2.7 抛物线及其方程知识点串讲课件+分层训练-人教 B版高二上册数学（选必一）

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2.7　抛物线及其方程　　一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.知识拓展    抛物线定义中,若定点F在定直线l上,则轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于l的一条直线.1.焦点弦过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦.2.通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的通径,抛物线的通径长为2p,是所有焦点弦中长度最短的弦.3.有关抛物线焦点弦的结论如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影分别为A',B',直线AB的倾斜角为θ,则有: (1)|AB|=x1+x2+p= ;(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;(3)|AF|= ,|BF|= ;(4) + = ;(5)以AF,BF为直径的圆与y轴相切;(6)以AB为直径的圆与准线相切;(7)A,O,B'共线,A',O,B共线;(8)∠A'FB'=90°;(9)S△AOB= ;(10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上.知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. (　    )✕2.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 ,准线方程为x= . (　    )✕3.在抛物线y2=2px(p>0)中,p值越大,抛物线的开口越大,p值越小,开口越小. (　    )√讲解分析求抛物线标准方程的两种常用方法(1)定义法:先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,若符合,再根据定义求出方程.(2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数的值.　　当抛物线的焦点位置不确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论不同情况的次数.典例 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.(1)准线方程为y= ;(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;(3)经过点(-3,-1).解析    (1)由题意可得,抛物线的准线与y轴正半轴相交,故设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则 = ,解得p= ,故抛物线的标准方程为x2=- y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设抛物线的方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.(3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0).若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),则由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .故抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y.讲解分析1.利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题　　先将几何条件转化,其关键是根据几何性质,将几何条件转化为抛物线的定义:动点到定点的距离等于到定直线的距离,且定点不在定直线上;再利用抛物线的定义写出标准方程.2.抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点之间的距离及到准线的距离的转化,通过转化可以求最值、参数、距离.典例 (1)(多选)已知点F是抛物线C:y2=12x的焦点,点P是抛物线C上一点,M(4,3),则下列说法正确的是 ( 　    )A.抛物线C的准线方程为x=-3B.若|PF|=7,则△PMF的面积为2 - C.|PF|-|PM|的最大值为 D.△PMF的周长的最小值为7+ (2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为　     　    .ACDx2=-12y解析    (1)由y2=12x得p=6,∴抛物线C的准线方程为x=-3,故A正确.根据抛物线的定义得|PF|=xP+ =xP+3=7,解得xP=4,当xP=4时,yP=±4 .∵M(4,3),∴PM∥y轴.若P(4,4 ),则|PM|=4 -3,△PMF的底边PM上的高为1,故S△PMF= ×(4 -3)×1=2 - ;若P(4,-4 ),则|PM|=4 +3,△PMF的底边PM上的高为1,故S△PMF= ×(4 +3)×1=2 + ,故B错误.易知F(3,0),∵|PF|-|PM|≤|MF|,∴(|PF|-|PM|)max=|MF|= = ,故C正确.过点P作PD⊥准线于点D(图略),则△PMF的周长为|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|PF|+ =|PM|+|PD|+ ,显然当点P,M,D位于同一条直线上时,|PM|+|PD|最小,为|MD|=7,故△PMF的周长的最小值为7+ ,故D正确.故选ACD.(2)设动圆圆心M(x,y).由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的抛物线,其方程为x2=-12y.讲解分析1.解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论,并灵活运用.有关焦点弦的诸多结论实质是利用抛物线的定义并结合相关知识推出的.2.知识点3中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,但在实际应用中,有些抛物线的方程可能不是这种形式,这时相关结论会随之变化,不能盲目套用.典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF|=3|NF|,则k=　　　    .且|MF|=3|NF|,所以 = ,解得cos θ= ,所以θ= ,所以k=tan θ= .解法三:在抛物线y2=4x中,p=2,所以 + = =1,又因为|MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= .设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,所以 = ,解得sin θ= (负值舍去),所以θ= ,故k=tan θ= .