人教版（2024）七年级上册（2024）直线、射线、线段精品同步练习题

这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）直线、射线、线段精品同步练习题，共51页。
1.了解方直线、射线与线段的概念；
2. 理解两点确定一条直线与两点之间线段最短的事实；
3. 掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，以及它们的联系与区别；
4. 知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算.
5. 知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算.
【知识点梳理】
考点1 直线、射线与线段的概念
注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
考点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
考点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
考点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
【典例分析】
【考点1 直线、射线与线段】
【典例1】（2024秋•潜江期末）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB与线段BA是不同的两条线段
B．射线BC与射线BA是同一条射线
C．射线AB与射线AC是两条不同的射线
D．直线AB与直线BC是同一条直线
【变式1-1】（2024春•文登区期末）下列说法错误的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线
B．直线AB比射线AB长
C．线段AB和线段BA表示同一条线段
D．过一点可以作无数条直线
【变式1-2】（2024秋•梁山县期末）如图，图中射线、线段、直线的条数分别为（ ）
A．8，4，1B．3，3，2C．1，3，2D．5，5，1
【变式1-3】（2024秋•罗庄区期末）下列叙述正确的是（ ）
A．线段AB可表示为线段BAB．射线CD可表示为射线DC
C．直线可以比较长短D．射线可以比较长短
【考点2 直线的性质】
【典例2】（2024秋•滦州市期末）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】（2024秋•沈河区期末）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【变式2-2】（2024秋•淮阳区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ）
A．1枚B．2枚C．3枚D．任意枚
【典例3】（2024春•东营区校级月考）如下图，已知线段a、b（a＞b），画一线段，使它等于2a﹣2b．
【变式3-1】（2010秋•灌阳县期末）如图，已知线段a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）．
（1）画一条线段，使它等于a+b；
（2）画一条线段，使它等于a﹣c；
并用字母表示出所画线段．
【变式3-2】如图，线段CD的长度为6cm．
（1）延长CD到E，使DE＝2cm；
（2）找出CE的中点O；
（3）点D是线段OE的中点吗？为什么？请说明理由．
【典例4】（2024•德城区校级开学）若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．49B．42C．21D．20
【变式4】（2024秋•樊城区期末）由襄阳东站到汉口站的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：襄阳东站一枣阳一随州南一新安陆西一孝感东一汉口站，那么铁路运营公司要为这条线路制作的车票有（ ）
A．6种B．12种C．15种D．30种
【考点3 线段的性质】
【典例5】（2024秋•乌当区期末）如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【变式5-1】（2024秋•云岩区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（ ）
A．两点之间，线段最短B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，直线最短D．两点确定一条直线
【变式5-2】（2024秋•和平区期末）下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上
C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线
D．如图4，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的
【变式5-3】（2024秋•邢台期末）小华认为从A点到B点的三条路线中，②是路程最短的，他做这个判断所依据的是（ ）
A．线动成面
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．连接两点之间的线段的长度叫做两点间的距离
【考点4 线段的简单计算】
【典例6】（2024秋•历城区期末）如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cmB．2.5cmC．4cmD．6cm
【变式6-1】（2024•北碚区校级开学）如图，已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点，若BD＝6，则AB长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【变式6-2】（2024秋•巩义市期末）在一条直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝6，BC＝3，若点D是线段AC的中点，则线段BD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．1.5
【变式6-3】（2024秋•历城区期末）如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cmB．2.5cmC．4cmD．6cm
【典例7】（2024秋•梁平区期末）点C是线段AB上的三等分点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为（ ）
A．18或36B．18或24C．24或36D．24或48
【变式7-1】（2024秋•罗源县期末）点A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则BC＝（ ）
A．12cmB．8cmC．12cm或8cmD．以上均不对
【变式7-2】（2024秋•罗源县期末）点A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则BC＝（ ）
A．12cmB．8cmC．12cm或8cmD．以上均不对
【典例8】（2024秋•滨海县期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC＝AC，且AC＝16cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．
【变式8-1】（2024秋•玄武区期末）如图，B、C两点把线段AD分成三部分，AB：BC：CD＝2：5：3，M为AD的中点．
（1）判断线段AB与CM的大小关系，说明理由．
（2）若CM＝10，求AD的长．
【变式8-2】（2024秋•秀屿区校级期末）如图B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．
【变式8-3】（2025秋•滨城区期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC＝AC，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【考点5 “双中点”模型】
【典例9】（2024春•保山期末）如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（ ）
A．12cmB．11cmC．13cmD．10cm
【变式9-1】（2025秋•河东区期末）若点B在线段AC上，AB＝6cm，BC＝10cm，P、Q分别是AB、BC的中点，则线段PQ的长为（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
【变式9-2】（2024秋•余干县校级期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm
【典例10】（2024秋•孝南区期末）如图，已知线段AB＝12cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝4cm，EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
【变式10-1】（2024秋•武冈市期末）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的长短：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
【变式10-2】（2024秋•廉江市期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
【变式10-3】（2024秋•郊区期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
专题4.2 直线、射线与线段（知识解读）
【学习目标】
1.了解方直线、射线与线段的概念；
2. 理解两点确定一条直线与两点之间线段最短的事实；
3. 掌握直线、射线、线段的表示方法和画法，以及它们的联系与区别；
4. 知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算.
