初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）角测试题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）角测试题，共50页。
1．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
2. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
3.掌握角大小比较方法
【知识点梳理】
考点1 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
考点2：角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
考点3：角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【典例分析】
【考点1 角平分线】
【典例1】（2024秋•乌当区期末）如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（ ）
A．20°B．45°C．60°D．70°
【变式1-1】（2024秋•涪陵区期末）如图，点O是直线CD上一点，以点O为端点在直线CD上方作射线OA和射线OB，若射线OA平分∠COB，∠DOB＝110°，则∠AOB的度数是（ ）
A．32°B．35°C．40°D．42°
【变式1-2】（2024秋•定州市期末）如图所示，已知O是直线AB上一点，射线OD平分∠BOC，若∠2＝65°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【变式1-3】（2024春•东营区校级月考）如图所示，∠1＝70°，OE平分∠AOC．求∠EOC和∠BOC的度数．
【典例2】（2024秋•博兴县期末）如图，点O在直线AB上，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝30°，求∠EOB的大小．
【变式2-1】（2024秋•密山市校级期末）O是直线AE上一点，∠BOD＝90°，OC平分∠BOE，∠COD＝25°．
（1）求∠COE的度数；
（2）求∠AOD的度数．
【变式2-2】（2024春•泾阳县月考）如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON＝150°，∠BOC＝120°．
（1）求∠MON的度数；
（2）求∠DOM的度数．
【典例3】（2024秋•肥东县期末）已知：如图，∠AOB＝20°，OB平分∠AOC．
（1）以射线OD为一边，在∠AOD的外部作∠DOE，使∠DOE＝COD；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若∠AOE＝105°10′，求∠AOD的大小．
【变式3-1】（2024秋•路南区校级月考）用尺规作图法作ZAOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以点O为圆心， 为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，则 射线OC 即为所求．
【变式3-2】（2024秋•兰考县期末）已知，如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）若∠AOB＝130°，则∠COE是多少度？
（2）若∠COE＝65°，∠COD＝20°，则∠BOE是多少度？
【变式3-3】（2024秋•沈北新区期末）如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OP平分∠AOC，ON平分∠POB．∠AOC＝38°，求∠CON的度数．
【变式3-4】（2024秋•河西区期末）如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°
①求∠BOD的度数；
②OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
【考点2 角的运算】
【典例4】（2024春•安庆期末）如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠BOE＝3∠COE，∠DOE＝81°，求∠BOE，∠AOD的度数．
【变式4-1】（2024秋•荔湾区期末）如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝25°35′，∠BOA度数是（ ）
A．64°65′B．54°65′C．64°25′D．54°25′
【变式4-2】（2024秋•牡丹区期末）如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠COE＝2∠EOB，∠DOE＝70°，求∠EOC．
【变式4-3】（2024秋•大连期末）已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
（1）如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
①补全图形；
②填空：∠MON的度数为 ．
（2）探求∠MON和∠AOB的等量关系．
【考点3 角的大小比较】
【典例5】（2024春•文登区期末）如图，在正方形网格中有∠α和∠β，则∠α和∠β的大小关系是（ ）
A．∠α＞∠βB．∠α＜∠βC．∠α＝∠βD．无法确定
【变式5-1】（2024•河北二模）如图，∠AOB＝∠COD，则（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＜∠2
C．∠1＞∠2D．无法比较∠1与∠2的大小
【变式5-2】（2024秋•广丰区期末）下面所标注的四个角中最大的角是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】（2024秋•大名县期末）若∠A＝40°15'，∠B＝40.15°，则（ ）
A．∠A＞∠BB．∠A＜∠BC．∠A＝∠BD．无法确定
专题4.3.2 角的比较和运算（知识解读）
【学习目标】
1．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
2. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
3.掌握角大小比较方法
【知识点梳理】
考点1 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
考点2：角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
