初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）角课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）角课后测评，共41页。
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3.掌握钟表上有关夹角问题及运算；
4.理解方向角概念及有关运算
【知识点梳理】
考点1 角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图2
图1
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
考点2 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
考点3 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
考点4 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
【典例分析】
【考点1 度分秒换算】
【典例1-1】（2024春•兰西县校级期末）用度表示49°31′21″＝ ．
【典例1-2】（2024春•莱西市期中）1.45°＝ 分．
【变式1-1】（2024春•潍坊期末）46°24'＝ °．
【变式1-2】（2024春•泰山区校级月考）30.12°＝ ° ′ ″；100°12′36″＝ °．
【变式1-3】（2024秋•铜官区期末）下列关系式正确的是（ ）
A．45.5°＝45°5′B．45.5°＝45°50′
C．45.5°＜45°5′D．45.5°＞45°5′
【典例2】（2024秋•乐昌市期末）如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2024春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2024秋•天山区校级期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB是同一个角
B．∠α与∠COB是同一个角
C．∠AOC可以用∠O来表示
D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC
【典例3】（2024春•莱山区期末）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【变式3-1】（2024秋•渝北区期末）如图，图中一共有（ ）个锐角．
A．4B．6C．8D．10
【变式3-2】（2024秋•嘉祥县期末）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（ ）
A．10个B．18个C．45个D．55个
【典例4】（2024秋•阿荣旗校级月考）已知∠AOB，求作∠A'O'B'＝∠AOB，保留作图痕迹．
【变式4-1】（2024秋•阿荣旗校级月考）已知：∠ACB，求作：∠A'C'B'，使∠A'C'B'＝∠ACB．
要求：用直尺和圆规作一个角等于已知角，保留作图痕迹，不写作图过程．
【变式4-2】（2024春•子洲县期末）如图，已知△ABC，利用尺规在BC上找一点D，使得∠BAD＝∠CAD．（保留作图痕迹，不写作法）
【典例5】（2024春•东平县期中）上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．75°B．80°C．70°D．67.5°
【变式5-1】（2024春•福山区期末）小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为 度．
【变式5-2】（2024秋•市南区期末）下午3：40，时针和分针的夹角是（ ）
A．130°B．135°C．140°D．145°
【考点5 方位角】
【典例6】（2024•息县二模）如图，在O点的观测站测得渔船A位于东北方向，渔船B位于南偏西30°方向，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船C恰好位于∠AOB的平分线上，则渔船C相对观测站O的方向为（ ）
A．南偏东52.5°B．南偏东37.5°
C．南偏东53.5°D．南偏东82.5°
【变式6-1】（2024春•长安区校级期中）如图，B地在A地的（ ）
A．北偏东60°，相距200m处B．北偏西60°，相距200m处
C．南偏西60°，相距200m处D．北偏东30°，相距200m处
【变式6-2】（2024春•秦皇岛期末）如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向以每小时20海里的速度航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船从A处到B处所用的时间为（ ）
A．1小时B．2小时C．2.5小时D．3小时
【变式6-3】（2024•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
专题4.3.1 角（知识解读）
【学习目标】
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3.掌握钟表上有关夹角问题及运算；
4.理解方向角概念及有关运算
【知识点梳理】
考点1 角的概念
角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
图2
图1
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
注意：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
注意：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3.角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
考点2 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．
考点3 钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
考点4 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
【典例分析】
【考点1 度分秒换算】
【典例1-1】（2024春•兰西县校级期末）用度表示49°31′21″＝ ．
【答案】49.5225°
【解答】解：∵1′＝60″，
∴21″＝0.35′，
∵1°＝60′，
∴31.35′＝0.5225°，
∴用度表示49°31′21″＝49.5225°，
