高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册直线与圆锥曲线的位置关系优秀ppt课件

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设斜率为k的直线被圆锥曲线截得的弦为AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= |x1-x2|= 或|AB|= |y1-y2|= (k≠0).
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.已知椭圆C: + =1,则过点(1,0)的直线与椭圆一定有两个公共点. (　    )
2.直线与双曲线相切是直线与双曲线有一个公共点的充分不必要条件. (　    )
3.若直线与抛物线相交,则直线与抛物线有两个公共点. (　    )
4.过抛物线上一点且与该抛物线有一个公共点的直线有2条. (　    )
1.求相交弦的弦长的两种方法(1)求出直线与圆锥曲线的两交点坐标,用两点间的距离公式求弦长.(2)联立直线与圆锥曲线的方程,消元,得到关于一个未知数的一元二次方程,再结合弦长公式求解.
2.与圆锥曲线中点弦有关的三种题型及解法(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组,消去一个未知数得到一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)利用点差法求直线斜率或方程:弦的端点在曲线上,端点坐标满足圆锥曲线方程,将端点坐标分别代入圆锥曲线方程,然后作差,得到中点坐标和斜率的关系,从而使问题得以解决.(3)利用共线法求直线方程:如果弦的中点为P(x0,y0),设弦的一个端点为A(x1,y1),则另一个端点为B(2x0-x1,2y0-y1),由A,B两点都在圆锥曲线上,满足圆锥曲线方程,可将其坐标代入方程后作差即可得所求直线方程.
典例 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为e,且过点(1,e)和 .(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C上的两个不同点A,B关于直线y=x+ 对称,求|AB|.
解析    (1)由题意得 + = + = + = =1, + = + =1,∴b2=1,a2=2,∴椭圆C的方程为 +y2=1.(2)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,AB的中点M(x0,y0).由题意得kAB=-1,把A,B两点的坐标代入 +y2=1,得 + =1①, + =1②,②-①,得 + - =0,即 + =0,即 + ·kAB=0,故 = .∵点M在直线y=x+ 上,∴y0=x0+ ,
联立 解得 ∴M ,故直线AB:y+ =-(x+1),即y=-x- .联立 消去y,得6x2+12x+5=0,∴x1+x2=-2,x1x2= ,
∴|AB|= ×  = × = .解法二:设直线AB:y=-x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,联立 消去y,得3x2-4mx+2m2-2=0,∴x1+x2= ,∴y1+y2=-(x1+x2)+2m= ,∴AB的中点坐标为 ,又AB的中点在直线y=x+ 上,
∴ = + ,解得m=- ,∴AB的中点坐标为 ,故直线AB的方程为y=-x- .以下同解法一.
解决圆锥曲线中的最值(范围)问题的方法(1)数形结合:借助几何关系与几何性质求解.(2)建立函数模型:利用二次函数、三角函数等的最值求解.(3)建立不等式模型:利用基本不等式求解.
典例 已知抛物线y2=4 x的准线过椭圆E的左焦点,且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)若直线y= 交椭圆E于A,B两点,点P在线段AB上移动,直线OP交椭圆于M,N两点,过P作MN的垂线交x轴于点Q,求△MNQ的面积的最小值.
解析    (1)设椭圆E的方程为 + =1(a>b>0).易知抛物线的准线方程为x=- ,∴c= .∵椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,∴b=1,a=2,∴椭圆E的方程为 +y2=1.(2)易知直线MN的斜率存在且不为0.设直线MN:y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2),则P .由 得(1+4k2)x2-4=0,∴x1+x2=0,x1x2= ,
∴|MN|= · = · .设Q(m,0),∵PQ⊥MN,∴kPQ·kMN= ·k=-1,解得m= + ,∴Q到直线MN的距离为 = ,∴S△MNQ=  · · = = · = · ≥ ·2 = ,
当且仅当 = ,即k=± 时取等号,故△MNQ的面积的最小值为 .
1.定值问题(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思路是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中,选择消元的方法是非常关键的.(2)求定值问题的常用方法:①直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.②从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
2.解决定点问题的方法一是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,所以要抓住问题的核心,实质就是求解直线方程中参数之间的关系,所以要熟悉直线方程的特殊形式,若直线的方程为y=kx+b,则直线恒过点(0,b),若直线的方程为y=k(x-a),则直线恒过点(a,0).　　二是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点,为解题指明方向.
典例1 已知椭圆C: + =1,设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于异于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.
从而k1+k2= + = =2k-(k-4)· =4.
当直线l的斜率不存在时,将x=-1代入椭圆C的方程,得y=± ,不妨设A ,B ,此时k1=2- ,k2=2+ ,从而k1+k2=4.综上所述,k1+k2为定值.
典例2 已知椭圆Γ: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,A,B是椭圆Γ上关于原点对称的两个动点,当AF2垂直于x轴时,△ABF2的周长为4+ .(1)求椭圆Γ的方程;(2)已知椭圆Γ的离心率e0,y1y3= ,所以y3= .设直线BF2的方程为x=m2y+1,其中m2= ,易知B(-x3,-y3),由 得(3 +4)y2+6m2y-9=0,则Δ2=36 +108 +144=144(1+ )>0,-y2y3= ,所以y3= .所以 = ,即(3 +4)y1+(3 +4)y2=0,所以3 y1+3 y2+4(y1+y2)=0.所以3 y1+3 y2+4(y1+y2)
= + +4(y1+y2)=(3m2+4)(y1+y2)+12m(n-1)+3(n-1)2· =0,所以(3m2+4)· +12m(n-1)+3(n-1)2· =0,即m(5n-8)=0.因为m≠0,所以n= ,所以直线MN的方程为x=my+ ,恒过点 .综上,直线MN恒过点 .
　　解决圆锥曲线中的存在性问题时,首先假设存在,看是否符合题意,若推出矛盾,则不存在;否则,就存在.
典例 已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点与焦点F之间的距离为3.(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)过(-1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=-4于点E,直线BF交直线x=-1于点D.是否存在这样的直线l,使得DE∥AF? 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解析    (1)由题意及抛物线的定义可得1+ =3,解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x,准线方程为x=-2.(2)假设存在满足题意的直线l.显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立 消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得-