初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数的图象和性质学案设计

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册二次函数的图象和性质学案设计，共61页。学案主要包含了变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。
专题 21.3
二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义） 【沪科版】
【题型 1 二次函数y = ax2 + bx + c 的图象】
【题型 2 二次函数y = ax2 + bx + c 的性质】
【题型 3 二次函数y = ax2 + bx + c 图象与系数的关系】
【题型 4 二次函数y = ax2 + bx + c 图象的平移】 【题型 5 用“一般式”求二次函数解析式】
【题型 6 用“顶点式”求二次函数解析式】
【题型 7 用“交点式”求二次函数解析式】
【题型 8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
知识点 1 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
1 ． 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 转化成顶点式y = a (x - h)2 + k ， 其中 ， ，所以二次函数 y = ax2 + bx + c 图象的对称轴是直线 ， 顶点坐标为
2 ． 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质
符号
a > 0
a < 0
函数图像
3 ． 二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象特征与a，b，c，b2 - 4ac 的符号关系
知识点 2 求二次函数的解析式
开口方向
向上
向下
对称轴
x =
b
2a
顶点坐标
( b 4ac - b2 ö
çè - 2a ， 4a ,÷
增减性
在对称轴右侧时，y 随 x 的增大而增 大；在对称轴左侧时，y 随 x 的增大 而减小
在对称轴左侧时，y 随 x 的增大而增 大；在对称轴右侧时，y 随 x 的增大 而减小
最值 当 时，y最小值
当x = - 时，y最大值 =
代数式（决定因素）
图像特征
符号判定
a（开口方向）
抛物线开口向上
a > 0
抛物线开口向下
a < 0
b（对称轴位置、a 的正负）
对称轴在y 轴右侧，即x = - > 0
a 、b 异号
对称轴在y 轴左侧，即
a 、b 同号
c（抛物线与 y 轴交点位置）
交于原点
c = 0
交于y 轴正半轴
c > 0
交于y 轴负半轴
c < 0
b2 - 4ac （与 x 轴交点个数）
与 x 轴有两个交点
b2 - 4ac > 0
与 x 轴有一个交点
b2 - 4ac = 0
与 x 轴没有交点
b2 - 4ac < 0
1 ． 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程 （组）求得未知数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组 x，y 的值），可设解析式为y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)．
（2）顶点式：
已知抛物线顶点（ h ，k ）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为y= a (x - h)2 + k(a ≠ 0)， 特殊地，若抛物线顶点在原点，则h = k = 0 ，设其解析式为 y= ax2 (a ≠0)．
（3）交点式：
已知抛物线与x 轴的交点坐标为（x1，0 ），（x2 ，0 ），可设解析式为y = a (x - x1 )(x - x2 )(a ≠ 0) ．
2 ． 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式 y= a (x - h)2 + k(a ≠ 0)，再利用“左加右减，上加下减”的 规律进行平移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常 可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式； 二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3 ． 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其 关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于 x 轴对称的抛物线的解析式
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 关于 x 轴对称的抛物线的解析式：y = -ax2 - bx - c ；
y = a (x - h)2 + k(a ≠ 0) 关于 x 轴对称的抛物线的解析式：y = -a (x - h)2 - k ．
（2）关于 y 轴对称的抛物线的解析式
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 关于y 轴对称的抛物线的解析式：y = ax2 - bx + c ；
y = a (x - h)2 + k(a ≠ 0) 关于y 轴对称的抛物线的解析式：y = a (x + h)2 + k ．
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 关于顶点对称的抛物线的解析式： y = a (x - h)2 + k(a ≠ 0) 关于顶点对称的抛物线的解析式：y = -a (x - h)2 + k ．
【题型 1 二次函数y = ax2 + bx + c 的图象】 【例 1】
（2025 九年级下·全国·专题练习）
