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数学选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第2课时学案设计
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这是一份数学选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第2课时学案设计，共8页。学案主要包含了空间向量平行的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示，空间向量平行等内容，欢迎下载使用。
导语
同学们，生活中，有非常多的平行与垂直的关系，比如十字路口的斑马线、马路上的两根电线杆、教室里的灯管，阳光下，你和你的影子，任何直棱柱与上、下底面的棱之间的关系等等，而我们今天要研究的是在用平面向量解决平行与垂直的基础上，继续采用类比的方法来研究空间向量的平行与垂直关系.
一、空间向量平行的坐标表示
问题1 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？
提示 a∥b⇔b＝λa⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝λx1，,y2＝λy1，))若x1，y1都不为0时，有eq \f(x2,x1)＝eq \f(y2,y1)＝λ，即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数．
知识梳理
空间向量的平行
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，y2)(a≠0)．
平行：a∥b⇔b＝λa⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝λx1，,y2＝λy1，,z2＝λz1.))
当a的每一个坐标分量都不为零时，
a∥b⇔eq \f(x2,x1)＝eq \f(y2,y1)＝eq \f(z2,z1).
注意点：(1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中a＝0．
(2)若两个向量平行，其中一个向量的分量有的为0时，则相应的另一个向量的分量也一定为0.
例1 已知a＝(2x，1，0)，b＝(－2，3，1－z)，若a与b为共线向量，则x＝____，z＝____.
答案 －eq \f(1,3) 1
解析 ∵a＝(2x，1，0)与b＝(－2，3，1－z)共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,－2)＝\f(1,3)，,1－z＝0，))解得x＝－eq \f(1,3)，z＝1.
反思感悟 空间向量的平行常见的有：平行的判断；利用平行求参数或解其他问题．
解空间向量平行应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练1 (多选)下列每组中两个向量满足平行的是( )
A．(5，0，5)，(0，5，0)
B．(0，0，1)，(0，0，3)
C．(2，3，－1)，(2，3，1)
D．(1，－1，2)，(－2，2，－4)
答案 BD
解析 逐个检验每组中是否满足b＝λa即可．
二、空间向量垂直的坐标表示
问题2 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？
提示 a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔cs 90°＝eq \f(a·b,|a||b|)＝0⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
知识梳理
空间向量的垂直
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0)．
垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
例2 已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)．若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
答案 A
解析 ∵b－c＝(－2，3，1)，
∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2.
反思感悟 空间向量的垂直常见的有：垂直的判断；利用垂直求参数或解其他问题．
解空间向量垂直应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练2 已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，若ka－b与b垂直，k∈R，则k＝____.
答案 7
解析 因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)＝0，
解得k＝7.
三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题
例3 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
(1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解 (1)a－b＝(2，1，－2)．
∵c∥(a－b)，设c＝λ(a－b)，
即c＝λ(2，1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)，
∴|c|＝eq \r(4λ2＋λ2＋4λ2)＝3|λ|＝3，∴λ＝±1，
∴c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2)．
(2)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－eq \f(5,2)，故所求k的值为2或－eq \f(5,2).
反思感悟 平行与垂直的应用
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
(2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练3 已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y)．
(1)若a∥c，求x，y的值；
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不存在，说明理由．
解 (1)因为a＝(1，－2，4)的每一个坐标分量均不为零，
所以a∥c⇔eq \f(2,1)＝eq \f(x,－2)＝eq \f(y,4)⇔x＝－4，y＝8.
(2)因为c⊥a且c⊥b，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c·a＝0，,c·b＝0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－2x＋4y＝0，,4＋x－3y＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝11，,y＝5.))
即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，此时c＝(2，11，5)．
1．知识清单：
(1)空间向量平行的坐标表示．
(2)空间向量垂直的坐标表示．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分量均不为0.
1．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量坐标是( )
A．(2，0，－4) B．(3，6，－12)
C．(1，1，－2) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))
答案 D
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))＝eq \f(1,2)m，∴与m共线的向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1)).
