初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数的图象和性质学案设计

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数的图象和性质学案设计，共61页。学案主要包含了变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3，变式 3-2，变式 3-3等内容，欢迎下载使用。
【沪科版】
【题型 1 二次函数 y= ax2 的图象】
【题型 2 二次函数 y= ax2 的性质】
【题型 3 二次函数 y= ax2 +k 的图象】
【题型 4 二次函数 y= ax2 +k 的性质】
【题型 5 二次函数 y=[a(x - h)]2 的图象】
【题型 6 二次函数 y=[a(x - h)]2 的性质】
【题型 7 二次函数 y=[a(x - h)]2 +k 的图象】
【题型 8 二次函数 y=[a(x - h)]2 +k 的性质】
知识点 二次函数几种特殊形式的图象和性质
1 ． 二次函数的图象和性质
函数形式
顶点坐 标
对称轴
最值
开口、单调性
2 y = ax
（0 ，
0 ）
y 轴
a > 0 ， x = 0 时，
y最小值 = 0 ；a < 0 ，x = 0 时，y最大值 = 0
a > 0 时，抛物线开口
向上；在对称轴 右侧
时，y 随 x 的增大而增
大；
在对称轴左侧时，y 随
x 的增大而减小；
a < 0 时，抛物线开口
y = ax2 + k
（0 ，
k ）
y 轴
a > 0 ， x = 0 时，
y最小值 = k ；a < 0 ，x = 0 时，y最大值 = k
2 ． 二次函数y= ax2 (a ≠0) 的图象的画法
（1）列表：以 x =0 为中心，对称选取 x 值，求出对应的函数值．
（2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
（4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就 越大，故一般在顶点的两侧各取 2~4 个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到 小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线y= ax2 (a ≠0) 的图 象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一 侧．
3 ． 几种二次函数图象间的平移规律
例如：y = 2 (x - 5)2 + 3 的图象是由y = 2x2 的图象先向上平移 3 个单位长度得到y = 2x2 + 3 的
y = a (x - h)2
（h ，
0 ）
x = h
a > 0 ， x = h 时，
y最小值 = 0 ；a < 0 ，x = h 时，y最大值 = 0
向下；
在对称轴左侧时，y 随 x 的增大而增大；
在对称轴侧右时，y 随 x 的增大而减小
y = a (x - h)2 + k
（h ，
k ）
x = h
a > 0 ， x = h 时，
y最小值 = k ；a < 0 ，x = h 时，y最大值 = k
图象，再向右平移 5 个单位长度得到的．反之，由y = 2 (x - 5)2 + 3 的图象先向下平移 3 个单 位长度得到y = 2 (x - 5)2 的图象，再向左平移 5 个单位长度得到y = 2x2 的图象．
【题型 1 二次函数y = ax2 的图象】
【例 1】
（24-25 九年级上·河南周口·期末）
1 ．已知二次函数y1 = a1x2 ，y2 = a2x2 ，y3 = a3x2 ，y4 = a4x2 的图象如图所示，则a1 ，a2 ，
a3 ，a4 的大小关系是( )
A ．a3 < a4 < a1 < a2 B ．a4 < a3 < a1 < a2
C ．a4 < a3 < a2 < a1 D ．a3 < a4 < a2 < a1
【变式 1-1】
（24-25 九年级上·黑龙江绥化·期末）
2 ．已知y = (k + 2)xk2 +k-4 是二次函数，且当x < 0 时，y 随x 的增大而增大．
(1)则k 的值为______；对称轴为______；
(2)已知，点A(1, -1) 在该二次函数图象上，则点A 在该图象上对称点的坐标为______；
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当-2 ≤ x < 4 时，y 的范围为______． 【变式 1-2】
（23-24 九年级上·贵州遵义·阶段练习）
3．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标分别为A(1,1)，B (1,3) ，若抛物线y = ax2 与线段AB 有交点，则 a 的取值范围是
【变式 1-3】
（2025·河北沧州·模拟预测）
4 ．如图，若抛物线y= x2 与直线 3 围成的封闭图形内部有 k 个整点（不包括边界）， 则 k 的值为( )
A ．2 B ．4 C ．5 D ．6
【题型 2 二次函数y = ax2 的性质】 【例 2】
（23-24 九年级上·河南信阳·阶段练习）
5 ．二次函数y = mxm2 -1 ，若在其图象的对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，则下列各点不 在其图象上的是( )
A ． B ． C ．(0,0) D ．(-1, )
【变式 2-1】
（23-24 九年级上·河北·阶段练习）
6 ．当-2 ≤ x ≤ 1 时，函数y = -2x2 的最大值与最小值的和为( )
A ．3 B ．-10 C ．-8 D ．-2
【变式 2-2】
（24-25 九年级上·四川泸州·阶段练习）