1 ．如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A 为坐标原点，AB 所在 直线为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为 顶点为P ，且 AD = 2 ，则点C 的坐标为 ．
【变式 1-1】
（24-25 九年级上·北京·期中）
2 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象过点A(0, 3) ，B (2, 3) ，C (-1, 0) ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为(1, 4) ；
②当x ≤ 1时，y 随 x 增大而减小；
③当0 < x < 3 时，y 的取值范围为0 < y < 4 ；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为 6．
x
…
…
y
…
…
【变式 1-2】
（2024·辽宁大连·三模）
3 ．如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），其顶点 P 在线段 MN 上移动．若点 M、N 的坐标分别为(-1, -2) 、(1, -2)，点 B 的横坐标的最大值为 3，则点 A 的横坐标的最小值为 ．
【变式 1-3】
（2025·安徽六安·三模）
4 ．如图，抛物线y = -x2 - 2x + 2m （m 为常数）与 x 轴交于点A，B ，与 y 轴负半轴交于点 C，若当 x =n 时，y > 0 ，那么关于 x 的一次函数y = mx + n + 2 的图象可能是( )
C．
B．
D．
A．
【题型 2 二次函数y = ax2 + bx + c 的性质】 【例 2】
（24-25 九年级下·陕西西安·期中）
5 ．已知二次函数y = ax2 + 2ax + a - 3(a > 1) 的图象经过四个象限，则a 的值可以是( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
【变式 2-1】
（2025·浙江舟山·三模）
6 ．已知点P(m, n)在二次函数y = x2 + 2x - 3 的图象上，且点P 到y 轴的距离小于2 ，则n 的 取值范围是( )
A ．-3 < n < 5 B ．-3 ≤ n < 5 C ．-4 < n < 5 D ．-4 ≤ n < 5
【变式 2-2】
（24-25 九年级下·安徽池州·期中）
7 ．抛物线y = ax2 + bx - 2 经过点A(2a, -2), B (4a, y1 ), C (x2, y2 )．
（1）若 a = 1，则该抛物线的对称轴是直线 x = ．
（2）若对于3a ≤ x2 ≤ 3 + a ，都有 y1 < y2 ，则a 的取值范围是 ．
【变式 2-3】
（2025·陕西咸阳·模拟预测）
8 ．已知抛物线y = ax2 - 2ax + 3 （a 为常数，且a > 0 ）经过点 A(-2, m) 和点B(t, n) ，若 m < n ，则 t 的值可能是( )
A ．-1 B ．-4 C ．1 D ．4
【题型 3 二次函数y = ax2 + bx + c 图象与系数的关系】 【例 3】
（24-25 九年级上·青海西宁·期中）
9 ．二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的部分图象如图所示，已知图象过点(-1, 0) ，对称轴为直 线x = 2 ，下列结论：① abc > 0 ；②4a + b = 0 ；③5a + c = 0 ；④当x > -1 时，y 的值随 x 值的增大而增大；⑤4a + 2b > am2 + bm 其中正确的结论有（ ）个．
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
【变式 3-1】
（2025·贵州遵义·模拟预测）
10 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c ，其对称轴为 ．现有以下五个结论：① abc > 0 ；
其中正确的是________．
A ．①②③④⑤ B ．①③④⑤ C ．②③④ D ．①②⑤
【变式 3-2】
（22-23 九年级下·江苏南京·阶段练习）
11 ．函数y1 ，y2 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函
数y = y1 + y2 的图像可能是( )
A．
C．
D．
【变式 3-3】
B．
（2025·江西新余·模拟预测）
12 ．如图，已知二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，其对称轴为直线x = 1 ，以 下 4 个结论：① abc < 0 ；②4a + 2b + c > 0 ；③若点A(m, n)在该抛物线上，且m > 1，则 am + a + b < 0 ；④ 3a + c > 0 ．其中正确结论有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【题型 4 二次函数y = ax2 + bx + c 图象的平移】
【例 4】
（2025·辽宁大连·模拟预测）
13 ．如图，将抛物线C1 : y = - (x +1)2 + 2 平移到抛物线C2 : y = - (x - 2)2 -1 ，点P(m, n1 ) ， Q (m, n2 ) 分别在抛物线C1 ，C2 上．下列结论：①无论m 取何值，都有n2 < 0 ；②若点P 平 移后的对应点为P¢ , 则PP¢ = 3 ；③当-3 < m < 1时，线段PQ 的长随着m 的增大而减小．其 中正确的结论为( )
A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③
【变式 4-1】
（24-25 九年级下·安徽安庆·阶段练习）
14 ．二次函数y = (x +1)(x - 3) 向上平移 5 个单位，向右平移 3 个单位后抛物线的对称轴为 直线 ．
