高中人教B版 (2019)1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系导学案

这是一份高中人教B版 (2019)1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系导学案，共12页。

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点)
2．掌握空间向量的坐标运算．(重点)
3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点)
4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．
1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．
2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．


一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示．

1．空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．
思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
2．空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(4)|a|＝＝；
(5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．
思考2：若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示]　不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是．
3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
(1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝．
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
4．空间直角坐标系
(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
5．空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同． (　　)
(2)若a·b＝0，则a⊥b． (　　)
(3)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是(0，b，c)．
(　　)
(4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为(a,0，c)．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[提示]　(2)×　a＝0或b＝0时，a与b不垂直．
(3)×　坐标应为(a,0,0)．
2．(教材P19例2改编)已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16,0,4)　　　　　　　 B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
D　[4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．]
3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．
(－1,2,3)　[p＝(－1,2,3)．]
4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是________．
关于x轴对称　[点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]


空间向量的坐标运算
【例1】　(1)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．

①，，；
②，，．
(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝．求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q)．
[解]　(1)①＝＋＝＋＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝．
②＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋＝，
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝．
(2)由于A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．
①p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)；
②3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26．

用坐标表示空间向量的步骤
(1)
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．


1．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求点P的坐标，使
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
[解]　＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∴－＝(6,3，－4)．
(1)＝(－)＝(6,3，－4)＝，
则点P的坐标为．
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵＝(－)＝，
∴
即x＝5，y＝，z＝0，
则点P的坐标为．


空间中点的坐标确定及应用
【例2】　在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度．
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，

故其坐标为．
由F作FM⊥AD于M点、FN⊥DC于N点，由平面几何知FM＝，FN＝，
则F点坐标为．
点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为．
由H作HK⊥CG于K点，由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝．
∴DK＝，故H点坐标为．
GH＝＝．

1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤：



2．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．

[解]　如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
∵N为CD1的中点，
∴N．
∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得
MN＝＝．

空间向量的平行与垂直
[探究问题]
1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？
[提示]　(1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．
(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．
2．空间中三点共线的充要条件是什么？
[提示]　三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是＝＝．
简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为＝λ，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有＝＝．
【例3】　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝．
(1)若|c|＝3，c∥．求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．
[思路探究]　先求a，b，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解．
[解]　(1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1．即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0．
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝2k2＋k－10＝0．解得k＝2或k＝－．
故所求k的值为2或－．

1．(变条件)若将本例(1)中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c．
[解]　a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)．
设c＝(x，y，z)．
由题意得
解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，
即c＝(2，－2,1)或c＝(－2,2，－1)．
2．(变条件)若将本例(2)改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”求k的值．
[解]　∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)．
所以ka－b＝(k＋1，k，－2)，
ka＋2b＝(k－2，k,4)．
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1，k，－2)·(k－2，k,4)＝(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝．
故所求k的值为－2或．

解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．



利用坐标运算解决夹角、距离问题

【例4】　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．

(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
[思路探究]　根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．
[解]　(1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D­xyz，易知E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H．

∵＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C．
(2)由(1)易知＝－(0,1,1)
＝，
＝，
∴||＝，||＝，
·＝×0＋×＋×(－1)＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为．
(3)由(1)知F，H，
∴＝，
．
即FH的长为．

通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.


3．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．

(1)求BN的长；
(2)求与夹角的余弦值．
[解]　如图，以，，为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz．

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝
＝，
∴线段BN的长为．
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3．
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即与夹角的余弦值为．


1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量的模以及两个向量的夹角．
2．几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．

1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则3a＋b为(　　)
A．(－2，－3，－2)　　　 B．(2,3,2)
C．(－2,3,2) D．(4,3,2)
B　[3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)．]
2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　)
A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)
B　[P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．]
3．点P到原点O的距离是(　　)
A． B．1
C． D．
B　[PO＝＝1．]
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．
　[由于ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为两向量互相垂直，则有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝．]
5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
120°　[由于＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
所以·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，||＝，||＝，
所以cos θ＝cos〈，〉＝＝－，
则θ＝120°．]