7 ．已知y = ax2 的图象上有三点A(-4, y1 ) ，B (1, y2 ) ，C (3, y3 ) ，且y2 < y3 < y1 则 a 的取值范 围是( )
A ．a > 0 B ．a < 0 C ．a ≥ 0 D ．a ≤ 0
【变式 2-3】
（23-24 九年级上·北京海淀·阶段练习）
8 ．已知M(x1, y1 ) ，N (x2, y2 ) 为抛物线y = ax2 (a > 0) 上任意两点，其中0 ≤ x1 < x2 ，若对于
x2 - x1 = 1，都有y2 - y1 ≥ 2 ，则 a 的取值范围是 ．
【题型 3 二次函数y = ax2 + k 的图象】 【例 3】
（2025·上海静安·一模）
9 ．如果一次函数y1 = mx - 6(m ≠ 0) 、y2 = nx - 2(n ≠ 0) 的图象都经过C(1, -3) ，那么函数 y = y1 . y2 的大致图像是( )
A．
B．
C ． D．
10 ．如图，已知 P 是函数 图象上的动点，当点 P 在 x 轴上方时，作 PH⊥x 轴于 点 H，连接 PO ．小华用几何画板软件对 PO，PH 的数量关系进行了探讨，发现 PO-PH 是 个定值，则这个定值为 ．
【变式 3-2】
11．如图，已知抛物线y1 ＝ -x2+1，直线y2 ＝ -x+1，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别 为y1，y2．若y1≠y2 ，取y1，y2 中的较小值记为 M；若y1＝y2，记 M＝y1＝y2．例如：当 x ＝2 时，y1 ＝ -3，y2 ＝ -1，y1＜y2 ，此时 M＝ -3 ．下列判断中：①当x＜0 时，M＝y1 ；②当 x >0 时，M 随 x 的增大而增大；③使得 M 大于 1 的 x 值不存在；④使得 的值是 -
或 ，其中正确的个数有( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【变式 3-3】
（24-25 九年级上·湖南长沙·期中）
12．若正比例函数y = mx ，y 随x 的增大而增大，则它和二次函数y = mx2 + m 的图象大致是 ( )
A ． B ．
C．
D．
【题型 4 二次函数y = ax2 + k 的性质】 【例 4】
（24-25 九年级上·江苏南通·期末）
13．定义：对于函数图象上的两点M(x1, y1 )，N (x2, y2 )(x1 ≠ x2 ) ，将 的值称为该函数 图象在MN 段的“攀登值”，记作kMN ．已知二次函数y = ax2 + 1(a >0) 的图象上有两点
M (x1, y1 )，N (x2, y2 ) ，若对于任意的x1，x2 均满足当x2 > x1 ≥ 1 时，该函数图象在MN 段的“攀 登值”始终有kMN > 2 ，则 a 的取值范围是 ．
【变式 4-1】
（22-23 九年级上·山东威海·期末）
14 ．已知二次函数y = x2 - 4x ，当-1 0 D ．-1< a ≤ 1
【变式 4-2】
15 ．已知二次函数y = ax2 +c(a > 0)，如果当0 ≤ m ≤ x ≤ m + 1 时，p ≤ y ≤ q ，则下列说法正 确的是( )
A ．q - p 有最大值，也有最小值 B ．q - p 有最大值，没有最小值
C ．q - p 没有最大值，有最小值 D ．q - p 没有最大值，也没有最小值
【变式 4-3】
（2025·江苏苏州·二模）
16 ．对于一次函数y = ax + b 以及二次函数y = ax2 + c （其中a 、b 、c 均为常数，且a > 0 ）， 当t ≤ x ≤ t +1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则t 的值为 ．
【题型 5 二次函数y = a (x - h)2 的图象】 【例 5】
（24-25 九年级上·浙江杭州·阶段练习）
17 ．设函数y1 = - (x - m)2 ，y2 = - (x - n)2 ，直线 x = 1 与函数y1 ，y2 的图象分别交于点 A (1, a1 ) ，B (1, a2 ) ，得( )
A ．若1 < m < n ，则 a1 < a2 B ．若m < 1 < n ，则 a1 < a2
C ．若m < n < 1，则 a1 < a2 D ．若m < 1 < n ，则 a1 > a2
【变式 5-1】
（24-25 九年级上·浙江台州·期末）
18．如图，平行于 x 轴的直线与两条抛物线y1 = a(x - h)2 和y2 = b(x -13)2 （ a < b ）相交于点 A ，B ，C，D ．若AB = 8 ，BC = 3 ，CD = 6 ，则 h 的值为 ．
【变式 5-2】
（22-23 九年级上·安徽安庆·阶段练习）
19 ．二次函数y = 2(x -1)2 +1，当 0≤x≤3 时，y 的取值范围为( )
A ．3≤y≤9 B ．1≤y≤9 C ．1≤y≤3 D ．0≤y≤1
【变式 5-3】
20 ．如图，抛物线y＝（x -h）2 与 x 轴只有一个交点 M，且与平行于 x 轴的直线 l 交于 A、
B 两点，若 AB ＝3，则点 M 到直线 l 的距离是( )
A ． B ． C ． D ． 【题型 6 二次函数y = a (x - h)2 的性质】
【例 6】
（2025·浙江宁波·模拟预测）
21．点A(s, t) 在二次函数y = 2(x - m)2 （m 为常数）的图象上，s - m = t ≠ 0 ．当s -1≤ x ≤ s + 2 时，二次函数的最大值与最小值的差为( )
A ． B ． C ．12 D ．
【变式 6-1】
22 ．已知抛物线y＝（x -1）2 经过点 A（n，y1），B（n＋2，y2），若 y1＜y2，则 n 的值可以 为( )
A ． -1 B ． -0.5 C ．0 D ．0.5
【变式 6-2】
（24-25 九年级上·山东德州·阶段练习）
23 ．已知二次函数y = -(x + h)2 （ h 为常数），当2 ≤ x ≤ 5 时，函数的最大值为-1，则h 的值 为 ．