【变式 4-2】
（2025·福建龙岩·二模）
15 ．已知二次函数y = -x2 - 4x + 3 ，将其图象向右平移k(k > 0) 个单位，得到新的二次函数 y1 的图象，使得当-1 < x < 3 时，y1 随x 增大而增大；当4 < x < 5 时，y1 随x 增大而减小．则 实数k 的取值可以是( )
A ．4.5 B ．5.5 C ．6.5 D ．7.5
【变式 4-3】
（2025·安徽亳州·三模）
16 ．已知抛物线L1 : y = -x2 + 2x ，将抛物线L1 向右平移 1 个单位长度，再向上平移c(c >0)
个单位长度，得到抛物线L2 : y = -x2 + bx ．
（1）b 的值为 ；
（2）点A(x1,m)，B (x2,n ) 分别在抛物线L1 和L2 上(0 ≤ x1 < x2, m < n), ，过点 A 作y 轴的垂线，
过点 B 作 x 轴的垂线，两条垂线交于点C ．若BC = 3AC ，则x2 - x1 的值为 ．
【题型 5 用“一般式”求二次函数解析式】
【例 5】
（24-25 九年级上·北京海淀·期中）
17 ．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标y 的对应值如表所示：
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当-1 < x < 3 时，y 的取值范围为______．
【变式 5-1】
（24-25 九年级上·江苏南通·阶段练习）
18 ．已知一个二次函数的图象过(-1, 6) ，(1, 0) ，(3,10) 三点．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
-1
0
3
8
…
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次 函数解析式．
【变式 5-2】
（22-23 九年级上·广西河池·期末）
19 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c 的图象经过点A(3, -4) ，C (0, 2) 和B(2, 2) ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求出函数y 随自变量的增大而减小的 x 的取值范围；
(3)如图，该二次函数图象的顶点为 M，与y 轴相交于 C，连接MC 、MA 、AC ．求S△AMC ．
【变式 5-3】
（24-25 九年级上·吉林白城·阶段练习）
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = x2 + bx + c 的图象经过点A(0,-3) ，点B(1,0) ．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)当-2 ≤ x ≤ 2 时，求二次函数y = x2 + bx + c 的最大值和最小值．
(3)点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点 P 作PQ Ⅱ x 轴，点Q 的横坐标为
-m +1 ．已知点P 与点Q 不重合．
①当线段PQ 的长度随m 的增大而减小时，m 的取值范围为________．
@当PQ ≤ 5 ，线段PQ 与二次函数 的图象有 1 个交点时，直接 写出m 的取值范围．
【题型 6 用“顶点式”求二次函数解析式】
【例 6】
（2025·河南商丘·二模）
21．如图，抛物线过点C(0, 2) ，与x 轴交于点A 、B ，抛物线顶点坐标为(-4,6) ，矩形GFED 的边EF 在线段AB 上（点F 在点E 的左侧），点G ，D 在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
求证：直线 与该抛物线没有交点；
(3)设E(a,0)，矩形 DEFG 的周长为m ，写出 m 与a 的函数关系式，并求m 的最大值； 【变式 6-1】
（23-24 九年级上·吉林·期中）
22 ．已知二次函数图象的顶点为P(1, -4)，且与x 轴的一个交点坐标是A(3,0) ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象上有两点(2, y1 ) 、(3, y2 ) ，直接写出函数值 y1 、y2 的大小关系． 【变式 6-2】
（2025·新疆喀什·模拟预测）
23．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以 看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x 米，距地面的竖直高
度为y 米，现测得x 与y 的几组对应数据如下：
小华根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小 华的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出y 关于x 的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5 米处修建一 个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为
___________米．（结果精确到 0.1 米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【变式 6-3】
（2025·河南周口·二模）
24．如图，抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C(0,3)，顶点坐标为(1, 4) ，点D(m, n) 是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
水平距离x / m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y / m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…