5. 知道两点间的距离和线段中点的含义，并能进行线段的计算.
【知识点梳理】
考点1 直线、射线与线段的概念
注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
考点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
考点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
考点4：双中点模型：
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
【典例分析】
【考点1 直线、射线与线段】
【典例1】（2024秋•潜江期末）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB与线段BA是不同的两条线段
B．射线BC与射线BA是同一条射线
C．射线AB与射线AC是两条不同的射线
D．直线AB与直线BC是同一条直线
【答案】D
【解答】解：A、线段AB与线段BA是同一条线段，选项说法错误，不符合题意；
B、射线BC与射线BA不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；
C、射线AB与射线AC是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；
D、直线AB与直线BC是同一条直线，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2024春•文登区期末）下列说法错误的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线
B．直线AB比射线AB长
C．线段AB和线段BA表示同一条线段
D．过一点可以作无数条直线
【答案】B
【解答】解：A：直线AB和直线BA是同一条直线，故A是正确的；
B：直线和射线都是不可度量的，因此不能比较大小，故B是错误的；
C：线段AB和线段BA是同一条线段，故C是正确的；
D：过一点可以作无数条直线，故D是正确的；
故选：B．
【变式1-2】（2024秋•梁山县期末）如图，图中射线、线段、直线的条数分别为（ ）
A．8，4，1B．3，3，2C．1，3，2D．5，5，1
【答案】A
【解答】解：如图，射线有：AB、AC、BC、BA、CB、CA、DB、BE，共8条；
线段有：AB、BC、AC、DB，共4条；
直线有：直线AC，1条；
故选：A．
【变式1-3】（2024秋•罗庄区期末）下列叙述正确的是（ ）
A．线段AB可表示为线段BAB．射线CD可表示为射线DC
C．直线可以比较长短D．射线可以比较长短
【答案】A
【解答】解：A．线段AB可表示为线段BA，故说法正确，符合题意；
B．射线CD不可表示为射线DC，故说法错误，不合题意；
C．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意；
D．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意；
故选：A．
【考点2 直线的性质】
【典例2】（2024秋•滦州市期末）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．
故选：C．
【变式2-1】（2024秋•沈河区期末）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】D
【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，
这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：D．
【变式2-2】（2024秋•淮阳区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（ ）
A．1枚B．2枚C．3枚D．任意枚
【答案】B
【解答】解：∵两点确定一条直线，
∴至少需要2枚钉子．
故选：B．
【典例3】（2024春•东营区校级月考）如下图，已知线段a、b（a＞b），画一线段，使它等于2a﹣2b．
【解答】解：画法（如图）：①画射线AF；
②在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a；
③在线段AC上顺次截取AD＝DE＝b，则线段EC即为所要画的线段．
【变式3-1】（2010秋•灌阳县期末）如图，已知线段a、b、c，用直尺和圆规画图（保留画图痕迹）．
（1）画一条线段，使它等于a+b；
（2）画一条线段，使它等于a﹣c；
并用字母表示出所画线段．
【解答】解：（1）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线于B点，再以B为圆心，以线段b的长为半径画圆，交l于点C（C在AB外），则线段AC即为所求；
如图所示：
（2）先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线于B点，再以B为圆心，以线段c的长为半径画圆，交l于点C（C在AB内），则线段AC即为所求；
如图所示：
【变式3-2】如图，线段CD的长度为6cm．
（1）延长CD到E，使DE＝2cm；
（2）找出CE的中点O；
（3）点D是线段OE的中点吗？为什么？请说明理由．
【解答】解：（1）
（2）
【典例4】（2024•德城区校级开学）若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．49B．42C．21D．20
【答案】B
【解答】解：如图所示，线段的总条数是×6×7＝21，
因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制21×2＝42（种）．
故选：B．
【变式4】（2024秋•樊城区期末）由襄阳东站到汉口站的某趟高铁，运行途中停靠的车站依次是：襄阳东站一枣阳一随州南一新安陆西一孝感东一汉口站，那么铁路运营公司要为这条线路制作的车票有（ ）
A．6种B．12种C．15种D．30种
【答案】D
【解答】解：如图，
图中线段的条数为5+4+3+2+1＝15（条），
15×2＝30（种）
故选：D．
②当n＝50时，＝1225（次），
n（n﹣1）＝50×（50﹣1）＝50×49＝2450（件），
∴某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握1225次手，最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需 2450件礼物，
故答案为：1225；2450；
③当n＝9时，＝＝36（种），
∴从A地到B地的火车途中共停靠7个站（不包括出发站和终点站），请问共需准备36种车票，
故答案为：36．
【考点3 线段的性质】
【典例5】（2024秋•乌当区期末）如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【解答】解：第③条道路最近，理由是两点之间，线段最短．
故选：C．
【变式5-1】（2024秋•云岩区期末）把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是（ ）
A．两点之间，线段最短B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，直线最短D．两点确定一条直线
【答案】A