【典例1-2】（2024春•莱西市期中）1.45°＝ 分．
【答案】87
【解答】解：1.45°＝（1.45×60）′＝87（分）．
故答案为：87．
【变式1-1】（2024春•潍坊期末）46°24'＝ °．
【答案】46.4
【解答】解：∵1°＝60′，
∴24′＝0.4°，
∴46°24'＝46.4°，
故答案为：46.4．
【变式1-2】（2024春•泰山区校级月考）30.12°＝ ° ′ ″；100°12′36″＝ °．
【答案】30，7，12，100.21．
【解答】解：∵1°＝60′，
∴0.12°＝7.2′，
∵1′＝60″，
∴0.2′＝12″，
∴30.12°＝30°7′12″，
∵1′＝60″，
∴36″＝0.6′，
∴12′+0.6′＝12.6′，
∵1°＝60′，
∴12.6′＝0.21°，
∴100°12′36″＝100.21°，
故答案为：30，7，12，100.21．
【变式1-3】（2024秋•铜官区期末）下列关系式正确的是（ ）
A．45.5°＝45°5′B．45.5°＝45°50′
C．45.5°＜45°5′D．45.5°＞45°5′
【答案】D
【解答】解：∵1°＝60′，
∴0.5°＝30′，
∴45.5°＝45°30′，
A.45.5°≠45°5′，故A不符合题意；
B.45.5°≠45°50′，故B不符合题意；
C.45.5°＞45°5′，故C不符合题意；
D.45.5°＞45°5′，故D符合题意；
故选：D．
【典例2】（2024秋•乐昌市期末）如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；
B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
故选：A．
【变式2-1】（2024春•文登区校级期中）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠1不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
【变式2-2】（2024秋•天山区校级期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB是同一个角
B．∠α与∠COB是同一个角
C．∠AOC可以用∠O来表示
D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC
【答案】C
【解答】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，正确，故A不符合题意；
B、∠α与∠COB是同一个角，正确，故B不符合题意；
C、在角的顶点处只有一个角时，才能用一个大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合题意；
D、图中共有三个角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正确，故D不符合题意．
故选：C．
【典例3】（2024春•莱山区期末）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【答案】C
【解答】解：由题可得，画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝（n+1）（n+2），
∴当n＝20时，（n+1）（n+2）＝×21×22＝231．
故选：C．
【变式3-1】（2024秋•渝北区期末）如图，图中一共有（ ）个锐角．
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解答】解：3+2+1＝6（个），
答：一共有6个锐角．
故选：B．
【变式3-2】（2024秋•嘉祥县期末）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（ ）
A．10个B．18个C．45个D．55个
【答案】D
【解答】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3＝（1+1）（1+2）；
画2条射线，图中共有6个角，6＝（2+1）（2+2）；
画3条射线，图中共有10个角，10＝（3+1）（3+2）；
…，
∴画n条射线，图中共有（n+1）（n+2）个角，
∴画9条射线所得的角的个数是（9+1）（9+2）＝55（个），
故选：D．
【典例4】（2024秋•阿荣旗校级月考）已知∠AOB，求作∠A'O'B'＝∠AOB，保留作图痕迹．
【解答】解：如图，∠A'O'B'即为所求．
【变式4-1】（2024秋•阿荣旗校级月考）已知：∠ACB，求作：∠A'C'B'，使∠A'C'B'＝∠ACB．
要求：用直尺和圆规作一个角等于已知角，保留作图痕迹，不写作图过程．
【解答】解：如图，∠A'C'B'即为所求．
【变式4-2】（2024春•子洲县期末）如图，已知△ABC，利用尺规在BC上找一点D，使得∠BAD＝∠CAD．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点D为所作．
【典例5】（2024春•东平县期中）上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（ ）
A．75°B．80°C．70°D．67.5°
【答案】A
【解答】解：如图：
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴上午8：30时，时针和分针所夹锐角的度数是2.5×30°＝75°．
故选：A．
【变式5-1】（2024春•福山区期末）小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为 度．
【答案】22.5
【解答】解：由题意得：
30°﹣15×0.5°
＝30°﹣7.5°
＝22.5°，
故答案为：22.5
【变式5-2】（2024秋•市南区期末）下午3：40，时针和分针的夹角是（ ）
A．130°B．135°C．140°D．145°
【答案】A
【解答】解：下午3：40，时针和分针相距的份数是4+＝，
此时钟面上的时针与分针的夹角是30°×＝130°．
故选：A．
【考点5 方位角】
【典例6】（2024•息县二模）如图，在O点的观测站测得渔船A位于东北方向，渔船B位于南偏西30°方向，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船C恰好位于∠AOB的平分线上，则渔船C相对观测站O的方向为（ ）
A．南偏东52.5°B．南偏东37.5°
C．南偏东53.5°D．南偏东82.5°
【答案】A
【解答】解：由题意得，∠AON＝∠AOE＝45°，∠BOS＝30°，
∴∠AOB＝∠AOE+∠EOS+∠SOB＝45°+90°+30°＝165°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝82.5°，