① 求n 的取值范围；
② 若 S△ABC = S△ABD ，直接写出 m 的值．
【题型 7 用“交点式”求二次函数解析式】
【例 7】
（24-25 九年级上·广东江门·阶段练习）
25 ．已知关于x 的二次函数的图象与x 轴交于两点(-1, 0), (3, 0) 两点，且图象过点(0, 3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
【变式 7-1】
（24-25 九年级上·四川南充·期末）
26 ．已知二次函数的图象与经过(1, 0) ，(-3, 0) ，(0, -3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)指出它的对称轴和最值． 【变式 7-2】
（24-25 九年级上·福建莆田·期中）
27 ．如图，已知抛物线y = ax2 + bx - 4 与 x 轴分别交于点A(2, 0), B (-4, 0) ，与 y 轴交于点 C， 点 Q 是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点 Q 在直线BC 下方的抛物线上，过点 Q 作QD 丄 x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，作 QF 丄 BC 于点 F，当 BE = 2EF 时，求点 Q 的坐标．
【变式 7-3】
（2025·河北石家庄·一模）
28 ．如图 1 和图 2 ，抛物线 与 x 轴交于 A ，B 两点，抛物线
与 x 轴交于点C(-10, 0) 和点M(m, 0)，其中m > -10 ．抛物线L1 ，L2 与y 轴分别交于点 P ，N．
(1)求 A ，B 两点的坐标；
(2)如图 1，当点 P、N 重合时，求抛物线L2 的表达式及其顶点坐标；
(3)如图 2，连接MN ，若抛物线L1 的顶点落在由线段MN 及抛物线L2 围成的封闭图形内部
（不含边界），求 m 的取值范围．
【题型 8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】 【例 8】
（24-25 九年级上·甘肃庆阳·期中）
29 ．定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线” ．例如：
y1 = (x -1)2 - 2 的“同轴对称抛物线”为y2 = -(x -1)2 + 2 ．
(1)抛物线y1 = (x -1)2 - 2 的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”y2 = -(x -1)2 + 2 的顶点坐标
为 ；
(2)求抛物线y = -2x2 + 4x + 3 的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中，B 是抛物线L : y = ax2 - 4ax + 1(a >0) 上一点，点B 的横坐标 为 1，过点 B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点 B ，C 关于 抛物线对称轴对称的点B¢ , C¢ . 依次连接点B ，B¢ , C¢ , C ．当四边形BB¢C ¢C 为正方形 时，求a 的值．
【变式 8-1】
30 ．当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线，如果 抛物线C1 : y = x2 - 2x 与抛物线C2 关于直线x = -1 的对称曲线，那么抛物线C2 的表达式
为 ．
【变式 8-2】
（2024·江苏扬州·模拟预测）
31 ．把二次函数y= ax2 + bx + c(a＜0) 的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式 为y = -a (x -1)2 + 4a ，若(m -1)a + b + c ≤ 0 ，则 m 最小值是 ．
【变式 8-3】
（23-24 九年级上·四川绵阳·期中）
32．如图，将抛物线 沿x 轴对称后，向右平移3 个单位长度，再向下平移5 个单位长度，得到抛物线C2 ，若抛物线C1 的顶点为A ，点 P 是抛物线C2 上一点，则 △POA 的面积的最小值为
1 ．(8, 2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和抛物线的对称性求解．
【详解】由题意得：D (0, 2) ， 设C(x, y)，
抛物线的对称轴为：直线 在矩形ABCD 中，AD = BC ，
: C 、D 关于x = 4 对称， x + 0 = 2 × 4 ，y = 2 ，
解得x = 8 ，
:C(8, 2) ．
故答案为：(8, 2)．
2 ．(1) y = -x2 + 2x + 3
(2)见解答
(3)①④
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数 的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式；
（2）取点描点连线绘制函数图象即可；
（3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：
解得： ，
则抛物线的表达式为：y = -x2 + 2x + 3 ；
（2）解：取点补全表格为：
如图，
（3）解：① a = -1 ，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为(1, 4) ，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线x =1 ，则当x ≤ 1时，y 随 x 增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当0 < x < 3 时，y 的取值范围为0 < y ≤ 4 ，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积 故④正确，符合题意； 故答案为：①④.