考点3：角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【典例分析】
【考点1 角平分线】
【典例1】（2024秋•乌当区期末）如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（ ）
A．20°B．45°C．60°D．70°
【答案】D
【解答】解：由题意可知，
∠COB与∠AOC互补，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵射线OD是∠AOC的平分线，
∴∠DOC＝∠AOC＝70°．
故选：D．
【变式1-1】（2024秋•涪陵区期末）如图，点O是直线CD上一点，以点O为端点在直线CD上方作射线OA和射线OB，若射线OA平分∠COB，∠DOB＝110°，则∠AOB的度数是（ ）
A．32°B．35°C．40°D．42°
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，∠COB+∠DOB＝180°，
∴∠COB＝180°﹣∠DOB＝180°﹣110°＝70°，
∵射线OA平分∠COB，
∴∠AOB＝＝＝35°，
故选：B．
【变式1-2】（2024秋•定州市期末）如图所示，已知O是直线AB上一点，射线OD平分∠BOC，若∠2＝65°，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【答案】D
【解答】解：∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠2＝2×65°＝130°，
∴∠1＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°．
故选：D
【变式1-3】（2024春•东营区校级月考）如图所示，∠1＝70°，OE平分∠AOC．求∠EOC和∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠AOC＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝×110°＝55°，
∵∠BOC＝∠1＝70°．
【典例2】（2024秋•博兴县期末）如图，点O在直线AB上，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝30°，求∠EOB的大小．
【解答】解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
又∵∠COE＝∠COF+∠FOE，∠COF＝30°，
∴∠FOE＝90°﹣30°＝60°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠FOE＝120°，
又∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣120°＝60°．
【变式2-1】（2024秋•密山市校级期末）O是直线AE上一点，∠BOD＝90°，OC平分∠BOE，∠COD＝25°．
（1）求∠COE的度数；
（2）求∠AOD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝90°，∠COD＝25°，
∴∠BOC＝65°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠COE＝∠BOC＝65°；
（2）∵∠COE＝65°，∠COD＝25°，
∴∠DOE＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣40°＝140°．
【变式2-2】（2024春•泾阳县月考）如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON＝150°，∠BOC＝120°．
（1）求∠MON的度数；
（2）求∠DOM的度数．
【解答】解：（1）∵∠AON＝150°，
∴∠BON＝180°﹣150°＝30°．
∵OB平分∠MON，
∴∠MON＝2∠BON＝60°，
答：∠MON的度数是60°；
（2）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
由（1）得，∠BOM＝∠BON＝30°，
∴∠DOM＝∠BOD+∠BOM＝150°．
【典例3】（2024秋•肥东县期末）已知：如图，∠AOB＝20°，OB平分∠AOC．
（1）以射线OD为一边，在∠AOD的外部作∠DOE，使∠DOE＝COD；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若∠AOE＝105°10′，求∠AOD的大小．
【解答】解：（1）作图如下：
（2）∵∠AOB＝20°，OB平分∠AOC．
∴∠AOC＝2∠AOB＝40°，
∵∠AOE＝105°10′，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝65°10′，
∵∠DOE＝∠COD，
∴∠COD＝＝32°35′，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝72°35′．
【变式3-1】（2024秋•路南区校级月考）用尺规作图法作ZAOB的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
（1）以点O为圆心， 为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，则 射线OC 即为所求．
【解答】解：如图，作法：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）画射线OC，则射线OC即为所求．
故答案为：任意长，M，N，大于MN，射线OC．
【变式3-2】（2024秋•兰考县期末）已知，如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）若∠AOB＝130°，则∠COE是多少度？
（2）若∠COE＝65°，∠COD＝20°，则∠BOE是多少度？
【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC＝∠COD＝∠AOD，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOB＝130°，
∴∠COE＝∠EOD+∠COD＝（∠AOD+∠BOD）＝∠AOB＝65°；
（2）∵∠COE＝65°，∠COD＝20°，
∴∠EOD＝∠COE﹣∠COD＝65°﹣20°＝45°，
