数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

这是一份数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计，共6页。教案主要包含了创设情景，引入新课，探索新知，解决问题，应用新知，巩固新知，提高认知，课堂小结，课堂作业等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程的根与系数的关系教学目标    知识与能力：1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；3、已知一根求另一根及系数。过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 情感、态度与价值观：通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。教学重、难点    重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。    难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。一、创设情景，引入新课    师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。同学们还记得这个小秘诀是什么吗？生：通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。    当“Δ＞0”时，方程有两个不相等的实数根；    当“Δ=0”时，方程有两个相等的实数根；    当“Δ＜0”时，方程没有实数根。师：回答的真好。其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？生：想。师：那么这节课我们一起来探究这个秘密。一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）二、探索新知，解决问题1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.方程x1x2x1 +x2x1x2x2+3x+2=0    x2+2x–1=0    x2–3x–4=0           表格1师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。   生：……   师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？   生：x1 +x2 = – p，x1x2 = q   师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？   生：不一定。   师：为什么不一定呢？   生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。   师：同学们观察的非常的仔细。那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。方程x1x2x1 +x2x1x29x2–6x+1=0    3x2–4x+1=0    3x2+7x+2=0    2x2+x+1=0               表格2师：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？生：学生认真思考，并回答。（学生总结的可能不是很全面，或者有的学生可能不能做出总结，要做适当的引导和补充）师：若一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0)的两个根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？生：能。x1 +x2，x1x2。   师：我们的猜想是否正确呢？   生：思考回答。   师：请同学们认真阅读课本34页，看看课本上是怎么证明它的正确性的。   设一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0)的两个根为x1、x2，∴，.         （学生1上黑板演示）         （学生2上黑板演示）韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1 +x2，x1x2。 三、应用新知例1：已知关于x的一元二次方程x2–6=(k+1)x的一个根是2，求方程的另一个根和k的值。方法1：解：设一元二次方程x2 – 6=(k+1)x的另一个根为x1，原方程转化成一般式为：x2 – (k+1)x – 6=0，∴a=1,b= – (k+1),c= – 6由韦达定理，可知：  x1 +2=k+1  2 x1 = – 6          解得    x1 = – 3  k = – 2方法2：x=2代入原方程中得，4– 2(k+1) – 6=0  解得k = – 2将k = –2代入原方程，得  x2 + x –6=0  (x+3)( x–2)=0   ∴x+3=0或x–2=0  即x1= – 3，x2=2答：方程的另一个根是–3，k的值是–2.例2：已知x1 +x2是方程x2 – x =3的两个根，求x1 +x2，x1x2，x12 +x22及x1–x2的值。 解：原方程转换成一般形式为：x2 –x – 3=0.    由韦达定理，可得      x1 +x2=1, x1x2= – 3     x12 +x22=(x1 +x2)2–2x1x2=1–2×(–3)=7     (x1–x2)2=(x1 +x2)2–4x1x2=1–4×(–3)=13     x1–x2=±  答：四、巩固新知，提高认知    课本36页，练习1,2,3,4.五、课堂小结    1、韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1 +x2，x1x2。（要特别强调a和Δ的取值范围）。     2、韦达定理的应用：     （1）已知方程的一根，求另一根及未知数的值。     （2）求关于两根的代数式的值。 六、课堂作业     课本36页，习题18.4 第一题和第三题。