【解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是两点之间，线段最短．
故选：A．
【变式5-2】（2024秋•和平区期末）下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上
C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线
D．如图4，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的
【答案】A
【解答】解：A、把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意；
B、用两根钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；
C、植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；
D、将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；
故选：A．
【变式5-3】（2024秋•邢台期末）小华认为从A点到B点的三条路线中，②是路程最短的，他做这个判断所依据的是（ ）
A．线动成面
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．连接两点之间的线段的长度叫做两点间的距离
【答案】B
【解答】解：由图可知，在连接A、B两点的线中，②是线段，
∴②最短，根据是两点之间，线段最短，
故选：B
【考点4 线段的简单计算】
【典例6】（2024秋•历城区期末）如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cmB．2.5cmC．4cmD．6cm
【答案】D
【解答】解：∵CD＝AC，AD+CD＝AC，
∴AD+＝AC，
∴AD＝AC，
∵AD＝2cm，
∴AC＝3cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴AB＝2AC＝6cm，
故选：D．
【变式6-1】（2024•北碚区校级开学）如图，已知线段AB，延长AB到C，使BC＝AB，D为AC的中点，若BD＝6，则AB长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【答案】A
【解答】解：∵D为AC的中点，
∴CD＝AC＝，
∵BC＝AB，
∴CD＝AB，
∵CD﹣BC＝BD＝6，
∴，
∴AB＝16，
故选：A．
【变式6-2】（2024秋•巩义市期末）在一条直线上顺次取A，B，C三点，使得AB＝6，BC＝3，若点D是线段AC的中点，则线段BD的长为（ ）
A．1B．2C．3D．1.5
【答案】D
【解答】解：如图，
∵AB＝6，BC＝3，
∴AC＝AB+BC＝9，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝4.5，
∴DB＝AB﹣AD＝1.5．
故选：D．
【变式6-3】（2024秋•历城区期末）如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cmB．2.5cmC．4cmD．6cm
【答案】D
【解答】解：∵CD＝AC，AD+CD＝AC，
∴AD+＝AC，
∴AD＝AC，
∵AD＝2cm，
∴AC＝3cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴AB＝2AC＝6cm，
故选：D．
【典例7】（2024秋•梁平区期末）点C是线段AB上的三等分点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为（ ）
A．18或36B．18或24C．24或36D．24或48
【答案】A
【解答】解：如图1，
∵点C是线段AB上的三等分点，
∴AB＝3BC，
∵E是线段BC的中点，CE＝6，
∴BC＝2CE＝12，
∴AB＝3×12＝36；
如图2，
∵E是线段BC的中点，CE＝6，
∴BC＝2CE＝12，
∴AC＝6，
∵点C是线段AB上的三等分点，
∴AB＝3AC＝18，
则AB的长为18或36．
故选：A．
【变式7-1】（2024秋•罗源县期末）点A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则BC＝（ ）
A．12cmB．8cmC．12cm或8cmD．以上均不对
【答案】C
【解答】解：（1）点C在A、B中间时，
BC＝AB﹣AC＝10﹣2＝8（cm）．
（2）点C在点A的左边时，
BC＝AB+AC＝10+2＝12（cm）．
∴线段BC的长为12cm或8cm．
故选：C．
【变式7-2】（2024秋•罗源县期末）点A、B、C在同一直线上，AB＝10cm，AC＝2cm，则BC＝（ ）
A．12cmB．8cmC．12cm或8cmD．以上均不对
【答案】C
【解答】解：（1）点C在A、B中间时，
BC＝AB﹣AC＝10﹣2＝8（cm）．
（2）点C在点A的左边时，
BC＝AB+AC＝10+2＝12（cm）．
∴线段BC的长为12cm或8cm．
故选：C
【典例8】（2024秋•滨海县期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC＝AC，且AC＝16cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．
【解答】解：（1）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，
故答案为：＝；
②∵BC＝AC，AC＝16cm，
∴BC＝12cm，
∴AB＝AC﹣BC＝4cm，
∵AB＝CD，
∴CD＝4cm，
∴AD＝AC+CD＝20cm；
故答案为：20；
（2）如图：
设AM＝BM＝xcm，
根据已知得：AB＝2xcm，BC＝3xcm，CD＝4xcm，
∴AD＝9xcm，CN＝DN＝CD＝2xcm，
∵MN＝18，
∴BM+BC+CN＝18，即x+3x+2x＝18，
解得x＝3，
∴AD＝9x＝27（cm）．
答：AD的长是27cm．
【变式8-1】（2024秋•玄武区期末）如图，B、C两点把线段AD分成三部分，AB：BC：CD＝2：5：3，M为AD的中点．
（1）判断线段AB与CM的大小关系，说明理由．
（2）若CM＝10，求AD的长．
【解答】解：（1）AB＝CM，理由如下：
设AB＝2x，BC＝5x，CD＝3x，则
AD＝2x+5x+3x＝10x，
∵M为AD的中点，
∴MD＝AD＝5x，
∴CM＝MD﹣CD＝5x﹣3x＝2x，
∴AB＝CM．
（2）∵CM＝10，
∴2x＝10，
解得x＝5，
∴AD＝10x＝10×5＝50．
【变式8-2】（2024秋•秀屿区校级期末）如图B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．
【解答】解：设AB＝2x，BC＝3x，CD＝4x，
∴AD＝9x，MD＝x，
则CD＝4x＝8，x＝2，
MC＝MD﹣CD＝﹣4x＝＝×2＝1．
【变式8-3】（2025秋•滨城区期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BC＝AC，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【解答】解：（1）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即，AC＝BD，