2．已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是( )
A．(0，0，1) B．(－2，1，0)
C．(1，1，2) D．(4，－1，1)
答案 B
解析 (1，2，－1)·(0，0，1)＝－1≠0，(1，2，－1)·(－2，1，0)＝－2＋2＋0＝0，
(1，2，－1)·(1，1，2)＝1＋2－2＝1≠0，(1，2，－1)·(4，－1，1)＝4－2－1＝1≠0，
只有B满足垂直．
3．向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－3 B．1
C．3或1 D．－3或1
答案 D
解析 因为a·b＝2x＋4y＋4＝0，
又|a|＝eq \r(22＋42＋x2)＝eq \r(x2＋20)＝6，
所以联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋4y＋4＝0，,\r(x2＋20)＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝1，))
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
4．已知a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.
答案 eq \f(7,10)
解析 ∵a∥b，
∴a＝tb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋1＝6t，,0＝t2μ－1，,2λ＝2t，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝t＝\f(1,5)，,μ＝\f(1,2)，))
∴λ＋μ＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,10).
课时对点练
1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
答案 D
解析 设b＝(－4，6，－2)，又a＝(2，－3，1)，
所以b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
2．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )
A．eq \f(1,|a|)a＝eq \f(1,|b|)b
B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3
C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．存在非零实数k，使a＝kb
答案 D
解析 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.
3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x等于( )
A．4 B．－4 C．eq \f(1,2) D．－6
答案 B
解析 由已知，得a＋b＝(－2，1，3＋x)．
又(a＋b)⊥c，所以－2－x＋2(3＋x)＝0，
解得x＝－4.
4．向量a＝(1，2，x)，b＝(2，y，－1)，若|a|＝eq \r(5)，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 C
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(12＋22＋x2)＝\r(5)，,2＋2y－x＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1，))∴x＋y＝－1.
5．已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c
C．a⊥b，a∥c D．a⊥b，a⊥c
答案 C
解析 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
6．(多选)同时垂直于a＝(2，2，1)和b＝(4，5，3)的单位向量是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 AC
解析 设同时垂直于a＝(2，2，1)，b＝(4，5，3)的单位向量为e＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e·a＝0，,e·b＝0，,|e|＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0，,x2＋y2＋z2＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2,3)，,z＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，,z＝－\f(2,3)，))
故e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))或e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3))).
7．设向量a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，且a∥b，则a·b的值为_____．
答案 168
解析 因为a∥b，不妨设a＝λb，
又因为a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，
所以(2，2m－3，n＋2)＝λ(4，2m＋1，3n－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ×4，,2m－3＝λ2m＋1，,n＋2＝λ3n－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,m＝\f(7,2)，,n＝6，))
所以a＝(2，4，8)，b＝(4，8，16)，
所以a·b＝2×4＋4×8＋8×16＝168.
8．已知a＝(cs α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cs α)，则向量a＋b与a－b的夹角是_____．
答案 90°
解析 因为a＋b＝(cs α＋sin α，2，sin α＋cs α)，a－b＝(cs α－sin α，0，sin α－cs α)，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°.
9．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值．
解 (1)因为a∥b，所以eq \f(x,－2)＝eq \f(4,y)＝eq \f(1,－1)，且y≠0，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得，a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为cs θ＝eq \f(a＋c·b＋c,|a＋c|·|b＋c|)＝eq \f(5－12＋3,\r(38)×\r(38))＝－eq \f(2,19).
10．已知a＝(1，2，3)，b＝(2，1，2)，c＝(1，1，2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标．
解 因为向量p∥c，所以设p＝λc，
则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2，2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1，2λ－2)，
所以(p－a)·(p－b)＝(λ－1，λ－2，2λ－3)·(λ－2，λ－1，2λ－2)＝2(3λ2－8λ＋5)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))2－eq \f(2,3).
