高中数学人教版第一册上册集合随堂练习题

这是一份高中数学人教版第一册上册集合随堂练习题，共35页。

知识点01 图（唯恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02 子集
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练】下列各式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点04真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练】若，则集合M的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
知识点05 集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练】下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点06 空集的理解
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
【即学即练】已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②B．①③C．②③D．②④
题型01 判断两个集合的包含关系
【典例1】已知集合，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（ ）
A． B． C．D．A，B的关系不确定
【变式2】已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式4】已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A．B．
C．D．
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）
A．7B．8C．4D．6
【变式1】已知集合，满足条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个B．63个C．16个D．15个
【变式3】非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（ ）
A．4个B．6个C．7个D．8个
【变式4】已知集合，，则集合的真子集个数为 .
若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
题型03 求集合中子集（真子集）
【典例1】已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集．
【变式1】集合的子集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】设集合，列出集合A 的子集.
【变式4】已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合A的所有子集．
题型04 空集的概念集判断
【典例1】（多选）给出的下列选项，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】下列各式中，正确的是（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
A．②⑤⑦⑧B．②⑤⑦C．③⑤⑦⑧D．①⑤⑥⑦
【变式2】（多选）下列表述正确的有（ ）
A．B．
C．D．表示没有任何元素的集合
【变式3】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．B．⫋
C．D．
题型05 空集的性质及应用
【典例1】设集合，，若，则的值为 ．
【变式1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.
A．2B．4C．7D．8
【变式3】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 .
【变式4】已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则
题型06 判断两个集合是否相等
【典例1】（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式2】下列各式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．1B．2C．3D．4
【变式3】下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式4】（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ）
A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z }
B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }
C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N }
D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R }
如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
题型07 根据两个集合相等求参数
【典例1】若集合，则 ．
【变式1】已知实数集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式2】已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2B．或0C．1D．
【变式3】已知，若集合，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【变式4】已知集合，且，则 .
题型08 根据集合的包含关系求参数
【典例1】设集合．
(1)当时，求集合的非空真子集的个数；
(2)若，求整数的所有可能取值．
【变式1】已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】已知集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【变式3】设集合，．
(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式4】已知．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围．
1．集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（ ）
A．4个B．7个C．8个D．15个
7．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）已知集合，，下列说法错误的是（ ）
A．不存在实数，使得B．存在实数，使得
C．当时，D．当时，
10．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
11．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围．
（2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围．
12．已知集合且，且
(1)写出集合的子集，真子集；
(2)求集合的子集数，非空真子集数．
13．已知集合，．
(1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合；
(2)若，求的取值范围．
教学目标
1．理解集合之间包含与相等的含义．
2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义．
3．能使用唯恩图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义．
5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．
教学重难点
重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别．
难点：元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系．
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者
专题 1.2 集合的基本关系

知识点01 图（唯恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02 子集
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练】下列各式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.
【详解】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误；
对于②，任何集合都是本身的子集，②正确；
对于③，空集是任何集合的子集，③正确；
对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误；
所以正确的个数有2个.
故选：B.
知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点04真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【即学即练】若，则集合M的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个．
知识点05 集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练】下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解.
【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；
对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；
集合表示由点作为元素，构成的单元素数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，
集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
故选：A.
知识点06 空集的理解
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
【即学即练】已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】B
【分析】由集合即可直接判断；
【详解】集合有两个元素：和.
故选：B
题型01 判断两个集合的包含关系
【典例1】已知集合，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断.
【详解】因为集合，，
可知，但，所以集合A不是的子集，故AB错误；
显然，故C错误，
且，故D正确；
故选：D.
【变式1】设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（ ）
A． B． C．D．A，B的关系不确定
【答案】B
【分析】根据集合中元素的特征分析做出判断．
【详解】集合A中的元素为的整数倍．
因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍，
所以，且，
故选：B．
【变式2】已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，结合选项逐项分析即可.
【详解】由题意可得：，
所以，，，，即不是集合M的子集，
故B正确，ACD错误.
故选：B.
【变式3】以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于①：因为0是集合的元素，所以，故①正确；
对于②：因为是集合的元素，所以，故②正确；
对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，两个集合的元素全不相同，所以与之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误；
对于⑤，空集是任何集合的子集，则，故⑤对；
综上所述：正确的个数为3.
故选：C.
【变式4】已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.
【详解】由，
又，，
而为偶数，和为整数，所以.
故选：B.
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）
A．7B．8C．4D．6
【答案】B
【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数.
【详解】由，则，又，且
所以，故子集个数为.
故选：B
【变式1】已知集合，满足条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案.
【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个.
故选：B.
【变式2】已知集合，，，则集合C的子集有（ ）
A．64个B．63个C．16个D．15个
【答案】C
【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】由集合，，且，
因为，，可得集合，所以集合的子集有个.