∴∠COS＝∠BOC﹣∠BOS＝82.5°﹣30°＝52.5°，
即C在O的南偏东52.5°，
故选：A．
【变式6-1】（2024春•长安区校级期中）如图，B地在A地的（ ）
A．北偏东60°，相距200m处B．北偏西60°，相距200m处
C．南偏西60°，相距200m处D．北偏东30°，相距200m处
【答案】B
【解答】解：如上图，B地在A地的北偏西60°，相距200m处，
故选：B．
【变式6-2】（2024春•秦皇岛期末）如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向以每小时20海里的速度航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船从A处到B处所用的时间为（ ）
A．1小时B．2小时C．2.5小时D．3小时
【答案】D
【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，
∴AB＝2AP＝60（海里），
∴轮船从A处到B处所用的时间为＝3（小时），
答：则此时轮船从A处到B处所用的时间为3小时，
故选：D．
【变式6-3】（2024•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【答案】90
【解答】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
专题4.3.1 角（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•怀柔区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．一个数不是正数就是负数
B．大于90°的角都是钝角
C．是6的倍数的数也一定是3的倍数
D．5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率是5%
2．（2024秋•甘井子区期中）如图，C处在B处的北偏西40°方向，在A处的北偏西75°方向，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．38°C．40°D．45°
3．（2024春•南昌期中）如图，四艘船M、N、P、Q与灯塔O的距离均为10海里，则在灯塔O南偏西20°，且与O相距10海里的船是（ ）
A．船MB．船NC．船PD．船Q
4．（2024秋•临清市期中）如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则AC的长是（ ）
①作射线AM；
②在射线AM上截取AD＝DB＝a；
③在线段AB上截取BC＝b．
A．2a+bB．2a﹣bC．a+bD．b﹣a
5．（2024秋•朝阳区校级期中）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．FH＝HGB．FH＞HGC．FH＜HGD．FH≤HG
6．（2024秋•海淀区校级期中）如图，过△ABC的顶点B，作AC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024春•长安区校级期中）如图，B地在A地的（ ）
A．北偏东60°，相距200m处B．北偏西60°，相距200m处
C．南偏西60°，相距200m处D．北偏东30°，相距200m处
8．（2024春•崇川区期中）小明分别在下列平面情境中，不能确定其具体位置的是（ ）
A．南通工农路
B．南通第一中学南偏东60°方向200米处
C．南通更俗剧院演艺大厅7排3座
D．南通中学图书馆借阅处
9．（2024秋•晋州市期中）下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′D．24°24′＝24.04°
10．（2024秋•闵行区期中）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶16千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）
A．15千米B．14千米C．千米D．千米
11．（2024春•东营期末）如图，已知∠AOB与∠EO'F，分别以O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'．以B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，交弧A'B'于点H．下列结论不正确的是（ ）
A．∠AOB＝2∠EO'FB．∠AOB＞∠EO'F
C．∠HOB＝∠EO'FD．∠AOH＝∠AOB﹣∠EO'F
12．（2024秋•福田区校级期末）下列四个说法：①一个有理数不是整数就是分数；②绝对值等于本身的数只有0；③如果AB＝BC，则点B是线段AC的中点；④一个角的两边越长，角度越大．其中不正确的是（ ）
A．②④B．①②③C．②③④D．①②③④
二、填空题。
13．（2024秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于 ．
14．（2024秋•重庆期末）如图，点A在点O的北偏东30°方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数为 °．
15．（2024秋•河西区期中）时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 ．
16．（2024春•宜州区期中）如图，某同学从A处出发沿北偏西60°方向行走至B处，又沿北偏东25°方向行走至C处，则∠ABC的度数是 ．
17．（2024春•锦江区校级期中）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是 ．
①作射线OC；
②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
三、解答题。
18．（2024秋•甘井子区期中）已知钝角△ABC．
用直尺和圆规作底边BC上的高．（不写作法，保留痕迹）
（温馨提示：请先用铅笔再答题卡上作图，再用黑色或兰色笔将痕迹描一下）
19．（2024秋•昭阳区校级月考）如图，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°方向，C处在B处的北偏东78°方向，求∠C的度数．
20．（2024秋•吉林期末）如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东76°，已知图中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）写出射线OC的方向．
21．（2024秋•青岛期中）已知：线段m和∠α．