故答案为：＝；
②∵BC＝AC，且AC＝12cm，
∴BC＝×12＝9（cm），
∴AB＝CD＝AC﹣BC＝12﹣9＝3（cm），
∴AD＝AC+CD＝12+3＝15（cm），
故答案为：15；
（2）如图1所示，
设每份为x，则AB＝3x，BC＝4x，CD＝5x，AD＝12x，
∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，
∴AM＝BM＝x，CN＝DN＝x，
又∵MN＝16，
∴x+4x+x＝16，
解得，x＝2，
∴AD＝12x＝24（cm）．
【考点5 “双中点”模型】
【典例9】（2024春•保山期末）如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（ ）
A．12cmB．11cmC．13cmD．10cm
【答案】A
【解答】解：∵点M是AB的中点，
∴BM＝AM＝AB＝×6＝3（cm），
∵BC＝10cm，CD＝8cm，
∴BD＝BC+CD＝10+8＝18（cm），
∵点N是BD的中点，
∴BN＝DN＝BD＝×18＝9（cm），
∴MN＝MB+BN＝3+9＝12（cm）．
故选：A．
【变式9-1】（2025秋•河东区期末）若点B在线段AC上，AB＝6cm，BC＝10cm，P、Q分别是AB、BC的中点，则线段PQ的长为（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
【答案】D
【解答】解：由分析得：PQ＝PB+BQ＝（AB+BC），AB＝6cm，BC＝10cm，所以PQ＝8cm，故选D．
【变式9-2】（2024秋•余干县校级期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm
【答案】D
【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN＝AC+BC＝AB＝5cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN＝AC﹣BC＝7﹣2＝5cm．
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．
故选：D．
【典例10】（2024秋•孝南区期末）如图，已知线段AB＝12cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝4cm，EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，CD＝2cm，AC＝4cm，
∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝6cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE＝AC＝2cm，DF＝BD＝3cm，
∴EF＝CE+CD+DF＝7cm；
故答案为：7；
（2）不改变，
理由：∵AB＝12cm，CD＝2cm，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴CE＝AC，DF＝BD，
∴CE+DF＝AC+BD＝5cm，
∴EF＝CE+CD+DF＝7cm．
【变式10-1】（2024秋•武冈市期末）如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的长短：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．
【解答】解：（1）以A为端点的线段有AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段有BC、BD共2条；以C为端点的线段为CD，有1条，故共有线段的条数为：3+2+1＝6，
故答案为：6；
（2）①∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，且AB＝CD
∴AC＝BD
故答案为：＝；
（2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD．
故答案为：＝；
②∵AD＝20，BC＝12，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝8，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴BM＝，CN＝，
∴，
∴MN＝BM+CN+BC＝4+12＝16．
【变式10-2】（2024秋•廉江市期末）如图，线段AB，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）若AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段MN的长；
（2）若BC＝a，试用含a的式子表示线段MN的长．
【解答】解：（1）因为AB＝8cm，M是AB的中点，
所以AM＝＝4cm，
又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，
所以AN＝＝1.6cm，
所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；
（2）因为M是AB的中点，
所以AM＝，
因为N是AC的中点，
所以AN＝，
∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．
（3）D是线段OE的中点，因为DE＝2，OD＝2，所以DE＝OE，即D是O的中点．
【变式10-3】（2024秋•郊区期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点，
∴CM＝0.5AC＝4.5cm，
∵BC＝6cm，点N是BC的中点，
∴CN＝0.5BC＝3cm，
∴MN＝CM+CN＝7.5cm，
∴线段MN的长度为7.5cm，
（2）MN＝a，
当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN＝a，
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
∵M是AC的中点，
∴CM＝AC，
∵点N是BC的中点，
∴CN＝BC，
∴MN＝CM﹣CN＝（AC﹣BC）＝b．
专题4.2 直线、射线、线段（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•灞桥区校级期中）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离；
②线段AB和线段BA表示同一条线段；
③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；
④若AB＝2CB，则点C是AB的中点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024秋•奎文区期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线CB不经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
3．（2024秋•乌当区期末）如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（2024秋•天山区校级期中）如果线段AB＝10cm，MA+MB＝13cm，那么下面说法中正确的是（ ）
