高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的坐标与空间直角坐标系优质课件ppt

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2.空间向量坐标的运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R.
1.空间直角坐标系在空间中任意选定一点O作为坐标原点,选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴,这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
2.相关概念在空间直角坐标系Oxyz中,x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面,分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面,它们把空间分成八个部分,如图所示. 
　　注意:在平面内画空间直角坐标系Oxyz时,一般把x轴、y轴画成水平放置,x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°),z轴与y轴(或x轴)垂直.
3.空间直角坐标系下点的坐标空间一点M的位置完全由有序实数组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点M的坐标,记作M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M的坐标分量,且x称为点M的横坐标(或x坐标),y称为点M的纵坐标(或y坐标),z称为点M的竖坐标(或z坐标).
知识拓展    空间直角坐标系中对称点的问题常常用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论来解决.(1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c);(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c);(3)点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c);(4)点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c);(5)点(a,b,c)关于xOy平面的对称点为(a,b,-c);(6)点(a,b,c)关于yOz平面的对称点为(-a,b,c);(7)点(a,b,c)关于zOx平面的对称点为(a,-b,c).
1.两点之间的距离公式设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间直角坐标系中的两点,O是坐标原点,则 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),所以P1P2=| |= .
2.中点坐标公式已知空间直角坐标系中的两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点的坐标为 .
知识拓展    已知△ABC的三个顶点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则△ABC重心的坐标为 .
在这里要强调b的每一个坐标分量都不为0.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(b≠0),则a∥b的充要条件是 = = . (　    )
2.空间向量 的坐标就是点P的坐标.(　    )
3.点(2,1,3)关于xOy平面的对称点为(-2,-1,3). (　    )
根据“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”知,对称点为(2,1,-3).
4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量 与 的夹角为60°. (　    )
1.与向量坐标有关的平行、垂直问题主要有两种类型:一是判定平行或垂直;二是已知平行或垂直求参数.
2.利用空间向量的坐标运算解决空间平行、垂直问题的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标;(2)求出相关向量的坐标;(3)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),利用“a∥b(a≠0)⇔b=λa(λ∈R)⇔b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3”“a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0”建立关系;(4)得出结论.
典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.(1)求证: ∥ , ⊥ ;(2)若点M在线段AC1上,且 ⊥ ,求点M的坐标. 
解析    以A为坐标原点,{ , , }为单位正交基底建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),E ,G ,H . (1)证明: =(1,0,1), = , = .因为 =2 , · =1× +0+1× =0,所以 ∥ , ⊥ .(2)设M(x,y,z),则 =(x,y,z), =(x-1,y,z).易知 =(1,1,1).由 ⊥ ,得 · =0,即x-1+y+z=0.①
因为点M在AC1上,所以设 =μ (0≤μ≤1),得x=μ,y=μ,z=μ.②由①②得μ= ,所以x= ,y= ,z= .所以点M的坐标为 .
利用空间向量的坐标运算求夹角或线段长度的步骤(1)建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标;(2)求出相关向量的坐标;(3)利用向量数量积的坐标公式求两向量的夹角,利用两点之间的距离公式求线段的长度.
典例 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD,H是C1G的中点.(1)求 与 夹角的余弦值;(2)求FH的长.