3 ．-3
【分析】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的 图象对称轴的特点，此题难度一般．根据顶点P 在线段MN 上移动，又知点M 、N 的坐标 分别为(-1, -2) 、(1, -2) ，分别求出对称轴过点 M和N时的情况，即可判断出A 点坐标的最 小值．
【详解】解：根据题意知，点 B 的横坐标的最大值为 3， 即可知当对称轴过N点时，点A 的横坐标最大，
此时的A 点坐标为(-1, 0) ，
当可知当对称轴过M 点时，点A 的横坐标最小，此时的B 点坐标为(1, 0) ， 此时A 点的坐标最小为(-3, 0) ，
故点A 的横坐标的最小值为-3 ， 故答案为：-3 ．
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
4 ．C
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是 解题的关键．
根据题意分析出m 的正负，然后根据当x =n 时，y > 0 ，求出 n + 2 的正负，即可得出答案．
【详解】解：由二次函数图像可知 a < 0，c = 2m < 0 ，对称轴 : m < 0 ，
:抛物线y = -x2 - 2x + 2m （m 为常数）与 x 轴交于点A，B ，
:点 B 的横坐标大于-1，小于 0； :点A，B 关于x = -1 对称，
:点A 的横坐标大于-2，小于-1．
:当x =n 时，y > 0 ， :-2 < n < -1 ．
即 n + 2 > 0 ．
:一次函数y = mx + n + 2 图像经过一、二、四象限．
:C 符合题意．．
故选 C．
5 ．A
【分析】求出二次函数 y = ax2 + 2ax + a - 3(a > 1) 的顶点坐标为(-1, -3) ，对称轴为 x = -1 ， 与y 轴的交点坐标为(0, a - 3)，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则 a - 3 < 0 ，结 合a > 1 可得1 < a < 3 ，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合 是解题的关键．
【详解】解：y = ax2 + 2ax + a - 3 = a(x + 1)2 - 3 ， : a > 0 ，
:开口向上，
顶点坐标为(-1, -3) ，对称轴为 x = -1 ，与 y 轴交点为(0, a - 3)， :二次函数y = ax2 + 2ax + a - 3(a > 1) 的图象经过四个象限，
: a - 3 < 0 ，
解得a < 3 ， 又∵ a > 1 :1 < a < 3 ，
: a 的值可以是 2． 故选：A
6 ．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质， 根据点P(m, n)在二次函数y = x2 + 2x - 3 的图象上，可得：n = (m +1)2 - 4 ，根据点P 到y 轴的距离小于2 ，可得：-2 < m < 2 ，根据 平方的非负性可得：-4 ≤ (m +1)2 - 4 < 5 ，从而可得 n 的取值范围．
【详解】解：Q 点P(m, n)在二次函数y = x2 + 2x - 3 的图象上，
:n = m2 + 2m - 3 = (m +1)2 - 4 ， Q 点P 到y 轴的距离小于2 ，
:-2 < m < 2 ，
:-1< m +1< 3 ，
:0 ≤ (m +1)2 < 9 ，
:-4 ≤ (m +1)2 - 4 < 5 ， :-4 ≤ n < 5 ．
故选：D．
7 ． 1 a < -1
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征， 采用分 类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可知抛物线过点(0, -2) ，A(2, -2) ，利用抛物线的对称性即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴是直线x = a ，再分两种情况：当 a > 0 时；当a < 0 时；分别结 合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当 x = 0 时，y = ax2 + bx - 2 = -2 ，
