初中角一课一练

这是一份初中角一课一练，共12页。
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
【知识点梳理】
考点1 余角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
考点2 补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
【典例分析】
【考点1 余角的性质】
【典例1】（2024秋•肥西县月考）若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝（ ）
A．22°30'B．22°50'C．25°D．45°
【变式1-1】（2024秋•滦州市期中）已知∠α＝60°36′，则∠α的余角是 ．（用度表示）
【变式1-2】（2024秋•泰山区校级月考）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2 补角的性质】
【典例2】（2024秋•思明区校级月考）已知∠α＝25°30'，则它的补角为（ ）
A．25°30′B．64° 30'C．164° 30'D．154°30′
【变式2-1】（2024春•天府新区月考）已知一个角的补角是115°，则这个角是 度．
【变式2-1】（2024春•潍坊期末）如图，可以用量角器量出∠AOB的度数，则∠AOB的补角是 °．
【考点2 利用补角和余角计算求值】
【典例3】（2024春•莘县校级月考）若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？
【变式3-1】（2024秋•梁平区期末）若一个角的补角加上20°后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【变式3-2】（2024秋•启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【变式3-3】（2024秋•秀屿区校级期末）已知一个角的余角比它的补角的还少5°，求这个角．
【考点4 补角、余角和角平分线综合运算】
【典例4】（2024秋•瓦房店市期末）如图，∠AOC和∠AOB分别是∠AOD的余角和补角，且OD是∠BOC的平分线．求∠AOD的度数．
【变式4-1】（2024秋•西宁期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．
（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度数；
（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度数．
【变式4-2】（2024秋•天津期末）如图，已知O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOC，∠DOE的度数；
（2）写出∠BOE的余角．
【变式4-3】（2024秋•禹州市期末）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数．
专题4.3.3 余角和补角（知识解读）
【学习目标】
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．
【知识点梳理】
考点1 余角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角．
（2）余角的性质：同角(等角)的余角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
考点2 补角
（1）定义：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角．
（2）补角的性质：同角（等角）的补角相等．
（3）数学语言表示：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
【典例分析】
【考点1 余角的性质】
【典例1】（2024秋•肥西县月考）若∠α与∠β互余，且∠α＝3∠β，则∠β＝（ ）
A．22°30'B．22°50'C．25°D．45°
【答案】A
【解答】解：由题意得：∠α+∠β＝90°，∠α＝3∠β．
解得：∠β＝22.5°＝22°30′．
故选：A．
【变式1-1】（2024秋•滦州市期中）已知∠α＝60°36′，则∠α的余角是 ．（用度表示）
【答案】29.4°
【解答】解：90°﹣∠α＝90°﹣60°36′＝29°24′＝29.4°，
∴∠α的余角是29.4°，
故答案为：29.4°．
【变式1-2】（2024秋•泰山区校级月考）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠C＝90°；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
故图中与∠B互余的角有2个．
故选：B．
【考点2 补角的性质】
【典例2】（2024秋•思明区校级月考）已知∠α＝25°30'，则它的补角为（ ）
A．25°30′B．64° 30'C．164° 30'D．154°30′
【答案】D
【解答】解：180°﹣25°30′＝154°30′．
故选：D．
【变式2-1】（2024春•天府新区月考）已知一个角的补角是115°，则这个角是 度．
【答案】65
【解答】解：∵一个角的补角是115°，
∴这个角的度数是：180°﹣115°＝65°，
故答案为：65．
【变式2-1】（2024春•潍坊期末）如图，可以用量角器量出∠AOB的度数，则∠AOB的补角是 °．
【答案】60
【解答】解：由量角器可知∠AOB＝120°，
∴∠AOB的补角＝180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60．
【考点2 利用补角和余角计算求值】
【典例3】（2024春•莘县校级月考）若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？
【解答】解：设这个角的度数是x°，则它的补角为：180°﹣x°，余角为90°﹣x°，
由题意，得：（180﹣x）﹣2（90﹣x）＝70．
解得：x＝70．
答：这个角的度数为70°．
【变式3-1】（2024秋•梁平区期末）若一个角的补角加上20°后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【答案】B
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，补角180°﹣x，
根据题意得，180°﹣x+20°＝3（90°﹣x），
解得x＝35°．
故选：B．
【变式3-2】（2024秋•启东市期末）若一个角的余角是它的补角的，则这个角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【解答】解：设这个角为α，则它的余角为90°﹣α，它的补角为180°﹣α．
由题意得，90°﹣α＝（180°﹣α），
解得：α＝30°．
故这个角的度数为30°．
故选：A．
【变式3-3】（2024秋•秀屿区校级期末）已知一个角的余角比它的补角的还少5°，求这个角．
【解答】解：设这个角的度数是x°，
则90﹣x＝（180﹣x）﹣5，
解得：x＝27，
即这个角的度数是27°，
答：这个角的度数是27°．
【考点4 补角、余角和角平分线综合运算】
【典例4】（2024秋•瓦房店市期末）如图，∠AOC和∠AOB分别是∠AOD的余角和补角，且OD是∠BOC的平分线．求∠AOD的度数．
【解答】解：设∠AOD＝x，
∵∠AOC与∠AOD互余，
∴∠AOC＝90°﹣x，
又∵∠AOB与∠AOD互补，
∴∠AOB＝180°﹣x，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°，
又∵OD是∠BOC平分线，
∴∠BOD＝∠DOC＝45°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠DOC＝90°﹣x+45°＝x，
解得：x＝67.5°，
∴∠AOD的度数是67.5°．
【变式4-1】（2024秋•西宁期末）如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD．
（1）若∠COD＝10°，求∠AOC的余角的度数；
（2）若∠AOC＝45°，求∠COE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝3∠COD，∠COD＝10°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠AOC的余角＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOC的余角的度数是60°；
（2）∵∠AOC＝3∠COD，∠AOC＝45°，
∴，
∵点A，O，B在一条直线上，
∴∠AOB＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝15°+60°＝75°，
∴∠COE的度数为75°．
【变式4-2】（2024秋•天津期末）如图，已知O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOC，∠DOE的度数；
（2）写出∠BOE的余角．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，
又∵∠AOD+∠COD+∠COE+∠BOE＝180°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
即∠DOE＝90°；
（2）∵∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠AOD＝90°，
∵∠DOA＝∠DOC，
∴∠BOE+∠COD＝90°，
∴∠BOE的余角是∠DOC和∠DOA．
【变式4-3】（2024秋•禹州市期末）如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数．
【解答】解：（1）设∠AOB＝x，
由题意得：180°﹣x＝10（90°﹣x），
解得x＝80°．
所以∠AOB的度数为80°．
（2）设∠BOD＝y，则∠AOC＝3y，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝2y，
由题意得：3y+2y+80°＝360°，
解得y＝56°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+56°＝136°．