当λ＝eq \f(4,3)时，(p－a)·(p－b)取得最小值，最小值为－eq \f(2,3)，
此时p＝eq \f(4,3)c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
11．已知a＝(sin θ，cs θ，tan θ)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ，sin θ，\f(1,tan θ)))，且a⊥b，则θ为( )
A．－eq \f(π,4) B．eq \f(π,4)
C．2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z) D．kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)
答案 D
解析 因为a⊥b，a＝(sin θ，cs θ，tan θ)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ，sin θ，\f(1,tan θ)))，
所以sin θcs θ＋cs θsin θ＋1＝0，
即sin 2θ＝－1，
所以2θ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
即θ＝－eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z.
12．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，1，4)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，－2，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，2，0)，则( )
A．PA⊥AB B．AP⊥BP
C．BC＝eq \r(53) D．AP∥BC
答案 AC
解析 因为eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，故A正确；eq \(BP,\s\up6(→))＝(3，－3，－3)，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝3＋6－3＝6≠0，故B不正确；eq \(BC,\s\up6(→))＝(6，1，－4)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(62＋12＋－42)＝eq \r(53)，故C正确；eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，－2，1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(6，1，－4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确．
13．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为_____．
答案 4
解析 由题意知a∥b，
所以eq \f(x,1)＝eq \f(x2＋y－2,2)＝eq \f(y,3)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x，①,x2＋y－2＝2x，②))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3.))
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－6))时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3))时，b＝(1，2，3)＝a，
a与b同向，此时x＋y＝4.
14．已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1，2，1)，若向量a⊥b，则xy的最大值为_____．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0，即2＝2x2＋y2.
又2x2＋y2≥2eq \r(2)xy(当且仅当y＝eq \r(2)x时等号成立)，
所以2eq \r(2)xy≤2，
所以xy≤eq \f(\r(2),2)，即xy的最大值为eq \f(\r(2),2).
15．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝______，y＝______.
答案 eq \f(1,2) －4
解析 因为a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，
所以x＝eq \f(1,2)，y＝－4.
16．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值．
解 (1)λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，
当(λa＋b)∥(a－3b)时，存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－2＝7t，,5λ＋3＝－4t，,－λ＋5＝－16t，))解得λ＝－eq \f(1,3).
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝eq \f(106,3).
导语
同学们，生活中，有非常多的平行与垂直的关系，比如十字路口的斑马线、马路上的两根电线杆、教室里的灯管，阳光下，你和你的影子，任何直棱柱与上、下底面的棱之间的关系等等，而我们今天要研究的是在用平面向量解决平行与垂直的基础上，继续采用类比的方法来研究空间向量的平行与垂直关系.
一、空间向量平行的坐标表示
问题1 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？
提示 a∥b⇔b＝λa⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝λx1，,y2＝λy1，))若x1，y1都不为0时，有eq \f(x2,x1)＝eq \f(y2,y1)＝λ，即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数．
知识梳理
空间向量的平行
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，y2)(a≠0)．
平行：a∥b⇔b＝λa⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝λx1，,y2＝λy1，,z2＝λz1.))
当a的每一个坐标分量都不为零时，
a∥b⇔eq \f(x2,x1)＝eq \f(y2,y1)＝eq \f(z2,z1).
注意点：(1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中a＝0．
(2)若两个向量平行，其中一个向量的分量有的为0时，则相应的另一个向量的分量也一定为0.
例1 已知a＝(2x，1，0)，b＝(－2，3，1－z)，若a与b为共线向量，则x＝____，z＝____.
答案 －eq \f(1,3) 1
解析 ∵a＝(2x，1，0)与b＝(－2，3，1－z)共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,－2)＝\f(1,3)，,1－z＝0，))解得x＝－eq \f(1,3)，z＝1.
反思感悟 空间向量的平行常见的有：平行的判断；利用平行求参数或解其他问题．
解空间向量平行应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练1 (多选)下列每组中两个向量满足平行的是( )
A．(5，0，5)，(0，5，0)
B．(0，0，1)，(0，0，3)
C．(2，3，－1)，(2，3，1)
D．(1，－1，2)，(－2，2，－4)
答案 BD
解析 逐个检验每组中是否满足b＝λa即可．
二、空间向量垂直的坐标表示
问题2 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？
提示 a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔cs 90°＝eq \f(a·b,|a||b|)＝0⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
知识梳理
空间向量的垂直
a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0)．
垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
例2 已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)．若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
答案 A
解析 ∵b－c＝(－2，3，1)，
∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，解得x＝－2.