若a = 1，则抛物线过点(0, -2) ，A(2, -2) ，
:该抛物线的对称轴是直线 ， 故答案为：1；
（2）Q抛物线y = ax2 + bx - 2 经过点A(2a, -2) ，B(4a, y1 ) ，C(x2 ，y2 ) ，
:-2 = 4a3 + 2ab - 2 ，
:b = -2a2 ，
:抛物线的对称轴为直线x = a ，
①当a > 0 时，此时抛物线开口向上， 当x > a 时，y 随着x 的增大而增大，
Q对于x = 4a ，3a ≤ x2 ≤ 3 + a ，都有 y1 < y2 ，
:4a < 3a ，
:a < 0 ，不合题意，舍去；
②当a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为直线x = a ，
:B(4a, y1 ) 关于对称轴的对称点为(-2a, y1 ) ，
Q对于x1 = 4a ，3a ≤ x2 ≤ 3 + a ，都有 y1 < y2 ，
:3+ a < -2a ，
解得a < -1 ，
综上，当a < -1 时，都有y1 < y2 ．
故答案为：a < -1 ．
8 ．B
【分析】本题考查抛物线的性质，比较自变量大小，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴为直线x =1 ，根据 a > 0 ，则当 x < 1时，y 随 x 增大而减小，当x > 1 时，y 随 x 增大而增大 ，分两种情况：当t < 1 时 ， 当t > 1时，依据m < n ，求出 t 的范围， 即可求解．
【详解】解：: y = ax2 - 2ax + 3 = a (x -1)2 - a + 3 ，
:抛物线的对称轴为直线x = 1 ， : a > 0 ，
:当x < 1时，y 随 x 增大而减小，当x > 1 时，y 随 x 增大而增大 ，
当 t < 1 时 ， ∵ m < n ， : t < -2 ，
当t > 1时 ， ∵ m < n ，
: 1- (-2) < t -1 : t > 4 ，
: t < -2 或t > 4 ，
: t 的值可能是-4 ．
故选：B．
9 ．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与y 轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当 x = -1 时，函数值为 0，即有 a - b + c =0 ，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在 x =2 时 取得最大值，对任意的实数 m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤ .
【详解】解：∵抛物线开口向下， : a < 0 ，
∵抛物线的对称轴为直线x = 2 ，
: b = -4a ，b > 0 ，
即4a + b = 0 ，故②正确；
∵抛物线与y 轴交于坐标轴正半轴， : c > 0 ，
: abc < 0 ，故①错误；
当x = -1 时，函数值为 0，即有 a - b + c = 0 ， ∵ b = -4a ，
: a + 4a + c = 0 ，即5a + c = 0 ，故③正确；
观察图象知，当x > -1 时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误；
∵函数在x =2 时取得最大值4a + 2b + c ，
:对任意的实数 m，都有 4a + 2b + c ≥ am2 + bm + c ， 即4a + 2b ≥ am2 + bm ，故⑤错误；
故选：B．
10 ．B
【分析】根据抛物线的对称性， 抛物线与 x 轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增 减性，最值等解答即可.