A．M点在线段AB上 B．M点在直线AB上
C．M点可能在直线AB上也可能在AB外 D．M点在直线AB外
5．（2024秋•诸城市校级月考）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
6．（2024秋•历城区期末）如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cmB．2.5cmC．4cmD．6cm
7．（2024春•莱西市期中）如图各图中所给的射线、直线能相交的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024•驿城区校级开学）下列几种说法：
①两点之间线段最短；
②任何数的平方都是正数；
③2（2x+1）是一元一次方程；
④34x3是7次单项式；
⑤任何有理数的绝对值都是非负数．
其中正确的语句有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
9．（2024秋•聊城月考）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种B．42种C．10种D．84种
10．（2024秋•闽侯县期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，AD+BC＝AB，设CD＝t，则方程3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3）的解是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
11．（2024秋•高新区校级期末）某学校老师分别住在A，B，C三个住宅区，A区有15人，B区有20人，C区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点．要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（ ）
A．B区
B．C区
C．B区或C区
D．B，C两区之间任何一点（含B，C两点）
12．（2024秋•泉州期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”
C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6
D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC
二、填空题。
13．（2024秋•阳谷县校级月考）从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种．
14．（2024春•牟平区期中）如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AB＝10cm，，则CD的长度是 ．
15．（2024秋•奎文区期中）如图，小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，请你用数学知识解释他这样操作的原因是 ．
16．（2024秋•海淀区校级期中）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值 ．
17．（2024秋•泰兴市期末）如图，AB＝17cm，点C是线段AB延长线上一动点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则MN﹣BN＝ ．
18．（2024春•浦东新区月考）如图，把一根绳子对折成线段AB，AB上有一点P，已知AP＝PB，PB＝40cm，则这根绳子的长为 cm．
三、解答题。
19．（2024秋•聊城月考）如图，点B，D都在线段AC上，AB＝18，点D是线段AB的中点，BD＝3BC，求AC的长．
20．（2024春•让胡路区校级期末）线段AD上有两点B，C，满足AC＝0.2AD，AB＝3AC．若AB+AC+AD＝50cm，线段BC的长为多少？
21．（2024秋•巫溪县期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，AB＝48．点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE＝16，线段DE在线段AB上移动．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2，当AD＝5CE时，求BE的长．
22．（2024秋•铁西区期中）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC＝13，CB＝8，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC＝13，CB＝8，若点M是AC的中点，BN＝BC，求线段MN的长；
③已知AC＝a，CB＝b，若AM＝AC，BN＝BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC＝a，CB＝a，5AM＝3CM，3BN＝2CN，请直接写出线段MN的长．
23．（2024秋•历城区期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BD＝2cm．
（1）图中共有 条线段．
（2）求AC的长．
（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．
24．（2024秋•思明区校级期末）如图，已知线段AB．
（1）延长线段BA到点C，使AC＝2AB；
（2）图中，设D是AB的中点，E是BC的中点，若线段AB＝2cm，求DE长（请填充）．
∵AB＝2，AC＝2AB，
∴AC＝4，BC＝ ，
又∵ ，
∴，
∵D为AB中点，
∴BD＝ ，
∴ED＝ ．
25．（2024春•新泰市期末）如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
26．（2024秋•霸州市期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
27．（2024秋•岱岳区期末）【阅读】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，则|AB|＝|a﹣b|．即|5﹣3|表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】
（1）点A，B表示的数分别为﹣7，2，则|AB|＝ ，|x+2|在数轴上可以理解为 ．
（2）若|x﹣3.1|＝4，则x＝ ，若|y+4|＝|y﹣3|，则y＝ ．
【应用】
（3）如图，数轴上表示点a的点位于﹣3和2之间，求|a+3|+|a﹣2|的值．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x，|x+6|+|x+3|+|x﹣1|是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
28．（2024•海淀区校级开学）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处．
（1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；