∴∠BOE＝∠EOD＝45°．
【变式3-3】（2024秋•沈北新区期末）如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OP平分∠AOC，ON平分∠POB．∠AOC＝38°，求∠CON的度数．
【解答】解：∵OP平分∠AOC，∠AOC＝38°，
∴∠AOP＝∠COP＝∠AOC＝×38°＝19°，
∴∠BOP＝180°﹣∠AOP＝180°﹣19°＝161°，
∵ON平分∠POB
∴∠PON＝∠BOP＝×161°＝80.5°，
∴∠CON＝∠PON﹣∠COP＝80.5°﹣19°＝61.5°．
【变式3-4】（2024秋•河西区期末）如图，O为直线AB上的一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°
①求∠BOD的度数；
②OE是∠BOC的平分线吗？为什么？
【解答】解：①∵∠AOC＝50°，OD平分AOC，
∴∠1＝∠2＝∠AOC＝25°，
∴∠BOD的度数为：180°﹣25°＝155°；
②∵∠AOC＝50°，
∴∠COB＝130°，
∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，
∴∠COE＝65°，
∴∠BOE＝65°，
∴OE是∠BOC的平分线．
【考点2 角的运算】
【典例4】（2024春•安庆期末）如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠BOE＝3∠COE，∠DOE＝81°，求∠BOE，∠AOD的度数．
【解答】解：设∠COE＝x，
∵∠BOE＝3∠COE，
∴∠BOE＝3x，∠BOC＝4x，
∵∠DOE＝81°，
∴∠DOC＝81°﹣x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC＝2（81°﹣x），
∴2（81°﹣x）+4x＝180°，
解得：x＝9°，
∴∠BOE＝27°，∠AOD＝∠DOC＝81°﹣9°＝72°．
【变式4-1】（2024秋•荔湾区期末）如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝25°35′，∠BOA度数是（ ）
A．64°65′B．54°65′C．64°25′D．54°25′
【答案】C
【解答】解：∵OC平分∠DOB，
∴∠BOC＝∠DOC＝25°35′，
∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣25°35′＝64°25′．
故选：C．
【变式4-2】（2024秋•牡丹区期末）如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠COE＝2∠EOB，∠DOE＝70°，求∠EOC．
【解答】解：设∠AOB＝x，则∠BOC＝180°﹣x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB＝x，
∵∠BOE＝∠EOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝60°﹣x，
由题意得，x+60°﹣x＝70°，
解得，x＝60°，
∠EOC＝（180°﹣x）＝80°．
【变式4-3】（2024秋•大连期末）已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
（1）如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
①补全图形；
②填空：∠MON的度数为 ．
（2）探求∠MON和∠AOB的等量关系．
【解答】解：（1）①依题意补全图1
图1
②AOM＝∠AOC＝60°＝20°，
∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，
∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°；
（2）．
∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，
∵，，
∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）
＝∠AOB﹣
＝．
【考点3 角的大小比较】
【典例5】（2024春•文登区期末）如图，在正方形网格中有∠α和∠β，则∠α和∠β的大小关系是（ ）
A．∠α＞∠βB．∠α＜∠βC．∠α＝∠βD．无法确定
【答案】A
【解答】解：使∠α和∠β顶点和一边重合，
，
由图直观可得∠α＞∠β，
故选：A．
【变式5-1】（2024•河北二模）如图，∠AOB＝∠COD，则（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＜∠2
C．∠1＞∠2D．无法比较∠1与∠2的大小
【答案】A
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD，
∴∠1＝∠2．
故选：A．
【变式5-2】（2024秋•广丰区期末）下面所标注的四个角中最大的角是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A：图中标注的角为钝角，钝角大于90°；
B：图中标注的角为锐角，锐角大于0°而小于90°；
C：图中标注的角为直角，直角等于90°；
D：图中标注的角为平角，平角等于180°．
∴锐角＜直角＜钝角＜平角．
故选：D．
【变式5-3】（2024秋•大名县期末）若∠A＝40°15'，∠B＝40.15°，则（ ）
A．∠A＞∠BB．∠A＜∠BC．∠A＝∠BD．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝40.15°＝40°9′＜40°15′，
∴∠B＜∠A，
即∠A＞∠B，
故选：A．
专题4.3.2 角的比较与运算（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•晋州市期中）如图所示，∠AOD＝∠BOC，若∠AOB＝100°，∠COD＝40°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．40°C．30°D．25°
2．（2024春•东营期末）如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．∠BOC＝∠AODD．
3．（2024•南昌模拟）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则下列结论中正确的个数有（ ）
①∠AOE＝∠EOC②∠EOC＝∠COB③∠AOD＝∠AOE④∠DOB＝2∠AOD