【变式 6-3】
（24-25 八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）
24 ．已知直线x = c 交抛物线y1 = - (x - a )2 于点A(c, m) ，交抛物线y2 = - (x - b)2 于点B(c, n)， 下列结论： ①若 a > b > c ，则 m < n ，②若b > a > c ，则 m < n ，③若 c > b > a ，则 m < n ， ④若a > c > b ，则 m < n ；其中正确的是( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【题型 7 二次函数y = a (x - h)2 + k 的图象】 【例 7】
（2025·广东东莞·二模）
25 ．如图，点 A 是抛物线y= a (x - 3)2 + k 与y 轴的交点，ABⅡx 轴交抛物线另一点于 B， 点 C 为该抛物线的顶点．若 △ABC 为等边三角形，则 a 的值为( )
A ． B ． 、i2 C ． D ．1
【变式 7-1】
（24-25 九年级上·江苏徐州·期中）
26 ．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0, 2) ，点 B 的坐标为(4, 2) ．若抛物线 y = - (x - h)2 + k （ h 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且 则k 的值 为 ．
【变式 7-2】
（24-25 九年级上·河北保定·期末）
27．已知二次函数y = (x - 3a )2 + (a -1) （a 为常数）．当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛 物线系” ．如图，这些分别是当a = -1 ，a = 0 ，a = 1 ，a = 2 时，二次函数的图象，则它们 的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
【变式 7-3】
（2025·陕西汉中·模拟预测）
28 ．已知抛物线y = (x - 2)2 -1 与y 轴交于点D(0, 3) ，其顶点为点 A ，与x 轴交于B, C 两点 （B 在C 的左侧），连接DB, DC ，若在抛物线上存在一点P ，使得S△POC = S△DBC ，则 P 的 坐标是( ).
A ．(2, -1) B ．(0.5,1.25) C ． D ． 【题型 8 二次函数y = a (x - h)2 + k 的性质】
【例 8】
（2025·内蒙古赤峰·一模）
29 ．已知二次函数y= - (x - h)2 + 2 （ h 为常数），当自变量x 的值满足2 ≤ x ≤ 4 的情况下， 与其对应的函数值y 的最大值为-2 ，则 h 的值为( )
A ．0 或 4 B ．2 或 6 C ．0 或 6 D ．2 或 4 【变式 8-1】
（24-25 八年级下·北京·期中）
30 ．已知a < -1 ，点A(a -1, y1 ) 、B (a, y2 ) 、C (1- a, y3 ) 都在函数y = (x -1)2 + 6 的图象上，那 么( )
A ．y1 < y2 < y3 B ．y1 < y3 < y2
C ．y3 < y2 < y1 D ．y2 < y1 < y3
【变式 8-2】
（24-25 九年级上·北京·期中）
31．已知二次函数y = a (x - 2)2 - 2a ，当1 ≤ x ≤ 4 时，函数值y 的最大值为4，则a 的值为 ． 【变式 8-3】
（2025·山东临沂·一模）
32 ．对于一个二次函数y = a (x - m)2 + k(a ≠ 0) 中存在一点P(x¢, y¢ ) ，使得x¢ - m = y ¢ - k ≠ 0 ，
¢
x - m
则称2
为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 y = 2x2 + 3x + 3“开口大小”为 ．
1 ．C
【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向， a 的绝对值越大，开口越 小，根据此规律判断即可．
【详解】解： ∵由图像可知y1 = a1x2 ，y2 = a2x2 开口向上，并且y1 = a1x2 开口小于y2 = a2x2 的 开口，
: a1 > a2 > 0,
∵由图像可知y3 = a3x2 ，y4 = a4x2 开口向下，并且y4 = a4x2 开口小于y3 = a3x2 的开口， : a4 > a3 ,
又a4 < 0，a3 < 0,
: a4 < a3 < 0,
: a4 < a3 < a2 < a1 ，
故选项 A ，B ，D 错误，不符合题意；选项C 正确，符合题意；
故选：C．
2 ．(1) -3 ，y 轴；
(2) (-1, -1)；
(3)画图见解析，-16 < y ≤ 0 ．
【分析】（1）根据二次函数的定义先求出k1 = -3 ，k2 = 2 ，然后由当x < 0 时，y 随x 的增大 而增大，则有k = -3 ，然后根据二次函数的性质即可求解；
（2 ）据二次函数的性质即可求解；
（3 ）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出y 的取值范围；
本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的 关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【详解】（1）解：∵ y = (k + 2)xk2 +k-4 是二次函数， : k2 + k - 4 = 2 ，
解得：k1 = -3 ，k2 = 2 ，
∵当x < 0 时，y 随x 的增大而增大，
: k + 2 < 0 ， : k = -3 ，
y = -x ，
:二次函数解析式为
