高中数学集合导学案

这是一份高中数学集合导学案，共6页。
一．元素与集合的关系
1．集合：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．
2．集合中元素的三个特征：
3．集合的分类：
4．集合的表示法：
5．常用数集及其表示符号
二．集合间的基本关系
三．集合间的运算：
四．集合元素个数
集合中元素个数公式（表示集合A中元素的个数）：
（1）
（2）
（3）
五．主要题型
考点一．元素与集合的关系
题型1．元素与集合的关系
1．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则= ．
答案：－1 解：由知且，∵，∴，，
又∵，∴，∴，∴．
2．集合，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
答案：B 解：∵，，且，
∴=．
3．已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
4．已知集合，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若，则；②若，则；③若，则；
则集合A= ．（用列举法表示）
答案： 解：假设，则，则由若，则可知，与题意不符，∴假设不成立；假设，则，则，且，与题意不符，∴假设不成立；故集合（经检验知符合题意）．
题型2．集合的表示法
描述法表示的常见集合
5．（2018全国Ⅱ理2）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
答案：A 解：满足A的全部点有,,共9个．
6．集合，，若，则的元素之和为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．15
答案：B．
考点二．集合间的基本关系
题型1．判断集合间的关系
判断集合间关系的常用方法
7．设R，集合，，若P=Q，则=（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．1
答案：C
8．集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．{2} B．{3} C．{2,3} D．{0,2,3}
答案：D 解：若时，，则=0；
若时，，则或，∴=2或3；
综上所述，实数的取值集合为{0,2,3}．
9．已知，，若，则的取值范围是 ．
答案：[1,2] 解：设，∵，∴，
∴，即，∴，∴的取值范围是[1,2]．
10．已知集合，，且，则的取值范围是_______．
答案：[2,3] 解：由，解得，∴，
由得，∴，
∵，∴≠，即，则，解得．
题型2．集合的子集个数问题
11．设集合，集合，若，则集合的真子集的个数是（ ）
A．3个B．7个C.12个D．15个
答案：D．由得，
故集合的真子集的个数是个．
12．已知集合，，则集合B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C.4D．5
答案：C 解：，共有个子集，
∴集合B中有4个元素，故选C．
考点三．集合间的运算
13．（2021全国乙理2）已知集合，，则=（ ）
A． B．S C．T D．Z
答案：C
14．（2020新高考Ⅰ1）设集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
答案：C
15．（2015天津1）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A∩∁=（ ）
A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
答案：A
16．集合，，U=R，若M∩(∁)=，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B 命题点：本题考查根据集合间的关系求参数范围．
解：由集合，，可得，
∁，要使M∩(∁)=，则，解得，故选B．
17．设全集U=R，，，则图中阴影部分表示的集合为 ．
A． B． C． D．
答案：B 解：，，
则∁，阴影部分表示的集合为A∩(∁)=．
18．已知，，则(∁)∩B= ．
答案：．
19．已知集合，，则集合=（ ）
A．(0,2) B．(2,0) C．{(0,2)} D．{(2,0)}
答案：D
考点四．集合元素的个数问题
20．（2020全国新Ⅰ5）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
答案：C 解：用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为，则，解得=46%．
21．某班有学生55人，其中音乐爱好者30人，体育爱好者40人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的有 人．
答案：19 解：画出集合图形如图，其中A={音乐爱好者}，B={体育爱好者}，I={某班学生}，
设有人，则(∁)有人，(∁)有人，∁有4人，
于是，解得=19．
22．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．问：对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为（人），赞成B的人数为30+3=33（人），如图，
记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B，设对事件A、B都赞成的学生人数为，则对A、B都不赞成的学生数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，依题意，得
，解得=21．
∴对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的学生有8人．
考点五．集合创新题
23．（第13届“希望杯”试题）已知集合，，若用列举法表示，则∁= ．
答案：
提示：利用∁=(∁)∩(∁)，解方程组．
24．对于集合M、N，定义，，设，，则=（ ）
A． B． C． D．
答案：C 解：依题意得，，
故，故选C．
25．（2011福建文12）在整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，=0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2011∈[1]；②；③；④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C 解：由于，对于①，2011÷5等于402余1，∴2011∈[1]；对于②，，被5除应余2，∴②错；对于③，任意一整数，被5除余数为0,1,2,3,4，∴③正确；对于④，先证充分性，∵属于同一‘类’，可设，，则能被5整除余0，
下面证明必要性：若，则可设，，即，，不妨令，，则，∴属于同一‘类’，故④正确．
元素特征
自然语言描述
符号语言表示
确定性
一个集合中的元素必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
元素与集合的关系
或
互异性
集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的，这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
若，，
则
无序性
集合与其中的元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．
按元素个数分为无限集、有限集和空集．
按元素属性分为数集、点集和其它集合．
列举法
将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．如：由元素组成的集合表示为．
描述法
用集合中元素的共同特征表示集合的方法．其一般形式为或，是元素，I是的取值范围，在不会产生误解的情况下可以省略，是元素的共同属性．
韦恩图法
用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种图称为Venn图．
如：由元素组成的集合表示为：
名称
非负整数集（自然数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
基本关系
自然语言描述
符号语言表示
Venn图表示
子集
如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集．
，都有，则．
真子集
如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集．
若，且，则AB．
集合相等
集合A与集合B中元素相同，那么就说集合A与集合B相等．
若，且，则
特殊集合
空集是任何集合的子集，又是任何非空集合的真子集．
；A(非空)
两个结论
，
两个公式
个元素的集合A共有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集．
满足条件的集合X共有个．
基本关系
并集
交集
补集
自然语言
对于两个给定的集合A、B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集．
对于两个给定的集合A、B，由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集．
如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合，叫做集合A在全集U中的补集．
符号语言
∁
图形语言
∁
基本性质
①
②
③
④
⑤
①
②
③
④
⑤
①(∁)=U
②(∁)=
③∁(∁)=
④(∁)∪(∁)=∁
⑤(∁)∩(∁)=∁
描述法
化简结果
函数的定义域

R
函数的值域
函数的图象
抛物线
方程的解集
不等式解集
列举观察法
当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
集合元素特征法
先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．
一般地，设，．
①若由可推出，则；
②若由可推出，则；
③若、可互相推出，则；
④若由推不出，由也推不出，则集合A、B无包含关系．
数形结合法
利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合数轴法．