（2）如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
（3）若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
专题4.2 直线、射线、线段（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•灞桥区校级期中）下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点之间的线段叫两点间的距离；
②线段AB和线段BA表示同一条线段；
③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；
④若AB＝2CB，则点C是AB的中点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：连接两点之间的线段的长叫两点间的距离，故①不符合题意；
线段AB和线段BA表示同一条线段，正确，故②符合题意；
木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条直线，故③不符合题意；
若AB＝2CB，点C可能在AB外，则点C不一定是AB的中点，故④不符合题意．
故选：A．
2．（2024秋•奎文区期中）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线CB不经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
【答案】C。
【解答】解：A、点C在线段BA的延长线上，故A不符合题意；
B、射线BC不经过点A，故B不符合题意；
C、直线a和直线b相交于点A，正确，故C符合题意；
D、射线CD和线段AB有交点，故D不符合题意，
故选：C．
3．（2024秋•乌当区期末）如图，从甲地到乙地有四条道路，最近的一条是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C。
【解答】解：第③条道路最近，理由是两点之间，线段最短．
故选：C．
4．（2024秋•天山区校级期中）如果线段AB＝10cm，MA+MB＝13cm，那么下面说法中正确的是（ ）
A．M点在线段AB上
B．M点在直线AB上
C．M点可能在直线AB上也可能在AB外
D．M点在直线AB外
【答案】C。
【解答】解：如图1：点M在直线AB外时，MA+MB＝13cm，
如图2，点M在直线AB上时，MA+MB＝13cm，
根据以上两个图形得出M可以在直线AB上，也可以在直线AB外，
故选：C．
5．（2024秋•诸城市校级月考）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】B。
【解答】解：①属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是两点之间，线段最短，不符合题意；
③属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；
④两点之间，线段最短，减少了距离，不符合题意．
故选：B．
6．（2024秋•历城区期末）如图，点C是线段AB的中点，CD＝AC，若AD＝2cm，则AB＝（ ）
A．3cmB．2.5cmC．4cmD．6cm
【答案】D。
【解答】解：∵CD＝AC，AD+CD＝AC，
∴AD+＝AC，
∴AD＝AC，
∵AD＝2cm，
∴AC＝3cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴AB＝2AC＝6cm，
故选：D．
7．（2024春•莱西市期中）如图各图中所给的射线、直线能相交的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：A选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
B选项中，直线AB与射线EF有交点，符合题意；
C选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
D选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；
故选：B．
8．（2024•驿城区校级开学）下列几种说法：
①两点之间线段最短；
②任何数的平方都是正数；
③2（2x+1）是一元一次方程；
④34x3是7次单项式；
⑤任何有理数的绝对值都是非负数．
其中正确的语句有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B。
【解答】解：①两点之间线段最短；故符合题意；
②任何数的平方都是非负数；故不符合题意；
③2（2x+1）不是一元一次方程；故不符合题意；
④34x3是3次单项式；故不符合题意；
⑤任何有理数的绝对值都是非负数，故符合题意；
故选：B．
9．（2024秋•聊城月考）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种B．42种C．10种D．84种
【答案】A。
【解答】解：如图，图中有5个站点．
经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有4+3+2+1＝10（种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为2×10＝20（种）．
故选：A．
10．（2024秋•闽侯县期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝10，AD+BC＝AB，设CD＝t，则方程3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3）的解是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
【答案】D。
【解答】解：∵AD+BC＝AC+CD+CD+BD＝AC+BD+2CD，
AB＝AC+CD+BD，
AC+BD＝10．
∴AB＝10+CD，AD+BC＝10+2CD，
∵AD+BC＝AB，设CD＝t，
∴10+2t＝（10+t），
解得t＝2.5，
把t＝2.5代入3x﹣7（x﹣1）＝2t﹣2（x+3），
3x﹣7x+7＝2×2.5﹣2x﹣6，
3x﹣7x+2x＝5﹣6﹣7，
﹣2x＝﹣8，
x＝4，
故选：D．
11．（2024秋•高新区校级期末）某学校老师分别住在A，B，C三个住宅区，A区有15人，B区有20人，C区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点．要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（ ）
A．B区
B．C区
C．B区或C区
D．B，C两区之间任何一点（含B，C两点）
【答案】D。
【解答】解：设距离A区xm处最近，那么可以算出所有老师步行到停靠点的路程和最小为ym，
当0≤x≤300时，y＝15x+20（300﹣x）+35（800﹣x）＝34000﹣40x，
所以x＝300时，y最小是22000；
当300＜x≤800时，y＝15x+20（x﹣300）+35（800﹣x）＝22000，
综上，当300≤x≤800时，y最小是22000．
故选：D．
12．（2024秋•泉州期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”