2
:对称轴为直线x =0 ，即y 轴， 故答案为：-3 ，y 轴；
（2）解：∵点A(1, -1) 在该二次函数图象上，对称轴为直线x =0 ，即y 轴，
:点A 在该图象上对称点的坐标为(-1, -1)， 故答案为：(-1, -1)；
（3）解：列表：
如图，
x
…
-4
-2
-1
0
1
2
4
…
2 y = -x
…
-16
-4
-1
0
-1
-4
-16
…
根据图象可知：当-2 ≤ x < 4 时， : y 的取值范围-16 < y ≤ 0 ，
故答案为：-16 < y ≤ 0 ．
3 ．1 ≤ a ≤ 3
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在 AB 之间，将 A (1,1) ，B (1, 3) 分别带入函数求出 a 的值，抛物线开口向上a > 0 ，a 的绝对值越小，开口越 大，即可得出结果．
【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段 AB 有交点，如下图：
抛物线与线段的交点需要在AB 之间，
当抛物线经过 A 点时，1 = a × 12 ，解得：a = 1 ， 当跑五项经过 B 点时，3 = a × 12 ，解得：a = 3 ，
Q 抛物线开口向上a > 0 ，a 的绝对值越小，开口越大， :1≤ a ≤ 3．
故答案为：1 ≤ a ≤ 3
4 ．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质， 因式分解法解一元二次方程，求函数值等 知识点，运用数形结合思想是解题的关键．
先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的x 的取值范围为
,于是可得x 的整数解为-1 ，0 ，1，根据函数图象分别求出当 x = -1 ，0 ，1时 的整点数，将其相加即可得出k 的值．
解：令 解得：
:抛物线y= x2 与直线 围成的封闭图形（不包括边界）的x 的取值范围为：
:x 的整数解为：-1 ，0 ，1，
当x = -1 时
:满足条件的整点为(-1, 2) 一个点；
当x = 0 时
:满足条件的整点为(0,1) ，(0, 2) 两个点；
当x = 1 时
:满足条件的整点为(1, 2) ，(1, 3) 两个点；
:满足条件的整点共1+ 2 + 2 = 5 个，故k = 5 ，
即：k 的值为5 ， 故选：C ．
5 ．D
【分析】根据二次函数的定义求出 m = ± ,再结合函数图象的对称轴左侧， y 随 x 的增大 而增大，可知m < 0 ，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，y = mxm2 -1 是二次函数， : m2 -1 = 2 ，
解得：m = ± 、/3 ，
Q 函数图象的对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，
:抛物线开口方向向下，
:m < 0 ，
∴m = - ·、 ，即 y = - x2 ，
: 当x=- 1 时，y = - ，故 (-1, ) 不在其图象上， 在其图像上， 当x = 1 时，y = - ，当 x = 0 时，y = 0 ，故 (1, - ) ，(0, 0) 在其图象上， 故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义， 二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是 解答本题的关键．
6 ．C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质， 根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线 开口向下，对称轴为直线x =0 ，即y 轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，
由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键．
【详解】解：由二次函数 y = -2x2 可知，对称轴为直线x =0 ，即y 轴，-2 < 0 ，
:当x =0 时，二次函数y = -2x2 有最大值0 ，
由
-2 - 0 > 1- 0 ，根据距离对称轴越远，函数值越小，
:当x = -2 时，有最小值y = -8 ，
:当-2 ≤ x ≤ 1 时，函数y 的取值范围为-8 ≤ y ≤ 0 ， :最大值与最小值的和为-8 + 0 = -8 ，
故选：C ．
7 ．A
【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键．
根据函数y = ax2 的图象上有三点 A(-4, y1 ) ，B (1, y2 ) ， C (3, y3 ) 得到y1 = 16a, y2 = a, y3 = 9a ，
由y2 < y3 < y1 得a < 9a < 16a ，即可得到答案．
【详解】解：:函数y = ax2 的图象上有三点A(-4, y1 ) ，B (1, y2 ) ，C (3, y3 ) ， :y1 = a × (-4)2 = 16a, y2 = a × 12 = a, y3 = a × 32 = 9a ，
Q y2 < y3 < y1 ，
: a < 9a < 16a ，
: a > 0 ， 故选：A．
8 ．a ≥ 2
【分析】本题考查了二次函数的性质， 由点 M、N 是抛物线上的点得到m = ax12 、n = ax22 ， 然后代入| n - m|≥ 1 ，中，结合x2 - x1 = 1 和0 ≤ x1 < x2 求出 a 的取值范围．根据题意列出关于 a 的不等式是解题的关键．
【详解】解：因为M(x1，y1 )，N (x2，y2 ) 为抛物线y = ax2 (a ≠ 0) 上任意两点， 所以y1 = ax12 、y2 = ax22 ，