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024•息县模拟）一副三角板如图所示摆放，其中一个三角板的直角顶点与另一个三角板的锐角顶点在点A处重合，已知∠CAE＝30°，则∠DFA的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
5．（2024秋•晋州市期中）若α是锐角，β是钝角，则计算（α+β）的结果可能是（ ）
A．15°B．36°C．60°D．75°
6．（2024秋•晋州市期中）如图所示，是一副三角尺，左边三角尺的三个角分别为45°，45°，90°，右边三角尺的三个角分别为30°，60°，90°，那么，在①15°，②55°，③75°，④105°中，可以用这副三角尺画出来的是（ ）
A．②④B．①②④C．②③④D．①③④
7．（2024秋•黄梅县校级月考）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
8．（2024秋•惠安县期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ）
A．α+β+γ＝90°B．α+β﹣γ＝90°C．α﹣β+γ＝90°D．α+2β﹣γ＝90°
9．（2024春•新泰市期末）如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，则∠AOM的度数为（ ）
A．42°B．78°C．30°D．36°
10．（2024秋•河北区校级期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．
A．①B．②C．①②④D．①②③④
11．（2024秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOM＝3∠NOCB．∠AOM＝2∠NOC
C．2∠AOM＝3∠NOCD．3∠AOM＝5∠NOC
12．（2024春•射洪市期末）通过下面几个图形说明“锐角α，锐角β的和是锐角”，其中错误的例证图是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题。
13．（2024春•岚山区期末）如图，将一张宽度相等的纸条折叠，折叠后的一边与原边的夹角是140°，则∠α的度数是 ．
14．（2024春•沂水县期中）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OA恰好平分∠EOD，则∠AOC＝ 度．
15．（2024秋•奉贤区期中）如图，点O与量角器中心重合，OA与零刻度线叠合，OB与量角器刻度线叠合，OD是∠BOC的角平分线，那么∠BOD＝ ．
16．（2024春•牟平区期中）2024年2月8日，北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，关键的第三轮谷爱凌选择了一个她从未在比赛中尝试过的动作——左侧身转体1620°安全抓板，她的发挥却相当出色，拿到了94.50的高分，成绩跃升至首位，成功夺冠．转体1620°是在空中身体转了 周．
17．（2024秋•鼓楼区校级月考）一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当∠β是∠α的一半时，∠α＝ °．
18．（2024秋•莲湖区期末）如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知∠1＝34°，∠2＝32°，则∠3＝ °．
三、解答题。
19．（2024春•平顶山期末）如图1是工人师傅常用工具“角尺”．如图2，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E两点重合，这时过角尺的顶点P作射线OP，则OP为∠AOB的平分线，说明理由．
20．（2024春•闵行区期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求：∠DOE的度数．
解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+ ＝ °．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠ ＝ °．
同理：∠EOC＝ °，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝ °．
21．（2024秋•息县期末）几何计算：
如图，已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数．
解：因为∠BOC＝3∠AOB，∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝ °．
所以∠AOC＝ + ＝ °+ °＝ °．
因为OD平分∠AOC，
所以 ＝ °＝ °．
22．（2024秋•晋州市期中）如图所示，已知∠AOB＝20°，从点O出发的一条射线OC满足∠AOC＝60°，OM是∠AOB的平分线，ON是∠AOC的平分线，请补全图形（画出符合题意的草图即可），并求出∠MON的大小．
23．（2024秋•新乐市期末）已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝ °；
（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．
24．（2024秋•中牟县期末）解答下列各题：
（1）图①，是一副三角尺（COD和AOB）在桌面上叠放成的图形，已知OB平分∠COD，则∠AOC度数是 ；
（2）如图②，点O在直线AB上．
①若∠1＝40°，∠4＝20°，则∠COE的度数是 ．
②如果OD为任意射线，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
25．（2024秋•晋州市期中）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP＝68°，将一块直角三角尺（∠MON＝90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）．
（1）当n＝30时，求∠PON的大小；
（2）当OP恰好平分∠MON时，求n的值；
（3）当n≠68时，嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值，淇淇认为∠AON与∠POM的和为定值，且二人求得的定值相同，均为22°，老师说，要使两人的说法都正确，需要对n分别附加条件．请你补充这个条件：
当n满足 时，∠AON﹣∠POM＝22°；
当n满足 时，∠AON+∠POM＝22°．