【详解】解：∵二次函数y = ax2 + bx + c 开口向上， : a>0 ，
∵抛物线y = ax2 + bx + c 的图象与y 轴的交点在负半轴上， : c 0 ,
故①正确；
∵ a>0 ，c 0 ，b1 < 0 ，c1 < 0 ，a2 < 0 ，b2 > 0 ，c2 > 0 ， c2 > c1 ， : c1 + c2 > 0 ，
:函数y1 的图像开口大于函数y2 的图像开口，
: a1 < a2 ，
: a1 + a2 < 0 ，
: b2 < -b1 ，
: b1 + b2 < 0 ，
b + b
:- > 0 ，
∵ y = y1 + y2 = (a1 + a2 )x2 + (b1 + b2 )x + (c1 + c2 )，
:函数y = y1 + y2 的图像是抛物线，开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的 正半轴上，
A ．图像开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，故此选项符合 题意；
B ．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C ．图像对称轴在y 轴的左侧，故此选项不符合题意；
D ．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质， 不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题 的关键．注意：二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的 a 越大，图像开口越小．
12 ．C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键．
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y 轴的交点坐标即可求出①；令 x =2 即可判 断②；利用 x =1 时函数值最大，即可判断③；令 x =3 即可判断④ .
【详解】①由图象可知：a < 0 ，c > 0
:b>0
:abc 0 ，对称轴为直线 x = 1 ， :当x = 2 时，y > 0 ，
: 4a + 2b + c > 0 ，故②正确；
③当x =1 时，y 的值最大，此时，y = a + b + c ，
而当x = m 时，y = am2 + bm + c ， : a + b + c > am2 + bm + c ，
: am2 - a + bm - b < 0 ，
: a (m -1)(m +1) + b(m -1) < 0 ，即 (m -1)(am + a + b) < 0 ， ∵ m > 1，
: m -1 > 0 ，
: am + a + b < 0 ，故③正确；
④当x = -1 时，y < 0 ，对称轴为直线
:b = -2a
:当x = 3 时，y < 0 ，
: 9a + 3b + c < 0 ，
: 3a + c < 0 ，故④错误；
故选：C．
13 ．A
【分析】本题考查了二次函数的性质， 二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐 标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
求得抛物线C2 的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线C1 : y = - (x +1)2 + 2 向 右平移 3 个单位，向下平移 3 个单位得到抛物线C2 : y = - (x - 2)2 -1 ，即可求得P 平移后的 对应点为P¢ 的最短路程为 即可判断②对；由
PQ = - ( m +1)2 + 2 + (m - 2)2 -1 = -6m + 6 可知当-3 < m < 1 时，PQ = -6m + 6 ，根据一次函数 的性质即可判断③对．
【详解】解：Q抛物线C2 : y = - (x - 2)2 -1 开口向下，顶点为(2, -1) ，
:无论m 取何值，都有n2 < 0 ，故①对；
Q将抛物线C1 : y = - (x +1)2 + 2 的顶点为(-1，2)，抛物线C2 : y = - (x - 2)2 -1 开口向下，顶点 为(2，-1) ，
:将抛物线C1 : y = - (x +1)2 + 2 向右平移 3 个单位，向下平移 3 个单位得到抛物线
C2 : y = - (x - 2)2 -1 ，
: 点P 平移后的对应点为P¢ 的最短路程为 故②对；
Q PQ = - ( m +1)2 + 2 + (m - 2)2 -1 = -6m + 6 ，当 -3 < m < 1 时，PQ = -6m + 6 ，PQ 随着m 的 增大而减小，
: 当-3 < m < 1 时，随着m 的增大，线段PQ 变短，故③对． 故选：A．
14 ．x = 4
【分析】本题主要考查二次函数的平移， 熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将二次函 数化为顶点式，再根据平移的特点得到平移后的函数解析式，即可得到答案．
【详解】解：y = (x +1)(x - 3) = x2 - 2x - 3 = (x -1)2 - 4 ，
上平移 5 个单位，向右平移 3 个单位后抛物线为：y = (x -1- 3)2 - 4 + 5 = (x - 4)2 +1， 故对称轴为直线x = 4 ．