故选：C.
【变式3】非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（ ）
A．4个B．6个C．7个D．8个
【答案】C
【分析】依题意可得集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可，通过列举可得的个数.
【详解】由，则可知集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可；
因此若中含有一组实数对，则或或；
若中含有两组实数对，则或或；
若中含有三组实数对，则；
综上可知，适合上述条件的集合的个数是7个.
故选：C
【变式4】已知集合，，则集合的真子集个数为 .
【答案】7
【分析】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数.
【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：.
故答案为：7.
若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
题型03 求集合中子集（真子集）
【典例1】已知，，若，求实数所构成的集合，并写出的所有非空真子集．
【答案】答案见解析．
【分析】求出集合，根据包含关系确定集合，再由非空真子集定义写出结论．
【详解】由已知，
时，，
时，时，，
时，，，
综上，的所有非空真子集有，，，，，．
【变式1】集合的子集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据集合子集的定义，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合子集的定义，可得，
故选：D.
【变式2】若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据子集关系分析求解即可.
【详解】因为，则，
所以.
故选：D.
【变式3】设集合，列出集合A 的子集.
【答案】A的子集为
【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.
【详解】由化简可得，
所以A的子集为
【变式4】已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合A的所有子集．
【答案】(1)1
(2)，，，，，，，
【分析】（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集.
【详解】（1）∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
（2）由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，
题型04 空集的概念集判断
【典例1】（多选）给出的下列选项，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据集合与空集的性质逐个选项判断即可.
【详解】对于A，不是的元素，故不正确；
对于B，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；
对于C，是的元素，故正确；
对于D，是的元素，故不正确；.
故选：BC
【变式1】下列各式中，正确的是（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
A．②⑤⑦⑧B．②⑤⑦C．③⑤⑦⑧D．①⑤⑥⑦
【答案】A
【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可.
【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确；
对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确；
对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确；
对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确；
综上：正确的命题有②⑤⑦⑧.
故选：A.
【变式2】（多选）下列表述正确的有（ ）
A．B．
C．D．表示没有任何元素的集合
【答案】BD
【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项.
【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误；
B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确；
C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确，
而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误.
故选：BD
【变式3】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】ABD由空集定义可判断选项正误；C由集合间关系可判断选项正误.
【详解】对于A，空集中不含元素，则，故A错
对于B，空集是任意集合的子集，则，故B对；
对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C错；
对于D，对于方程，，
故方程无解，即，故D对.
故选：BD
【变式4】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．B．⫋
C．D．
【答案】BC
【分析】由元素与集合的关系判断AD；由空集的规定与真子集概念判断B；由子集的概念判断C.
【详解】对选项A，由不是的元素，故A错误；
对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故⫋，B正确；
对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确；
对选项D，由不是的元素，D错误.
故选：BC
题型05 空集的性质及应用
【典例1】设集合，，若，则的值为 ．
【答案】0或1或
【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得．
【详解】由，
方程至多1个解，故.
，
或或，
①若，则；
②若，则；
③若，则，解得；
综上可得，或1或.
故答案为：0或1或.
【变式1】关于x的方程的解集为空集，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.．
【详解】方程整理得，
则有，解得且，
由方程的解集为空集，所以，即.
故选：D.
【变式2】设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）.
A．2B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】当时，，满足，
当时，，因为，所以或，得或，
综上，实数取值的集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C
【变式3】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解.
【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解，
则，解得，
所以a的取值范围值是.
故答案为：.
【变式4】已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）由，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由A和B有且只有一个是，得且或且，
则有或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则
题型06 判断两个集合是否相等
【典例1】（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果.
【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意；
对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意；
对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意；
对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意.
故选：ABD
【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由集合相同概念逐个判断即可.
【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误；
选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误；
选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确；
选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误．
故选：C
【变式2】下列各式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题.
【详解】因为，故①错；
因为，故②对；
因为，故③对；
因为且，故④错；
因为，故⑤错；
因为，又且，故⑥错；
所以正确的个数为个，故B正确.
故选：B.
【变式3】下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根据集合的含义、集合相等的定义逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A选项，，，，故A不正确；
对于B选项，，，故B正确；
对于C选项，，，，故C不正确；
对于D选项，与中的元素不同，，故D不正确.
故选：B.
【变式4】（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ）
A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z }
B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }
C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N }
D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R }
【答案】ABC
【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确，
对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确，
对于C，M，P因此C正确，
对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确.
故选：ABC
如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
题型07 根据两个集合相等求参数
【典例1】若集合，则 ．
【答案】或
【分析】由题意，方程有唯一根，分两种情况讨论，列出等量关系求解即可.
【详解】集合，即方程有唯一根，
所以或，
解得或，
所以或.
故答案为：或.
【变式1】已知实数集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可．
【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）；
当，时，，，不符集合元素的互异性，
所以，，．
故选：A．
【变式2】已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2B．或0C．1D．
【答案】C
【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值.