C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6
D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC
【答案】D。
【解答】解：A：漏掉A、B、C三点在同一直线上，
∴不符合题意；
B：原理应该是：“两点之间线段最短”，
∴不符合题意；
C：分两种情况①图
AC＝6，
②图
AC＝2，
∴不符合题意；
D：①图
②图
这两种情况都能满足AC＝BD，则AD＝BC，
∴符合题意；
故选：D．
二、填空题。
13．（2024秋•阳谷县校级月考）从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 10 种．
【答案】3cm。
【解答】解：∵阳谷开往济南的特快列车，途中共有五个站点，
∴当n＝5时，＝＝10，
故答案为：10．
14．（2024春•牟平区期中）如图，点C、D在线段AB上，点C为AB中点，若AB＝10cm，，则CD的长度是 3cm ．
【答案】3cm。
【解答】解：∵点C是AB的中点，AB＝10cm，
∴BC＝AC＝AB＝×10＝5（cm），
∵BD＝AC，
∴BD＝2cm，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3（cm）．
故答案为：3cm．
15．（2024秋•奎文区期中）如图，小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，请你用数学知识解释他这样操作的原因是 两点确定一条直线 ．
【答案】两点确定一条直线。
【解答】解：∵两点确定一条直线，
∴小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，请你用数字知识解释他这样操作的原因是两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
16．（2024秋•海淀区校级期中）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值 a﹣b ．
【答案】a﹣b。
【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值a﹣b．
故答案为：a﹣b．
17．（2024秋•泰兴市期末）如图，AB＝17cm，点C是线段AB延长线上一动点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段AC的中点，则MN﹣BN＝ 8.5 ．
【答案】8.5 cm。
【解答】解：设CN＝xcm，
∴BN＝2CN＝2xcm，
∴AC＝AB+BN+NC＝（17+3x）cm，
∵点M为线段AC的中点，
∴MC＝AC＝（8.5+1.5x）cm，
∴MN＝MC﹣NC＝（8.5+0.5x）cm，
BN＝0.5x（cm），
∴MN﹣BN＝8.5+0.5x﹣0.5x＝8.5（cm），
故答案为：8.5 cm．
18．（2024春•浦东新区月考）如图，把一根绳子对折成线段AB，AB上有一点P，已知AP＝PB，PB＝40cm，则这根绳子的长为 120 cm．
【答案】120。
【解答】解：设AP＝xcm，则BP＝2xcm，
当含有线段AP的绳子最长时，x+x＝40，
解得：x＝20，
即绳子的原长是2（x+2x）＝6x＝120（cm）；
故绳长为120cm．
故答案为：120．
三、解答题。
19．（2024秋•聊城月考）如图，点B，D都在线段AC上，AB＝18，点D是线段AB的中点，BD＝3BC，求AC的长．
【解答】解：∵AB＝18，点D是线段AB的中点，
∴BD＝18÷2＝9；
∵BD＝3BC，
∴BC＝9÷3＝3，
∴AC＝AB+BC＝18+3＝21．
20．（2024春•让胡路区校级期末）线段AD上有两点B，C，满足AC＝0.2AD，AB＝3AC．若AB+AC+AD＝50cm，线段BC的长为多少？
【解答】解：∵AC＝0.2AD，AB＝3AC，
∴设AC＝xcm，则AB＝3xcm，AD＝5xcm，BC＝2xcm，
∵AB+AC+AD＝50，
∴3x+x+5x＝50，
解得x＝，
∴BC＝2×＝（cm）．
21．（2024秋•巫溪县期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，AB＝48．点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE＝16，线段DE在线段AB上移动．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2，当AD＝5CE时，求BE的长．
【解答】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝48，
∴BC＝AB＝16，AC＝AB＝32，
∵E为BC中点，
∴BE＝BC＝8，
∵DE＝16，
∴AD＝AB﹣BE﹣DE＝48﹣8﹣16＝24．
（2）∵AC＝32，DE＝16，
∴DC＝AC﹣AD＝32﹣AD，DC＝DE﹣CE＝16﹣CE，
∴32﹣AD＝16﹣CE，
又AD＝5CE，
∴32﹣5CE＝16﹣CE，
∴CE＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝16﹣4＝12．
22．（2024秋•铁西区期中）（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．
①已知AC＝13，CB＝8，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；
②已知AC＝13，CB＝8，若点M是AC的中点，BN＝BC，求线段MN的长；
③已知AC＝a，CB＝b，若AM＝AC，BN＝BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；
（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC＝a，CB＝a，5AM＝3CM，3BN＝2CN，请直接写出线段MN的长．
【解答】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC＝＝6.5，CN＝＝＝4，
∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；
②∵点M是AC的中点，BN＝BC，
∴CM＝AC＝＝6.5，CN＝BC＝＝2，
∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；
③MN＝a+b；
∵AM＝AC，BN＝BC，
∴CM＝＝a，CN＝BC＝b，
∴MN＝CM+CN＝a+b；
（2）MN＝（+）a．
∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，
∴CM＝AC＝a，CN＝BC＝×a＝a，
∴MN＝CM+CN＝（+）a．
23．（2024秋•历城区期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BD＝2cm．
（1）图中共有 6 条线段．
（2）求AC的长．
（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．
【解答】解：（1）以A为端点的线段为：AC，AB，AD；以C为端点的线段为：CB，CD；
以B为端点的线段为：BD；
共有3+2+1＝6（条）；
故答案为：6．
（2）∵点B为CD的中点，BD＝2cm．