26．（2024秋•滨海县期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
专题4.3.2 角的比较与运算（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•晋州市期中）如图所示，∠AOD＝∠BOC，若∠AOB＝100°，∠COD＝40°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．40°C．30°D．25°
【答案】C。
【解答】解：∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD，
∴∠AOC+∠BOD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BOD＝30°，
故选：C．
2．（2024春•东营期末）如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．∠BOC＝∠AODD．
【答案】C。
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，
∴∠COD＝∠AOB，
故A选项不符合题意；
∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3∠BOD，
∴∠BOD＝∠AOD，
故B选项不符合题意；
∴∠BOC＝∠AOD，
故C选项符合题意；
∵∠AOB＝4∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝∠AOB，
故D选项不符合题意；
故选：C．
3．（2024•南昌模拟）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则下列结论中正确的个数有（ ）
①∠AOE＝∠EOC②∠EOC＝∠COB③∠AOD＝∠AOE④∠DOB＝2∠AOD
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D。
【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，
∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴①②③④都正确．
故选：D．
4．（2024•息县模拟）一副三角板如图所示摆放，其中一个三角板的直角顶点与另一个三角板的锐角顶点在点A处重合，已知∠CAE＝30°，则∠DFA的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【答案】B。
【解答】解：∵∠CAB＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠DFA＝∠EAB+∠AEF＝75°．
故选：B．
5．（2024秋•晋州市期中）若α是锐角，β是钝角，则计算（α+β）的结果可能是（ ）
A．15°B．36°C．60°D．75°
【答案】B。
【解答】解：由题意可知，
0°＜α＜90°，
90°＜β＜180°，
∴90°＜α+β＜270°，
∴22.5°＜（α+β）＜54°，
故选：B．
6．（2024秋•晋州市期中）如图所示，是一副三角尺，左边三角尺的三个角分别为45°，45°，90°，右边三角尺的三个角分别为30°，60°，90°，那么，在①15°，②55°，③75°，④105°中，可以用这副三角尺画出来的是（ ）
A．②④B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D。
【解答】解：左边三角尺的三个角分别为45°，45°，90°，右边三角尺的三个角分别为30°，60°，90°，
∵45°﹣30°＝15°，45°+30°＝75°，45°+60°＝105°，
∴用这副三角尺画出来的是：15°，75°，105°，
∴①③④正确．
故选：D．
7．（2024秋•黄梅县校级月考）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B。
【解答】解：∵DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，
∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝∠ADB+∠ADC＝90°，
∴△DEF是直角三角形．
故选：B．
8．（2024秋•惠安县期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ）
A．α+β+γ＝90°B．α+β﹣γ＝90°C．α﹣β+γ＝90°D．α+2β﹣γ＝90°
【答案】C。
【解答】解：如图：
∵∠DOE＝90°﹣α，
∴∠BOD＝90°﹣∠DOE＝α，
∵∠BOC＝90°﹣γ，
又∵β＝∠BOD﹣∠BOC，
∴β＝α﹣（90°﹣γ）＝α﹣90°+γ，
∴α﹣β+γ＝90°，
故选：C．
9．（2024春•新泰市期末）如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，则∠AOM的度数为（ ）
A．42°B．78°C．30°D．36°
【答案】C。
【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝，．
∴∠MON＝＝．
∴∠AOM＝∠AOD﹣∠DON﹣∠MON＝156°﹣48°﹣78°＝30°．
故选：C．
10．（2024秋•河北区校级期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是（ ）
①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF．
A．①B．②C．①②④D．①②③④
【答案】B。
【解答】解：设旋转角度为x°，
①当x＞45°时，∠DBC+∠ABE＝（x+60）°+（x﹣45）°＝（2x+15）°＞105°，于是此小题结论错误；
②∠MBN＝∠DBC﹣∠DBM﹣∠CBN＝∠DBC﹣∠DBA﹣∠CBE＝（60+x）°﹣（15+x）°﹣x°＝52.5°，于是此小题的结论正确；
③当旋转30°时，BD⊥BC，当旋转45°时，DE⊥AB，当旋转75°时，DB⊥AB，则在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次，于是此小题结论错误；
④当BE在∠DBE外时，如下图所示，
虽然∠DBF＝∠EBF，但AB不平分∠DBF，于是此小题的结论错误．
故选：B．
11．（2024秋•松桃县期末）如图，已知O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是（ ）