代入| y2 - y1 |≥ 2 ，得 ax22 - ax12 ≥ 2 ，
所以 a (x 2 - x1 )(x2 +x1 ) ≥ 2 ， 因为x2 - x1 = 1，
所以
a (x2 + x1 ) ≥ 2 ，
所以 a ( 2x1 +1) ≥ 2 ， 因为0 ≤ x1 < x2 ，
所以2x1 +1 ≥ 1，
所以 且
∵若对于x2 - x1 = 1，都有y2 - y1 ≥ 2 ，
: a ≥ 2 或a ≤ -2 （舍去）， 故答案为：a ≥ 2 ．
9 ．B
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数 y1 = mx - 6(m ≠ 0) 、y2 = nx - 2(n ≠ 0) 的图象都经过C(1, -3) ，求出y1 = 3x - 6 、y2 = -x - 2 ， 求出y = y1 . y2 = -3x2 +12 ，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数y1 = mx - 6(m ≠ 0) 、y2 = nx - 2(n ≠ 0) 的图象都经过C(1, -3) ， :-3 = m - 6 ，-3 = n - 2 ，
解得m = 3 ，n = -1 ，
: y1 = 3x - 6 、y2 = -x - 2 ，
: y = y1 . y2 = (3x - 6)(-x - 2) = -3x2 +12 ，
抛物线y = -3x2 +12 对称轴为y 轴，开口向下，顶点为(0,12) ；
故选：B．
10 ．2
设 则 因点 P 在 x 轴上方，所以 x2-1>0，由勾
股定理求得 ，即可求得 OP-PH=2，得出答案．
解：设 则
当点 P 在 x 轴上方时
在 Rt△OHP 中，由勾股定理，得
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征， 勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的 关键．
11 ．C
【分析】先联立两函数解析式求出交点坐标，再根据 M 的定义结合图形，利用二次函数的 性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由题意得 ， 解得 ，
所以，抛物线与直线的两交点坐标为（0 ，1），（1 ，0），
:当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y1，y2 ．若y1≠y2，取 y1，y2 中的较小值记为 M； 若y1＝y2，记 M＝y1＝y2．
:①当 x＜0 时，由图象可得y1＜y2，故 M＝y1；故此选项正确；
②当 1＞x＞0 时，y1＞y2，M＝y2，直线 y2 ＝ -x+1 中y 随 x 的增大而减小，故 M 随 x 的增 大而减小，此选项错误；
③由图象可得出：M 最大值为 1，故使得 M 大于 1 的 x 值不存在，故此选项正确；
④当 时，即 ，
解得：不合题意舍去）， 当 时，即 ， 解得：
故使得 M＝ 的值是 - 或 ，此选项正确． 故正确的有 3 个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了两函数的交点的求解，二次函数的增减性， 以及二次函数与 x 轴的交点问题，读懂题目信息并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12 ．D
【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出 m > 0 ， 从而得出二次函数y = mx2 + m 的图象开口向上，与y 轴交于正半轴，再判断出正比例函数 与二次函数图象没有交点即可得解．
【详解】解：∵正比例函数y = mx ，y 随x 的增大而增大， : m > 0 ，
:二次函数y = mx2 + m 的图象开口向上，与y 轴交于正半轴，故 A 、C 不符合题意； 联立 得：mx2 - mx + m = 0 ，
则 Δ = (-m)2 - 4m× m = -3m2 < 0 ，
故正比例函数与二次函数图象没有交点，故 D 符合题意；
故选：D．
13 ．a ≥1 ##1≤ a
【分析】本题考查的是新定义的含义，二次函数的性质，根据新定义可得a (x1 + x2 ) > 2 ，可
得 ，再结合 x2 > x1 ≥ 1进一步解答即可．
【详解】解：由题意可得：y2 = ax22 +1 ，y1 = ax12 +1，
∵kMN > 2 ，
: a (x1 + x2 ) > 2 ，
,
∵ x2 > x1 ≥ 1，
而a > 0 ， : a ≥1；
故答案为：a ≥1
14 ．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y 随 x 的增大而减小，据此解答． 【详解】Q y = x2 - 4x 化为顶点式解析式为：y = (x - 2)2 - 4
: 二次函数的对称轴为直线x = 2 ，开口方向向上， :在对称轴的左侧时，y 随 x 的增大而减小，
:x < 2 时，y 随 x 的增大而减小，
Q 当-1 0 ，
: 一次函数上升趋势．
Qm ≥ 0 ．
: q - p 有最小值，没有最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出q - p 的代数值，从 而转化为一次函数的性质．比较综合．
16 ．-1或0
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数y = ax + b （a > 0 ）和二次函数 y = ax2 + c （ a > 0 ） ，我们要比较在x 取值从t 到t + 1 时，它们各