∴CD＝2BD＝2×2＝4（cm），
∴AC＝AD﹣CD＝9﹣4＝5（cm），
答：AC的长是5cm．
（3）AB＝AC+BC＝7cm，EA＝3cm，
当点E在线段AD上时，
BE＝AB﹣AE＝7﹣3＝4（cm），
当点E在线段DA的延长线上时，
BE＝AB+AE＝7+3＝10（cm），
答：BE的长是4或10cm．
24．（2024秋•思明区校级期末）如图，已知线段AB．
（1）延长线段BA到点C，使AC＝2AB；
（2）图中，设D是AB的中点，E是BC的中点，若线段AB＝2cm，求DE长（请填充）．
∵AB＝2，AC＝2AB，
∴AC＝4，BC＝ 6 ，
又∵ E是BC的中点 ，
∴，
∵D为AB中点，
∴BD＝ 1 ，
∴ED＝ 2 ．
【解答】解：（1）如图所示，
；
（2）∵AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
∴BC＝AC+AB＝4+2＝6，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝1，
∴DE＝BE﹣BD＝3﹣1＝2，
故答案为：6，E是BC的中点，1，2．
25．（2024春•新泰市期末）如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
【解答】解：（1）∵点E是CB的中点，EB＝8cm，
∴CE＝BE＝8cm，
∴BC＝CE+BE＝8+8＝16（cm），
∵AC＝10cm，
∴AB＝26cm，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝13cm，
∴CD＝AD﹣AC＝13﹣10＝3（cm），
DE＝BD﹣BE＝13﹣8＝5（cm）；
（2）不存在，
∵两点之间线段最短，
∴点A、C之间的最短距离为10cm，
故不存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm；
（3）存在，
∵两点之间线段最短，
∴线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，这样的点有无数个．
26．（2024秋•霸州市期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝ 12 cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝ 1：2 ；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）．
∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）．
故答案为：12．
②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t，
则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t，
∴AP：PB＝2t：4t＝1：2．
故答案为：1：2．
（2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t，
∴BD＝3PC，
∵PD＝3AC．
∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP．
∴AP＝AB＝（cm）．
27．（2024秋•岱岳区期末）【阅读】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，则|AB|＝|a﹣b|．即|5﹣3|表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】
（1）点A，B表示的数分别为﹣7，2，则|AB|＝ 9 ，|x+2|在数轴上可以理解为 x与﹣2两数的距离 ．
（2）若|x﹣3.1|＝4，则x＝ ﹣0.9或7.1 ，若|y+4|＝|y﹣3|，则y＝ ．
【应用】
（3）如图，数轴上表示点a的点位于﹣3和2之间，求|a+3|+|a﹣2|的值．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x，|x+6|+|x+3|+|x﹣1|是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）数轴上表示﹣7的点与表示2的点之间的距离为9，
|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，即可表示为x到﹣2的距离，
故答案为：9；x与﹣2的距离．
（2）∵|x﹣3.1|＝4，
∴x到3.1的距离为4，
∴3.1﹣4＝﹣0.9，3.1+4＝7.1；
∵|y+4|＝|y﹣3|，
∴y到﹣4的距离和y到3的距离相同，
∴y＝﹣0.5．
故答案为：﹣0.9或7.1；﹣0.5．
（3）∵|a+3|+|a﹣2|可表示a到﹣3的距离加上a到2的距离且a位于﹣3和2之间，
∴原式可看作﹣3与2之间的距离，
∴|a+3|+|a﹣2|＝5．
（4）|x+6|+|x+3|+|x﹣1|可表示为x到﹣6的距离加上x到﹣3的距离加上x到1的距离，
∴当x＝﹣3时，该式取得最小值，此时|x+6|+|x+3|+|x﹣1|＝7．
28．（2024•海淀区校级开学）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处．
（1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN＝ 30 cm；
（2）如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
（3）若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
【解答】解：（1）∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
∴AM＝MO＝AO，ON＝BN＝OB，
∴MN＝MO+ON＝（AO+OB）＝AB＝30（cm）；
故答案为：30．
（2）∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40（cm）．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝AA′，BN＝BB′，
∴AM+BN＝AA′+BB′＝（AA′+BB′）＝×40＝20cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40（cm）；
（3）∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝MA′＝AA′，BN＝B′N＝BB′．
当点A′落在点B′的左侧时，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝AA′+A′B′+B′B＝（AA′+A′B′+B′B）+A′B′＝（AB+A′B′）＝（30+n）（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm，
∴AM+BN＝AA′+BB′＝（AA′+BB′）＝×（60+n）＝（30+n）cm．
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60−（30+n）＝（30−n）（cm）．
综上，MN的长度为（30+）cm或（30−）cm．