人教版数学高中一年级《函数的概念及其表示》讲义

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3.1.1 函数的概念
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，
其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2．函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
3．区间法：
3.1.2 函数的表示法
1. 函数的表示法
解析法
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
图象法
就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
列表法
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
函数的表示法
2．与函数相关概念
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
相等函数
分段函数
复合函数
如果函数 的定义域为A，函数 的定义域为D，值域为C，则当 时，称函数 为 与 在D上的复合函数，其中 叫做中间变量， 叫做内层函数， 叫做外层函数．
考点1．函数的概念
题型1．利用函数的概念判断函数
判断对应关系是否为函数要看三点：
①两个集合A，B是非空的实数集；②在A中的任意性；③在B的唯一性．
（1）从韦恩图上判断函数关系
例1．设，，从A到B的对应如图：
其中是函数的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．②④
答案：C 命题点：本题考查函数的概念．
解：①不是函数，∵集合A的元素没有对应关系，违反了在A中的任意性；②是函数，且是一一对应；③是函数，是多对一；④不是函数，∵集合A的元素对应B中的和，违反在B中唯一性．
举一反三1．（2011湖南文16）给定，设函数→满足：对于任意大于的正整数，．
（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；
（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 ．
答案：（1）a(a为正整数) ，（2）16 命题点：本题考查函数的概念．
解：（1）由于函数→，若，则当时，，当时，函数可以是任意的正整数，可以用表示；
（2）若，则当时，，当时，为正整数，且，故或．当时，或；当时，或；当时，或；当时，或；故共可构成不同的函数的个数为16．
（2）从解析式上判断函数关系
例2．在下列从集合A到集合B的对应中，不能确定是的函数的是（ ）
①，，对应法则；
②，，对应法则；
③，，对应法则；
④A=R，B=R，对应法则；
⑤，，对应法则；
⑥，，对应法则；
A．①⑤⑥ B．②④⑤ C．②③④ D．①②③⑤
答案：D 解：①在对应法则下，A中不能被3整除的数在B中没有象，∴不能确定是的函数；
②在对应法则下，A中的数在B中有两个数与之对应，∴不能确定是的函数；
③在对应法则下，A中的数（除去5与－5外）在B中有两个数或没有数与之对应，∴不能确定是的函数；
⑤A不是数集，∴不能确定是的函数；
④⑥显然满足函数的特征，故能确定是的函数；故选D．
举一反三2．存在函数满足：对任意都有（ ）
A． B．
C． D．
答案：D 解：取特殊值法．
取时，可得，这与函数的定义矛盾，∴选项A错误；
取时，可得，这与函数的定义矛盾，∴选项B错误；
取时，可得，这与函数的定义矛盾，∴选项C错误；
取，则任意都有，故选项D正确．
（3）从图象上判断函数关系
例3．下列图象中不是函数的图象是（ ）
答案：C
举一反三3．下列图象中可以表示以为定义域，以为值域的函数的图象是（ ）
答案：C
题型2．函数的相关概念
例4．下列函数中，与是同一函数是（ ）
A． B． C． D．
答案：B 注意：当定义域、对应法则和值域完全一致时，两个函数才相同.
举一反三4．集合，从A到B的映射f满足，那么这样的映射的个数有（ ）
A．2个B．3个C．5个D．8个
答案：B．若，则有1种情况，若，则分别为中的某一个数，故有2种情况，故共有3个这样的映射.
例5．已知是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射下的象为实数，记作，对于任意的正整数，映射由下表给出：
则= ，使不等式成立的的集合是 ．
答案：8；{1,2} 解：由表知；
∵，都有，∴，
则，
当时，，，成立；
当时，，，成立；
当时，；
故满足条件的的集合是{1,2}．
举一反三5．函数的定义域为，其图象如图所示，函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论：
①；
②函数在上有且仅有3个零点；
③不等式的解集为．
其中，正确结论的序号是_______．
答案：①③ 命题点：本题考查函数的图象与性质，考查数形结合思想．
通解：对于①，由是定义域为R的奇函数，得，∴①正确；
对于②，依题意在上有唯一的零点=0，∵，，
∴，∴函数是以2为周期的函数，则，，
函数在上有且仅有5个零点；∴②错误；
对于③，结合图象知，不等式，则，得，
∴不等式的解集为，③正确．
综上所述，正确结论的序号是①③．
优解：依题意得，，∴，，
∴函数是以2为周期的函数，∴，即，
在平面直角坐标系中画出函数在上的图象（如图所示），故①正确，②错误；
对于③，结合的图象知不等式，则，得，
∴不等式的解集为，③正确．
综上所述，正确结论的序号是①③．
考点2．函数的定义域及其求法
函数的定义域通常是指能使函数式有意义的实数的集合．它是函数不可缺少的组成部分．
（一）．求函数定义域的几种常见方法．
题型1．已知函数解析式，求定义域
它是求使函数式有意义的一切实数的集合．解答的主要依据有：
（1）分式的分母不等于0；
（2）偶次根式的被开方式非负；
（3）0的0次幂无意义，0的负实数次幂无意义；
（4）在对数形式中，真数大于0，底数大于0且不等于1．
（5）的定义域是.
1．函数的图象如图所示，则该函数的定义域是____________，值域____________．
答案：；．
2．（2013年山东文5）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
答案：A 解：依题意知，得，其定义域为．
3．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为__________．
答案： 解：由函数的定义域为R，则对R恒成立，
当时，不等式显然成立；
当时，∴，解得，
综上，实数的取值范围为．
题型2．复合函数定义域的求法
关于抽象函数的定义域（抽象函数是指没有具体解析式的函数）解决方法：
1．明确定义域永远指的范围；
2．在同一法则下不管接受法则的对象是什么字母或代数式其制约条件都是一致的．
（1）已知的定义域，求的定义域．
若已知的定义域为x∈(a,b)，于是有，从而求得x的取值范围，此即为的定义域．
4．已知的定义域为(0,1]，
（1）求与的定义域；
（2），求的定义域．
解：（1）依题意，有，得，∴函数的定义域为；
由，得，∴函数的定义域为(0,1]．
（2）由已知有，得， ∵，∴，
∴函数的定义域是(－a,1+a]．
（2）已知的定义域，求的定义域．
若已知的定义域为x∈(a,b)，即由，求得的范围，此即的定义域．
5．（1）已知的定义域为(0,1)，求的定义域；
（2）设的定义域是[－2,3)，求的定义域．
解：（1）的定义域为(0,1)，指在中x∈(0,1)．令t＝2x＋4，x∈(0,1)t∈(4,6)
即在的定义域为(4,6)，所以的定义域为(4,6)．
（2）由－2≤x