自最大值与最小值的差值情况．一次函数a > 0 时，x 增大y 增大；二次函数y = ax2 + c 图 象是开口向上的抛物线，对称轴是x = 0 ．我们通过分别计算两个函数在x 为t 和t + 1 时的 函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算t 的值．本题考查一次函数和二次函 数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在x 为t 和t + 1 时 的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解t ，同时要根据二 次函数对称轴与t 、t + 1 的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当x = t 时，函数值y1 = at + b ；当 x =t +1时，函数值 y2 = a (t +1) + b = at + a + b ．
∵ a > 0 ，
: y2 > y1 ，那么最大值与最小值的差为：y2 - y1 = (at + a + b) - (at + b) = a ．
二次函数y = ax2 + c （a > 0 ）图象开口向上，对称轴为 x = 0 ．
情况一：当 t +1≤ 0 ，即 t ≤ -1 时 当x = t 时，函数值y3 = at2 + c ；当 x =t +1时，函数值 y4 = a (t +1)2 + c = at2 + 2at + a + c ．
∵ t ≤ -1 ，
:此时y3 > y4 ，最大值与最小值的差为：y3 - y4 = (at2 + c )- (at2 + 2at + a + c ) = -2at - a ． 令-2at - a = a ，
:-2at = 2a ， ∵ a > 0 ，
:解得t = -1 ．
情况二：当t ≥ 0 时 当x = t 时，函数值y5 = at2 + c ；当 x =t +1时，函数值
y6 = a (t +1)2 + c = at2 + 2at + a + c ．
∵ t ≥ 0 ，此时 y6 > y5 ，最大值与最小值的差为：
y6 - y5 = (at2 + 2at + a + c )- (at2 + c ) = 2at + a ． 令2at + a = a ，等式两边同时减a 得到 2at = 0 ，
∵ a > 0 ，解得 t = 0 ．
情况三：当t < 0 < t +1，即 -1< t < 0 时, 当x = 0 时，ymin = c ．
当x = t 时，函数值y7 = at2 + c ；
当x = t +1 时，函数值y8 = a (t +1)2 + c ． 当0 - t < t +1- 0 时，即-2t < 1，
: y8 > y7
此时a (t +1)2 + c - c = a : (t +1)2 = 1，
解得t = 0 （舍去）或 -2 （舍去）， 当0 - t > t +1- 0 时，即-2t > 1，
: y8 < y7
此时at2 + c - c = a
: t = -1（舍去）或 t = 1（舍去） 综上所述，t = -1 或0
故答案为：-1或0
17 ．C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关 键．根据题意分别画出y1 ，y2 的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若1 < m < n ，则 a1 > a2 ，
故 A 选项错误；
如图所示，若m < 1 < n ，则 a1 > a2 或a1 < a2 ，
故 B 、D 选项错误；
如图所示，若m < n < 1，则 a1 < a2 ，
故 C 选项正确；
故选：C．
18 ．6
【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交 AD 于M 、N ，令直 线 AD 交y 轴于 E ， 由题意可得 由EM + CM + BN - BC = EN 求出EM = 6 ，即可得解．
【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交 AD 于M 、N ，令直线 AD 交y 轴于E ，
∵平行于 x 轴的直线与两条抛物线y1 = a(x - h)2 和y2 = b(x -13)2 （ a < b ）相交于点 A ，B，
C，D．
:抛物线y2 = b(x -13)2 的对称轴为直线x =13，即 EN = 13 ， ∵ AB = 8 ，BC = 3 ，CD = 6 ，
∵ EM + CM + BN- BC = EN ，
: EM = 6 ，
:抛物线y1 = a(x - h)2 的对称轴为直线x = 6 ，即 h = 6 ， 故答案为：6 ．
19 ．B
【分析】根据函数 y = 2(x -1)2 +1 得到函数有最小值 1，画出函数的图像，运用数形结合思 想解答即可．
【详解】解：二次函数 y = 2(x -1)2 +1 的图像如图：
所以函数有最小值 1，当 x=0 时，y=3，当 x=3 时，y=9，
当 0≤x≤3 时，x=1 在范围内，故函数值能取到最小值，故 1≤y≤9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质 和数形结合思想是解题的关键．
20 ．B
【分析】根据函数顶点坐标 M 为（h ，0），设点 M 到直线 l 的距离为 a，则有 y＝（x -h）2 =a，求出 A 、B 坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线 y＝（x -h）2 与 x 轴只有一个交点 M，
:函数顶点坐标 M 为（h ，0）， 设点 M 到直线 l 的距离为 a，
则 y＝（x -h）2 ＝a，解得： ，
即 A
解得： ， 故选 B．
【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质； 熟练
掌握相关的知识点是解题的关键．
.