反思感悟 空间向量的垂直常见的有：垂直的判断；利用垂直求参数或解其他问题．
解空间向量垂直应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练2 已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，若ka－b与b垂直，k∈R，则k＝____.
答案 7
解析 因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(12＋22＋32)＝0，
解得k＝7.
三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题
例3 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
(1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
解 (1)a－b＝(2，1，－2)．
∵c∥(a－b)，设c＝λ(a－b)，
即c＝λ(2，1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)，
∴|c|＝eq \r(4λ2＋λ2＋4λ2)＝3|λ|＝3，∴λ＝±1，
∴c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2)．
(2)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－eq \f(5,2)，故所求k的值为2或－eq \f(5,2).
反思感悟 平行与垂直的应用
(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．
(2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的．
跟踪训练3 已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y)．
(1)若a∥c，求x，y的值；
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不存在，说明理由．
解 (1)因为a＝(1，－2，4)的每一个坐标分量均不为零，
所以a∥c⇔eq \f(2,1)＝eq \f(x,－2)＝eq \f(y,4)⇔x＝－4，y＝8.
(2)因为c⊥a且c⊥b，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c·a＝0，,c·b＝0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－2x＋4y＝0，,4＋x－3y＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝11，,y＝5.))
即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，此时c＝(2，11，5)．
1．知识清单：
(1)空间向量平行的坐标表示．
(2)空间向量垂直的坐标表示．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分量均不为0.
1．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量坐标是( )
A．(2，0，－4) B．(3，6，－12)
C．(1，1，－2) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))
答案 D
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))＝eq \f(1,2)m，∴与m共线的向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1)).
2．已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是( )
A．(0，0，1) B．(－2，1，0)
C．(1，1，2) D．(4，－1，1)
答案 B
解析 (1，2，－1)·(0，0，1)＝－1≠0，(1，2，－1)·(－2，1，0)＝－2＋2＋0＝0，
(1，2，－1)·(1，1，2)＝1＋2－2＝1≠0，(1，2，－1)·(4，－1，1)＝4－2－1＝1≠0，
只有B满足垂直．
3．向量a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－3 B．1
C．3或1 D．－3或1
答案 D
解析 因为a·b＝2x＋4y＋4＝0，
又|a|＝eq \r(22＋42＋x2)＝eq \r(x2＋20)＝6，
所以联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋4y＋4＝0，,\r(x2＋20)＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝1，))
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
4．已知a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.
答案 eq \f(7,10)
解析 ∵a∥b，
∴a＝tb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋1＝6t，,0＝t2μ－1，,2λ＝2t，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝t＝\f(1,5)，,μ＝\f(1,2)，))
∴λ＋μ＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,10).
课时对点练
1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
答案 D
解析 设b＝(－4，6，－2)，又a＝(2，－3，1)，
所以b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
2．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )
A．eq \f(1,|a|)a＝eq \f(1,|b|)b
B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3
C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．存在非零实数k，使a＝kb
答案 D
解析 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.
3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x等于( )
A．4 B．－4 C．eq \f(1,2) D．－6
答案 B
解析 由已知，得a＋b＝(－2，1，3＋x)．
又(a＋b)⊥c，所以－2－x＋2(3＋x)＝0，
解得x＝－4.
4．向量a＝(1，2，x)，b＝(2，y，－1)，若|a|＝eq \r(5)，且a⊥b，则x＋y的值为( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案 C
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(12＋22＋x2)＝\r(5)，,2＋2y－x＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1，))∴x＋y＝－1.
5．已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c
C．a⊥b，a∥c D．a⊥b，a⊥c
答案 C
解析 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.
又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
6．(多选)同时垂直于a＝(2，2，1)和b＝(4，5，3)的单位向量是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 AC
解析 设同时垂直于a＝(2，2，1)，b＝(4，5，3)的单位向量为e＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e·a＝0，,e·b＝0，,|e|＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0，,x2＋y2＋z2＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－\f(2,3)，,z＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，,z＝－\f(2,3)，))
故e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))或e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3))).
