒数.


4.方程x2-4x+1=0的两个根是x1,x2，则x12+x22= ？


由第4小题引出与两根之积和两根之和有关的变形

















求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入。





5、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数．








6、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0


（1）两根互为相反数；


（2）两根互为倒数；


（3）有一根为零，另一根不为零．


7、设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．


（1）作一个以-与为根的一元二次方程；


（2）作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．
























【课后作业】


1.已知方程2x2+kx-4=0的一个根为-2，求它的另一个根及k的值。

















2.利用根与系数关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的


（1）两根之差的平方 （2）两根的倒数和














3.已知x1,x2是方程x2-kx+k+2=0的两个根，且x12+x22= 4 ,求k的值。




















4、已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值．

















/5、已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．