21 ．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质， 掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把 点代入求出 t 的值，即可得到 ，然后根据 m 的取值范围得到最值求差解题即可．
【详解】解：Qs - m = t ， :t = 2t2 ，
解得： 或 t = 0 (舍去)，
:抛物线的对称轴为直线：x = m ， Qs -1≤ x ≤ s + 2 ，
当 有最大值 ，
当x = m 时，y 有最小值， y = 0 ， :函数的最大值与最小值的差为 ， 故选：D．
22 ．D
【分析】由抛物线解析式可得开口向上，对称轴为 x = 1 ，根据函数的性质，分为三种情况 进行讨论，求出n 的范围，即可求解．
【详解】解：由抛物线解析式 y＝（x -1）2 可得开口向上，对称轴为x = 1 ， :当x < 1时， y 随x 的增加而减小，当x > 1 时，y 随x 的增加而增大
当n < n + 2 ≤ 1时，在对称轴左侧， y2 < y1 ，不符合题意，
当1 ≤ n < n + 2 时，在对称轴右侧，y2 > y1 ，符合题意，
当n < 1 < n + 2 时，在对称轴两侧，y2＞y1，可得n 到对称轴的距离小于n + 2 到对称轴的距离， 即1- n < n + 2 -1，解得 n > 0
综上所得：n > 0
由此可得答案为：D
【点睛】此题考查了二次函数在对称轴两侧的增减性，熟练掌握二次函数的有关性质是解题 的关键．
23 ．-1或-6
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值 问题．
先判断出二次函数y = -(x + h)2 的图象开口向下，对称轴为x = -h ，当 x < -h 时，y 随 x 的 增大而增大，当x > -h 时，y 随 x 的增大而减小，然后分-h < 2 ，2 ≤ -h ≤ 5 和-h > 5三种情 况，分别根据二次函数的最值列式求解．
【详解】解：∵二次函数y = -(x + h)2 的图象开口向下，对称轴为x = -h ， :当x < -h 时，y 随 x 的增大而增大，当x > -h 时，y 随 x 的增大而减小，
:若-h < 2 ，即 h > -2 时，则当x = 2 时，函数y 取最大值，即-1= - (2 + h)2 ， 解得：h = -1 或h = -3（舍去），
若2 ≤ -h ≤ 5 ，即-5 ≤ h ≤ -2，则当 x = -h 时，函数y 取最大值 0，不符合题意； 若-h > 5 ，即 h < -5 时，则当x =5 时，函数y 取最大值，即-1= - (5 + h)2 ，
解得：h = -4 （舍去）或 h = -6 ，
综上，h 的值为-1 或-6 ， 故答案为：-1或-6 ．
24 ．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较m, n 的大小关系是解题的关键．由抛物线y1 = - (x - a )2 经过点A(c, m) 可得m = - (c - a )2 ，同理可 得n = - (c - b)2 ，利用因式分解的知识得到 m - n = (a - b)(2c - a - b) ，再利用不等式的性质 逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：Q 抛物线y1 = - (x - a )2 经过点A(c, m) ， :m = - (c - a )2 ，
同理可得：n = - (c - b)2 ，
:m - n = - (c - a )2 + (c - b)2 = (a - b)(2c - a - b) ， 若a > b > c ，则 a - b > 0 ，2c - a - b < 0 ，
:m - n < 0 ，即 m < n ，故①正确；
若b > a > c ，则 a - b < 0 ，2c - a - b < 0 ， :m - n > 0 ，即m > n ，故②不正确；
若c > b > a ，则 a - b < 0 ，2c - a - b > 0 ， :m - n < 0 ，即 m < n ，故③正确；
若a > c > b ，则 a - b> 0 ，而无法判断 2c - -ab 的正负性，故无法判断m 与n 的大小关系， 故④不正确；
:综上所述，其中正确的是①③,有 2 个． 故选：B．
25 ．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质 ．过点 C 作CD 丄 AB 于点 D，根据等边三角形的性质得出AD = 3 ， ，C (3, k) ，A (0, 9a + k) ，将点A 代入抛 物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点 C 作CD 丄 AB 于点 D，
:抛物线y= a (x - 3)2 + k 的对称轴为x = 3 ， △ABC 为等边三角形，且AB Ⅱ x 轴，
: AD = 3 ，CD = 3 ，C (3, k) ．
:当x = 0 时，y = 9a + k ， : A (0, 9a + k) ，
故选：A．
26 ．
【分析】根据题意，可以得到点C 的坐标和h 的值，然后将点C 的坐标代入抛物线的解析式， 即可得到k 的值，本题得以解决．
【详解】解：Q 点A 的坐标为(0, 2) ，点 B 的坐标为(4, 2) ，
: AB = 4 ，
Q 抛物线 、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且
: 设点C 的坐标为(c, 2) ，则点 D 的坐标为(c +2, 2) ，
:抛物线
