高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间中的点、直线与空间向量精品课件ppt

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3.平面的法向量(1)平面的法向量的概念:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.(2)求平面的法向量的步骤:①设平面的一个法向量为n=(x,y,z);②在平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);(可以利用平面上点的坐标来求向量的坐标)③建立方程组 ④解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两个未知量的未知量赋予特殊值(不能取0,赋值时一般尽量保证x,y,z∈Z,这样求得的法向量在后续解题运算中更为简
便),从而得到平面的一个法向量.
设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=或θ=π-.特别地,sin θ=sin,cs θ=|cs|.注意:异面直线所成角的范围为 .
1.三垂线定理　　如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.三垂线定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a⊂α,若a⊥l',则a⊥l.
2.三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.三垂线定理的逆定理可表述为:设l为平面α的一条斜线,l'是l在平面α内的射影,直线a⊂α,若a⊥l,则a⊥l'.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.直线的方向向量是唯一的. (　    )
2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. (　    )
3.若直线l⊥平面α,则l的方向向量一定是平面α的法向量. (　    )
4.若点A,B在平面α上,且 ∥ ,则直线CD与平面α平行. (　    )
题目未说明直线CD在平面α外,所以有两种可能,直线CD在平面α内或与平面α平行.
5.一条直线若垂直于斜线,则它必垂直于斜线在平面内的射影. (　    )
1.利用空间向量证明线线平行(1)基底法:用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过线性运算,证明方向向量共线即可.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量的坐标之间的线性关系进行证明.
2.利用空间向量证明线面平行(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)根据线面平行的判定定理,要证明一条直线和一个平面平行,只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可,需要特别说明的是已知直线不在平面内.
3.利用空间向量证明面面平行(1)证明两个平面的法向量平行.(2)转化为线面平行、线线平行来证明.
典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.求证:(1)MN∥平面A1BD;(2)平面A1BD∥平面CB1D1. 
证明    如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N ,∴ =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = .(1)证法一:设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则 
令x=1,则y=-1,z=-1,∴平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1).∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0,∴ ⊥n.又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.证法二:∵ = = (1,0,1)=  ,∴ ∥ .又MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
(2)设平面CB1D1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则 令y1=1,则x1=-1,z1=1,∴平面CB1D1的一个法向量为m=(-1,1,1).又平面A1BD的一个法向量为n=(1,-1,-1),∴m=-n,∴m∥n,故平面A1BD∥平面CB1D1.
1.利用空间向量证明线线垂直只需证明两直线的方向向量垂直即可.
2.利用空间向量证明线面垂直(1)基底法:先用基底分别表示直线与平面内两条相交直线的方向向量,然后利用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积分别为0得到线线垂直,从而得到线面垂直.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
3.利用空间向量证明面面垂直(1)利用两个平面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.(2)直接求解两个平面的法向量,证明两个平面的法向量垂直,从而得到两个平面垂直.
典例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC. 
证明    证法一:设 =a, =c, =b,连接BD,则 = + = ( + )= ( + )= ( + - )= (-a+b+c).∵ = + =a+b,∴ · = (-a+b+c)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,∴ ⊥ ,即EF⊥AB1.同理可证EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.证法二:设正方体的棱长为2a,建立空间直角坐标系,如图,
 则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).∵ · =-a×0+(-a)×2a+a×2a=0, · =2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,AB1,AC⊂平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
典例2 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 
证明    由题意得BA,BC,BB1两两互相垂直.以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E ,∴ =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,2,1), = .设平面AA1C1C的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则 即 
令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0).设平面AEC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则 即 令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4).∵n·m=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n⊥m,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
利用空间向量求异面直线所成的角(或夹角的余弦值)的方法(1)坐标法:①建立适当的空间直角坐标系,并写出相应点的坐标;②求出两条异面直线的方向向量;③利用公式cs= 求向量夹角的余弦值;④将所求向量夹角的余弦值加上绝对值,得异面直线所成角的余弦值,进而求出异面直线所成角的大小.(2)基底法:在一些不适合建立坐标系的题目中,我们经常用基底法.在由公式cs= 
求向量a,b的夹角时,一般是把a,b用一组基底表示出来,再求有关的量.
典例 直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
1.存在、判断型先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程“是否有解”或“是否有规定范围内的解”的问题.若有解且满足题意,则存在;若有解但不满足题意或无解,则不存在.
2.位置探究型借助向量,引入参数,综合题目信息列关系式,解出参数,从而确定位置.
典例 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D.(1)求证:A1C⊥平面AMN;(2)当AB=2,AD=2,A1A=3时,问:在线段AA1上是否存在一点P,使得C1P∥平面AMN?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由. 
解析    (1)证明:因为CB⊥平面AA1B1B,AM⊂平面AA1B1B,所以CB⊥AM.又因为AM⊥A1B,A1B∩CB=B,所以AM⊥平面A1BC,所以A1C⊥AM.同理可证A1C⊥AN.又AM∩AN=A,所以A1C⊥平面AMN.(2)存在.以C为坐标原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,如图.