求证：矩形ABCD，使对角线的长为m，夹角为∠α．
22．（2024秋•阿荣旗校级月考）已知：∠ACB，求作：∠A'C'B'，使∠A'C'B'＝∠ACB．
要求：用直尺和圆规作一个角等于已知角，保留作图痕迹，不写作图过程．
23．（2024•丰顺县校级开学）如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角．
24．（2024秋•路南区校级月考）用尺规作图法作ZAOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以点O为圆心， 为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，则 即为所求．
25．（2024春•铜仁市期末）如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
（1）作直线AC，射线BC，连接AB；
（2）延长AB到点D，使得BD＝AB；
（3）直接写出∠ABC+∠CBD＝ ．
专题4.3.1 角（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•怀柔区校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．一个数不是正数就是负数
B．大于90°的角都是钝角
C．是6的倍数的数也一定是3的倍数
D．5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率是5%
【答案】C。
【解答】解：A、任意一个数可能是0，故A不符合题意；
B、大于90°而小于180°的角是钝角，故B不符合题意；
C、是6的倍数的数一定是3的倍数，故C符合题意；
D、盐的含盐率应是5÷（5+100）×100%＝4.8%，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2024秋•甘井子区期中）如图，C处在B处的北偏西40°方向，在A处的北偏西75°方向，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．38°C．40°D．45°
【答案】A。
【解答】解：如图：
由题意得：
∠CAD＝75°，∠CBE＝40°，
∵AD∥BE，
∴∠EBA+∠BAD＝180°，
∴∠EBA+∠BAC＝180°﹣∠DAC＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE+∠EBA+∠BAC）＝35°，
故选：A．
3．（2024春•南昌期中）如图，四艘船M、N、P、Q与灯塔O的距离均为10海里，则在灯塔O南偏西20°，且与O相距10海里的船是（ ）
A．船MB．船NC．船PD．船Q
【答案】C。
【解答】解：“南偏西20°”即“西偏南70°”根据方向角可知，
此船是P船，
故选：C．
4．（2024秋•临清市期中）如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则AC的长是（ ）
①作射线AM；
②在射线AM上截取AD＝DB＝a；
③在线段AB上截取BC＝b．
A．2a+bB．2a﹣bC．a+bD．b﹣a
【答案】B。
【解答】解：如图，AC＝AB﹣BC＝AD+BD﹣BC＝2a﹣b．
故选：B．
5．（2024秋•朝阳区校级期中）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．FH＝HGB．FH＞HGC．FH＜HGD．FH≤HG
【答案】B。
【解答】解：由作图痕迹得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，
过H点作HM⊥PA于M点，如图，
∴HM＝HG，
∵HF＞HM，
∴HF＞HG．
故选：B．
6．（2024秋•海淀区校级期中）如图，过△ABC的顶点B，作AC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A。
【解答】解：因为AC边上的高满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；
故选：A．
7．（2024春•长安区校级期中）如图，B地在A地的（ ）
A．北偏东60°，相距200m处B．北偏西60°，相距200m处
C．南偏西60°，相距200m处D．北偏东30°，相距200m处
【答案】B。
【解答】解：如上图，B地在A地的北偏西60°，相距200m处，
故选：B．
8．（2024春•崇川区期中）小明分别在下列平面情境中，不能确定其具体位置的是（ ）
A．南通工农路
B．南通第一中学南偏东60°方向200米处
C．南通更俗剧院演艺大厅7排3座
D．南通中学图书馆借阅处
【答案】A。
【解答】解：A．南通工农路是一条线，不能确定点的位置，因此选项A符合题意；
B．南通第一中学南偏东60°方向200米处，可以具体的确定小明的位置，因此选项B不符合题意；
C．南通更俗剧院演艺大厅7排3座，能确定小明的位置，因此选项C不符合题意；
D．南通中学图书馆借阅处，能具体确定小明的位置，因此选项D不符合题意；
故选：A．
9．（2024秋•晋州市期中）下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′D．24°24′＝24.04°
【答案】B。
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
10．（2024秋•闵行区期中）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶16千米到C处，这时这艘船与A的距离（ ）
A．15千米B．14千米C．千米D．千米
【答案】B。
【解答】解：如图：
∵BC⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，
∴BE＝5千米，AE＝5千米，
∴CE＝BC﹣BE＝16﹣5＝11（千米），
∴AC＝＝＝14（千米），
故选：B．
11．（2024春•东营期末）如图，已知∠AOB与∠EO'F，分别以O，O'为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A'，B'，交O'E，O'F于点E'，F'．以B'为圆心，以E'F'长为半径画弧，交弧A'B'于点H．下列结论不正确的是（ ）
A．∠AOB＝2∠EO'FB．∠AOB＞∠EO'F
C．∠HOB＝∠EO'FD．∠AOH＝∠AOB﹣∠EO'F
【答案】A。
【解答】解：由作图可知，∠EO′F＝∠HOB′，∠AOB＞∠EO′F，∠AOH＝∠AOB﹣∠EO′F，
故选项B，C，D正确，
故选：A．