解得， ．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征， 解答本题的关键是明确 题意，利用二次函数的性质解答．
27 ．
【分析】本题考查二次函数的顶点， 根据y = (x - 3a )2 + (a -1) 得到顶点坐标，再求顶点坐标 满足的函数解析式即可．
【详解】解：∵ y = (x - 3a )2 + (a -1) 顶点坐标为(3a, a -1) ， :设 消去a 得 ，
:它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ， 故答案为
28 ．D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关 键．先分别求出OD = 3 ，OC = 3, BC = 3 -1 = 2 ，结合S△POC = S△DBC ，列式代入数值计算， 即可作答．
【详解】解：依题意，抛物线上存在一点P ， 故连接PC, OP, DC, BD ，如图所示：
∵点D(0, 3) ， : OD = 3，
∵ y = (x - 2)2 -1 与x 轴交于B, C 两点（B 在C 的左侧）， :令y = 0 ，则 0 = (x - 2)2 -1 ，
解得x1 = 1, x2 = 3,
: B (1, 0) , C (3, 0)，
: OC = 3, BC = 3 -1 = 2 ，
∵抛物线上存在一点P ，使得S△POC = S△DBC ，
则3× yP = 2 × 3，
即yP = 2 ，
把yP = 2 代入y = (x - 2)2 -1，得 2 = (x - 2)2 -1， 解得
观察四个选项，唯有(2 - , 2) 符合题意， 故选：D．
29 ．C
【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值．由解析式可知该函数在x =h 时取得最大值 2 ，x > h 时，y 随x 的增大而减小、当x < h 时，y 随x 的增大而增大，根据2 ≤ x ≤ 4 时，函 数的最大值为-2，可分如下两种情况：①若h < 2 ≤ x ≤ 4 ，x = 2 时，y 取得最大值-2； ② 若2 ≤ x ≤ 4 < h ，当 x = 4 时，y 取得最大值-2 ，分别列出关于 h 的方程求解即可．
【详解】解：∵ -1 < 0 ，二次函数 y = - (x - h)2 + 2 关于x =h 对称，在x =h 时取得最大值 2，
: x > h 时，y 随x 的增大而减小、当x < h 时，y 随x 的增大而增大， ①若h < 2 ≤ x ≤ 4 ，当 x =2 时，y 取得最大值-2 ，
可得：- (2 - h)2 + 2 = -2 ，
解得：h = 0 或h = 4 （舍）；
②若2 ≤ x ≤ 4 < h ，当 x = 4 时，y 取得最大值-2 ， 可得：- (4 - h)2 + 2 = -2 ，
解得：h = 6 或h = 2 （舍）． 综上，h 的值为 0 或 6，
故选：C．
30 ．C
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小， 根据a 的范围确定a -1,1- a 的范围，根据二 次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：: y = (x -1)2 + 6 ，
:抛物线的开口向上，对称轴为直线x = 1 ， :当x < 1时， y 随x 的增大而减小，
: a < -1 ，
: a -1< -2 < a ，1- a > 2 ，
: C(1- a, y3 ) 关于x = 1 的对称点为：C ¢ (a +1, y3 )， : a -1< a < a +1< 1 ，
: y3 < y2 < y1 ； 故选 C
31 ．2 或-2
【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解 决问题的关键．
根据二次函数y= a (x - 2)2 - 2a 的对称轴为直线x =2 ，若a < 0 ，当x =2 时，函数y 取得最 大值y = -2a = 4 ，得a = -2 ；若a > 0 ，根据x =1 与x =3 关于对称轴对称，得当x > 2 时，y 随 x 增大而增大，得当x = 4 时，y 取得最大值y = 2a = 4 ，得 a = 2 ．
【详解】∵二次函数y = a (x - 2)2 - 2a ， :对称轴为直线x = 2 ．
:当a < 0 时， 在1 ≤ x ≤ 4 范围内，当x =2 时，函数y 取得最大值y = -2a = 4 ． : a = -2 ；
当 a > 0 时，
∵ x =1 与x =3 关于对称轴对称，当x > 2 时，y 随 x 增大而增大，且2 < 3 < 4 ， :在1 ≤ x ≤ 4 范围内，当x = 4 时，y 取得最大值y = a (4 - 2)2 - 2a = 2a = 4 ． : a = 2 ．
:a 的值为 2 或-2 ．
故答案为：2 或-2 ．
32 ．1
【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的 m 、k 的值，由y¢ = 2x¢2 + 3x¢ + 3 得
¢
x - m
解出x¢ 再代入2
,即可求解．
【详解】解：Q 抛物线 ，m = - ，k = ， Qx¢ - m = y ¢ - k ，y ¢ = 2x¢2 + 3x¢ + 3 ，
解得： 或 Qx¢ - m ≠ 0 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式， 二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练 掌握以上知识是解答本题的关键．