A．∠AOM＝3∠NOCB．∠AOM＝2∠NOC
C．2∠AOM＝3∠NOCD．3∠AOM＝5∠NOC
【答案】B。
【解答】解：∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠BON，
∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM，
∵OC是∠MOB的平分线，
∴∠MOC＝∠BOC＝∠MOB，
∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，
∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON，
∴∠AOM＝2∠NOC，
故选：B．
12．（2024春•射洪市期末）通过下面几个图形说明“锐角α，锐角β的和是锐角”，其中错误的例证图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C。
【解答】解：找出两个锐角的和是锐角，在什么情况下不成立，故只有C满足∠a+∠B＞90°，所以锐角a，锐角β的和是锐角是假命题．
故选：C．
二、填空题。
13．（2024春•岚山区期末）如图，将一张宽度相等的纸条折叠，折叠后的一边与原边的夹角是140°，则∠α的度数是 70° ．
【答案】70°。
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADE＝140°，
∴∠α＝∠BAD＝70°．
故答案为：70°．
14．（2024春•沂水县期中）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OA恰好平分∠EOD，则∠AOC＝ 120 度．
【答案】120。
【解答】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠AOE＝∠AOD，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOD，
∵∠AOE+∠COE+∠AOD＝180°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOC＝120°．
故答案为：120．
15．（2024秋•奉贤区期中）如图，点O与量角器中心重合，OA与零刻度线叠合，OB与量角器刻度线叠合，OD是∠BOC的角平分线，那么∠BOD＝ 55° ．
【答案】55°。
【解答】解：由题意得，∠AOB＝70°．
∴∠BOC＝110°．
∵OD是∠BOC的角平分线，
∴∠BOD＝．
故答案为：55°．
16．（2024春•牟平区期中）2024年2月8日，北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，关键的第三轮谷爱凌选择了一个她从未在比赛中尝试过的动作——左侧身转体1620°安全抓板，她的发挥却相当出色，拿到了94.50的高分，成绩跃升至首位，成功夺冠．转体1620°是在空中身体转了 4.5 周．
【答案】4.5。
【解答】解：1620÷360＝4.5（周）．
故答案为：4.5．
17．（2024秋•鼓楼区校级月考）一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，当∠β是∠α的一半时，∠α＝ 84 °．
【答案】84°。
【解答】解：如图：
根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等，
在四边形ABCD中，
∠ABC＝180°﹣2∠1，∠BCD＝180°﹣2∠2，
∴∠ABC+∠BCD＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠2
＝360°﹣2（∠1+∠2），
∵∠1+∠2＝180°﹣117°＝63°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣2（∠1+∠2）
＝360°﹣2×63°
＝234°，
在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠BCD+∠α+∠β＝360°，∠α＝2∠β，
∴234°+3∠β＝360°，
∴∠β＝42°，
∴∠α＝2∠β＝84°．
故答案为：84°．
18．（2024秋•莲湖区期末）如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知∠1＝34°，∠2＝32°，则∠3＝ 24 °．
【答案】24。
【解答】解：由图象可知：∠1+∠2+90°＝（90°﹣∠3）+（90°﹣∠3）+∠3，
∵∠1＝34°，∠2＝32°，
∴34°+32°+90°＝180°﹣∠3，
∴∠3＝24°，
故答案为：24．
三、解答题。
19．（2024春•平顶山期末）如图1是工人师傅常用工具“角尺”．如图2，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E两点重合，这时过角尺的顶点P作射线OP，则OP为∠AOB的平分线，说明理由．
【解答】解：由题意可知：DP＝EP，
∵OD＝OE，OP＝OP，
∴△ODP≌△OEP（SSS），
∴∠DOP＝∠EOP，
∴OP为∠AOB的平分线．
20．（2024春•闵行区期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求：∠DOE的度数．
解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+ ∠AOC ＝ 150 °．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠ BOC ＝ 75 °．
同理：∠EOC＝ 30 °，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝ 45 °．
【解答】解：∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOD＝∠BOC，
∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠DOB＝∠DOC＝75°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝30°，
∴∠DOE＝150°﹣75°﹣30°＝45°．
21．（2024秋•息县期末）几何计算：
如图，已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数．
解：因为∠BOC＝3∠AOB，∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝ 120 °．