7．设向量a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，且a∥b，则a·b的值为_____．
答案 168
解析 因为a∥b，不妨设a＝λb，
又因为a＝(2，2m－3，n＋2)，b＝(4，2m＋1，3n－2)，
所以(2，2m－3，n＋2)＝λ(4，2m＋1，3n－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ×4，,2m－3＝λ2m＋1，,n＋2＝λ3n－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,m＝\f(7,2)，,n＝6，))
所以a＝(2，4，8)，b＝(4，8，16)，
所以a·b＝2×4＋4×8＋8×16＝168.
8．已知a＝(cs α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cs α)，则向量a＋b与a－b的夹角是_____．
答案 90°
解析 因为a＋b＝(cs α＋sin α，2，sin α＋cs α)，a－b＝(cs α－sin α，0，sin α－cs α)，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°.
9．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值．
解 (1)因为a∥b，所以eq \f(x,－2)＝eq \f(4,y)＝eq \f(1,－1)，且y≠0，
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得，a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，
因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为cs θ＝eq \f(a＋c·b＋c,|a＋c|·|b＋c|)＝eq \f(5－12＋3,\r(38)×\r(38))＝－eq \f(2,19).
10．已知a＝(1，2，3)，b＝(2，1，2)，c＝(1，1，2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标．
解 因为向量p∥c，所以设p＝λc，
则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2，2λ－3)，p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1，2λ－2)，
所以(p－a)·(p－b)＝(λ－1，λ－2，2λ－3)·(λ－2，λ－1，2λ－2)＝2(3λ2－8λ＋5)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))2－eq \f(2,3).
当λ＝eq \f(4,3)时，(p－a)·(p－b)取得最小值，最小值为－eq \f(2,3)，
此时p＝eq \f(4,3)c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
11．已知a＝(sin θ，cs θ，tan θ)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ，sin θ，\f(1,tan θ)))，且a⊥b，则θ为( )
A．－eq \f(π,4) B．eq \f(π,4)
C．2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z) D．kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)
答案 D
解析 因为a⊥b，a＝(sin θ，cs θ，tan θ)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ，sin θ，\f(1,tan θ)))，
所以sin θcs θ＋cs θsin θ＋1＝0，
即sin 2θ＝－1，
所以2θ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
即θ＝－eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z.
12．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，1，4)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，－2，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，2，0)，则( )
A．PA⊥AB B．AP⊥BP
C．BC＝eq \r(53) D．AP∥BC
答案 AC
解析 因为eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，故A正确；eq \(BP,\s\up6(→))＝(3，－3，－3)，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝3＋6－3＝6≠0，故B不正确；eq \(BC,\s\up6(→))＝(6，1，－4)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(62＋12＋－42)＝eq \r(53)，故C正确；eq \(AP,\s\up6(→))＝(1，－2，1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(6，1，－4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确．
13．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为_____．
答案 4
解析 由题意知a∥b，
所以eq \f(x,1)＝eq \f(x2＋y－2,2)＝eq \f(y,3)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝3x，①,x2＋y－2＝2x，②))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3.))
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－6))时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，
向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3))时，b＝(1，2，3)＝a，
a与b同向，此时x＋y＝4.
14．已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1，2，1)，若向量a⊥b，则xy的最大值为_____．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0，即2＝2x2＋y2.
又2x2＋y2≥2eq \r(2)xy(当且仅当y＝eq \r(2)x时等号成立)，
所以2eq \r(2)xy≤2，
所以xy≤eq \f(\r(2),2)，即xy的最大值为eq \f(\r(2),2).
15．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则x＝______，y＝______.
答案 eq \f(1,2) －4
解析 因为a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，
所以x＝eq \f(1,2)，y＝－4.
16．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值．
解 (1)λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)，
当(λa＋b)∥(a－3b)时，存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－2＝7t，,5λ＋3＝－4t，,－λ＋5＝－16t，))解得λ＝－eq \f(1,3).
(2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0，
所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝eq \f(106,3).
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