12．（2024秋•福田区校级期末）下列四个说法：①一个有理数不是整数就是分数；②绝对值等于本身的数只有0；③如果AB＝BC，则点B是线段AC的中点；④一个角的两边越长，角度越大．其中不正确的是（ ）
A．②④B．①②③C．②③④D．①②③④
【答案】C。
【解答】解：①一个有理数不是整数就是分数，故①正确；
②绝对值等于它本身是非负数，故②错误；
③若AB＝BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故③错误．
④角的大小与边的长短无关，故角的两边越长，角就越大是错误的．
故选：C．
二、填空题。
13．（2024秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于 57°42′ ．
【答案】57°42′。
【解答】解：∵∠β＝15.3°＝15°+0.3×60′＝15°18′，
∴∠α+∠β＝42°24′+15°18′＝57°42′．
故答案为：57°42′．
14．（2024秋•重庆期末）如图，点A在点O的北偏东30°方向，点B在点O的东南方向，则∠AOB的度数为 105 °．
【答案】105。
【解答】解：∵点B在点O的东南方向，
∴点B在点O的南偏东45°方向，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105．
15．（2024秋•河西区期中）时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 30° ．
【答案】30°。
【解答】解：∵时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，
∴时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12＝30°，
∴从5时到6时，时针转动的度数为30°．
故答案为：30°．
16．（2024春•宜州区期中）如图，某同学从A处出发沿北偏西60°方向行走至B处，又沿北偏东25°方向行走至C处，则∠ABC的度数是 95° ．
【答案】95°。
【解答】解：如图：
由题意得：
∠DAB＝60°，∠EBC＝25°，EB∥AD，
∴∠EBA+∠DAB＝180°，
∴∠EBC+∠CBA+∠DAB＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠EBC﹣∠DAB＝95°，
故答案为：95°．
17．（2024春•锦江区校级期中）如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是 ②③① ．
①作射线OC；
②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
【答案】②③①。
【解答】解：已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB：
步骤：a、在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
b、分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
c、作射线OC；
故答案为②③①．
三、解答题。
18．（2024秋•甘井子区期中）已知钝角△ABC．
用直尺和圆规作底边BC上的高．（不写作法，保留痕迹）
（温馨提示：请先用铅笔再答题卡上作图，再用黑色或兰色笔将痕迹描一下）
【解答】解：如图，AD为所作．
19．（2024秋•昭阳区校级月考）如图，经测量，B处在A处的南偏西56°的方向，C处在A处的南偏东17°方向，C处在B处的北偏东78°方向，求∠C的度数．
【解答】解：由题意得：
∠ABC＝78°﹣56°＝22°，
∠BAC＝56°+17°＝73°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC
＝180°﹣22°﹣73°
＝85°，
∴∠C的度数为85°．
20．（2024秋•吉林期末）如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，射线OB表示的方向是北偏东76°，已知图中∠BOC＝122°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）写出射线OC的方向．
【解答】解：（1）如图，射线OA表示的方向是北偏东44°，即∠NOA＝44°
射线OB表示的方向是北偏东76°，即∠NOB＝76°，
∴∠AOB＝∠NOB﹣∠NOA＝76°﹣44°＝32°，
即∠AOB＝32°；
（2）∵∠BOC＝122°，∠NOB＝76°，
∴∠NOC＝∠BOC﹣∠NOB
＝122°﹣76°
＝46°，
∴射线OC的方向为北偏西46°．
21．（2024秋•青岛期中）已知：线段m和∠α．
求证：矩形ABCD，使对角线的长为m，夹角为∠α．
【解答】解：如图，矩形ABCD为所作．
22．（2024秋•阿荣旗校级月考）已知：∠ACB，求作：∠A'C'B'，使∠A'C'B'＝∠ACB．
要求：用直尺和圆规作一个角等于已知角，保留作图痕迹，不写作图过程．
【解答】解：如图，∠A'C'B'即为所求．
23．（2024•丰顺县校级开学）如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角．
【解答】解：（1）以C为顶点的所有角有∠BCE，∠BCF，∠BCD，∠ECF，∠ECD，∠FCD；
（2）以AB为一边的所有角有∠ABC，∠BAD，∠ABF；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角有∠AFB，∠BFC，∠BFD．
24．（2024秋•路南区校级月考）用尺规作图法作ZAOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以点O为圆心， 任意长 为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 M，N 为圆心， 大于MN 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，则 射线OC 即为所求．
【解答】解：如图，作法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，则射线OC即为所求．
故答案为：任意长，M，N，大于MN，射线OC．
25．（2024春•铜仁市期末）如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
（1）作直线AC，射线BC，连接AB；
（2）延长AB到点D，使得BD＝AB；
（3）直接写出∠ABC+∠CBD＝ 180° ．
【解答】解：（1）如图，直线AC，射线BC，线段AB即为所求；
（2）如图线段BD即为所求；
（3）∠ABC+∠CBD＝180°，
故答案为：180°．