【详解】由题设，可得或，
当时，，满足题设；
当时，，不符合集合元素的互异性；
所以.
故选：C
【变式3】已知，若集合，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】B
【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果.
【详解】∵，
∴，解得，
故选：B
【变式4】已知集合，且，则 .
【答案】0或
【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值.
【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论：
当时，解得或，
若，集合A、B中的元素均不满足互异性；
若，则，符合题意；
当时，解得或，
若，集合A、B中的元素均不满足互异性；
若，则，符合题意；
综上所述，或，
故答案为：0或
题型08 根据集合的包含关系求参数
【典例1】设集合．
(1)当时，求集合的非空真子集的个数；
(2)若，求整数的所有可能取值．
【答案】(1)14
(2)1和2．
【分析】（1）根据得到中得元素，然后计算真子集个数即可；
（2）解不等式得到，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
故，其中含有4个元素，
故其非空真子集的个数为．
（2）由题意可得，
由，
可得
解得，
故整数的所有可能取值为1和2．
【变式1】已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围.
【详解】当为空集时，时.解不等式，可得.
因为空集是任何集合的子集，所以当时，.
当不为空集时，时，解不等式，可得.
此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.

已知，，所以需满足.
解不等式，可得.
综合可得，又因为前提是，所以取交集得.
综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得.
能使成立的所有组成的集合为，
故选： C.
【变式2】已知集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由方程，解得或，可得集合，
若，则满足，解得，此时满足；
若，当，即时，，满足，符合题意；
当，即时，中有两个元素，，则满足无解，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：.
【变式3】设集合，．
(1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)．
(2)或．
【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案；
（2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）解：由集合，
因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，
故，所以，
所以实数的取值范围是．
（2）解：由，解得或，所以，
因为，所以集合可能是，，，；
当时，即方程无实数根，
则，解得；
当时，即方程有且只有一个根0，
，解得；
当时，即方程有且只有一个根，
则，方程组无解；
当时，方程有两根和，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是或．
【变式4】已知．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为；
（2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围.
【详解】（1）因为，，
所以，解得，
故实数a的取值范围为；
（2），，
当时，，解得，满足题意；
当时，，解集为，
综上，实数a的取值范围为.
1．集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数.
【详解】因为，
故子集个数为，
故选：C.
2．下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由集合元素的特征和属性进行判断.
【详解】A选项：，故A错误；
B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误；
C选项：,，故C选项正确；
D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误．
故选：C.
3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意；
选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意；
选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意；
选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的，
故两集合不是同一个集合，故D正确．
故选：D
4．已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出.
【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B
5．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围.
【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是．
故选：A.
6．已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（ ）
A．4个B．7个C．8个D．15个
【答案】B
【分析】根据题意求出集合A即可.
【详解】因为⫋，
都满足题意，共7个.
故选：B.
7．已知集合有且仅有1个真子集，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解即可.
【详解】由集合有且仅有1个真子集，可得集合中有且只有一个元素，
所以方程有2个相等的实数解，
即，解得，
所以实数的取值集合为，
故选：B.
8．已知，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为，所以当，即时，，满足，即；
当，即时，，满足，即；
当，即时，由，得，，即；
综上，．
故选：C．
9．（多选）已知集合，，下列说法错误的是（ ）
A．不存在实数，使得B．存在实数，使得
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解.
【详解】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确；
对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误；
对于C：当时，不满足，故C错误；
对于D：当，即时，，符合，
当时，要使，则，解得，不满足，
综上，当且仅当时，
所以当时不正确，故D错误．
故选：BCD
10．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】，若，则，解得，
若，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
11．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围．
（2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围；
（2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】解：（1）由集合，
当时，，解得，此时满足 ；
当时，要使得，
则满足且等号不能同时取，解得．
综上可得，实数的取值范围是．
解：（2）当时，由，得，满足；
当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数m的取值范围是．
12．已知集合且，且
(1)写出集合的子集，真子集；
(2)求集合的子集数，非空真子集数．
【答案】(1)答案见解析
(2)16，14
【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解；
（2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数．
【详解】（1），
的子集有：，，，，，，，；
的真子集有：，，，，，，．
（2），
有4个元素，的子集数为个，
的非空真子集数为个．
13．已知集合，．
(1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值；
（2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解.
【详解】（1）若，即，则，符合题意．
若，即，则由中恰有一个元素，得，
解得或．
综上所述，的值构成的集合为．
（2）由，解得或，则．
若，符合，则解得或．
若，则，解得，则，符合．
若，则，解得，则，不符合．
综上所述，的取值范围为．
教学目标
1．理解集合之间包含与相等的含义．
2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义．
3．能使用唯恩图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义．
5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．
教学重难点
重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别．
难点：元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系．
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者