所以∠AOC＝ ∠AOB + ∠BOC ＝ 40 °+ 120 °＝ 160 °．
因为OD平分∠AOC，
所以 ∠AOC ＝ 160 °＝ 80 °．
【解答】解：∵∠BOC＝3∠AOB，∠AOB＝40°，
∴∠BOC＝120°．
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝40°+120°＝160°．
∵OD平分∠AOC，
∴．
故答案为：120，∠AOB，∠BOC，40，120，160，∠AOC，160，80．
22．（2024秋•晋州市期中）如图所示，已知∠AOB＝20°，从点O出发的一条射线OC满足∠AOC＝60°，OM是∠AOB的平分线，ON是∠AOC的平分线，请补全图形（画出符合题意的草图即可），并求出∠MON的大小．
【解答】解：如图1所示，
∵∠AOB＝20°，OM是∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝∠AOB＝10°．
∵∠AOC＝60°，ON是∠AOC的平分线，
∴∠AON＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝30°﹣10°＝20°；
如图2所示，
∵∠AOB＝20°，OM是∠AOB的平分线，
∴∠AOM＝∠AOB＝10°．
∵∠AOC＝60°，ON是∠AOC的平分线，
∴∠AON＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠MON＝∠AON+∠AOM＝30°+10°＝40°．
∴∠MON等于20°或40°．
23．（2024秋•新乐市期末）已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝ 60 °；
（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝120°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠BON＝∠BOD＝60°，
故答案为：60；
（2）∵ON平分∠BOD，OM平分∠AOB，
∴∠BON＝∠BOD，∠BOM＝∠AOB，
∵∠AOD＝160°，
∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝∠BOD+∠AOB＝∠AOD＝80°；
（3）设∠AOB＝x，则∠BOD＝160°﹣x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM＝∠AOC＝（x+20°），∠BON＝∠BOD＝（160°﹣x），
∴∠MON＝∠COM+∠BON﹣∠BOC＝（x+20°）+（160°﹣x）﹣20°＝70°．
24．（2024秋•中牟县期末）解答下列各题：
（1）图①，是一副三角尺（COD和AOB）在桌面上叠放成的图形，已知OB平分∠COD，则∠AOC度数是 67.5° ；
（2）如图②，点O在直线AB上．
①若∠1＝40°，∠4＝20°，则∠COE的度数是 120° ．
②如果OD为任意射线，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
【解答】解：（1）由图得∠COD＝45°，∠AOB＝90°，
因为OB平分∠COD，
所以，
故答案为：22.5°；
所以∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣22.5°＝67.5°；
（2）①∵∠1＝40°，∠4＝20°，
∴∠COE＝180°﹣∠1﹣∠4＝120°，
故答案为：120°；
②因为点O在直线AB上，OD为任意射线，
所以∠AOD+∠BOD＝180°，
因为OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，
所以，（角平分线定义），
所以＝＝＝90°．
25．（2024秋•晋州市期中）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP＝68°，将一块直角三角尺（∠MON＝90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）．
（1）当n＝30时，求∠PON的大小；
（2）当OP恰好平分∠MON时，求n的值；
（3）当n≠68时，嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值，淇淇认为∠AON与∠POM的和为定值，且二人求得的定值相同，均为22°，老师说，要使两人的说法都正确，需要对n分别附加条件．请你补充这个条件：
当n满足 0＜n＜68 时，∠AON﹣∠POM＝22°；
当n满足 68＜n＜90 时，∠AON+∠POM＝22°．
【解答】解：（1）当n＝30°时，∠BOM＝30°，
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝68°﹣30°＝38°，
∵∠MON＝90°，
∴∠PON＝90°﹣38°＝52°；
（2）∵OP恰好平分∠MON，∠MON＝90°，
∴∠POM＝45°，
∵∠POB＝68°，
∴n＝68﹣45＝23；
（3）当0＜n＜68时，如图1，∠AON﹣∠POM＝22°，理由如下：
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝68°﹣n°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，
∴∠AON﹣∠POM＝（90°﹣n°）﹣（68°﹣n°）＝22°；
当68＜n＜90时，如图2，理由如下：
∵∠POB＝68°，
∴∠POM＝n°﹣68°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，
∴∠AON+∠POM＝（90°﹣n°）+（n°﹣68°）＝22°；
故答案为：0＜n＜68，68＜n＜90．
26．（2024秋•滨海县期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 40 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好点
∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，
∴t＝，
（Ⅳ）
OD是OA的友好点，
∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，
∴t＝，
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．