故答案为：x = 4 ．
15 ．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减 ”的 平移法则及二次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减 ”的平移法则，表示出平移后的 函数解析式，再根据题意得出关于k 的不等式，据此可解决问题．
【详解】解： : y = -x2 - 4x + 3 = - (x + 2)2 + 7 ， : y1 = - (x + 2 - k)2 + 7 = - x - (k - 2)2 + 7 ，
:-1 < x < 3 时，y1 随x 增大而增大；当4 < x < 5 时，y1 随x 增大而减小，
: 3 < k - 2 < 4 ， : 5 < k < 6 ，
: k = 5.5 ， 故选：B．
16 ． 4 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由 L1 : y = -(x -1)2 +1 得顶点为(1,1) ，它向右平移 1 个单位长度，再向上平移c(c >0) 个 单位长度后的顶点为(2,1+ c) ，即抛物线 L2 : y = -(x - 2)2 +1+ c ．则可求得 b 的值；
（2）由（1）得 c 的值；由题意知，抛物线L1 : y = -(x -1)2 +1 向右平移 1 个单位长度，再向 上平移3 个单位长度，得到抛物线L2 : y = -x2 + 4x ，因而当点 A 右平移 1 个单位长度到点
C，再向上平移 3 个单位长度到点 B，则 BC = 3AC ，故 AC = 1 ，即 x2 - x1 = 1．
【详解】解：（1）∵ y = -x2 + 2x = -(x -1)2 +1， :抛物线的顶点为(1,1) ，
:它向右平移 1 个单位长度，再向上平移c(c >0) 个单位长度后的顶点为(2,1+ c) ， 即抛物线L2 : y = -(x - 2)2 +1+ c ．
即y = -(x - 2)2 +1+ c = -x2 + 4x - 3+ c ， : b = 4 ；
故答案为：4；
（2）由（1）知，-3 + c = 0 ， 即c = 3；
也即抛物线L1 : y = -x2 + 2x 向右平移 1 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，得到抛物线
L2 : y = -x2 + 4x ，
:点A 右平移 1 个单位长度到点 C，再向上平移 3 个单位长度到点 B，则 BC = 3AC ， : AC = 1 ；
∵ A(x1,m)， : C(x2, m)
即x2 - x1 = 1．
故答案为：1．
17 ．(1) y = x2 - 4x + 3
(2)图象见详解
(3)-1≤ y < 8
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关 键；
（1）根据表格代值进行求解即可；
（2）根据描点、连线可进行求解；
（3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，由表格可得：
解得：
:该二次函数的解析式为y = x2 - 4x + 3 ；
（2）解：由题意可得函数图象如下：
（3）解：当 x = -1 时，y = (-1)2 - 4× (-1)+ 3 = 8 ， 当x = 3 时，y = 32 - 4× 3 + 3 = 0 ，
当x =2 时，函数有最小值，最小值为：y = -1， :当-1 < x < 3 时，y 的取值范围为-1≤ y < 8 ；
故答案为：-1≤ y < 8 ．
18 ．(1) y = 2x2 - 3x +1
(2)向左平移个单位，再向上平移 个单位得到y = 2x2
【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式和二次函数的平移，解题的关键是掌握 以上知识点．
（1）设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，将三个点代入求得 a 、b 、c，即可解得；
（2）首先将 y = 2x2 - 3x +1 配方成 然后根据二次函数的平移规律求解即
可．
【详解】（1）设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ， 根据题意得
解得 : y = 2x2 - 3x +1 ；
:顶点坐标为
:抛物线y = 2x2 - 3x +1 向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到y = 2x2 ，顶点坐标为 原点．
19 ．(1) y = -2x2 + 4x + 2
(2)当x > 1 时，y 随 x 的增大而减小 (3)6
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求二次函数的开口方向和顶点坐标、利用二次函数的 增减性可求得答案；
（3）如图所示，过点 A 作AD 丄 y 轴于 D，过点 M 作MN ^ AD 于 N，求出D(0, -4)， N (1, -4) ，然后根据S△AMC = S梯形MCDN + S△AMN - S△ACD 求得即可．
【详解】（1）:二次函数y = ax2 + bx + c 的图象经过点A(3, -4) ，C (0, 2) 和B(2, 2)
:解得：
:二次函数的解析式为y = -2x2 + 4x + 2 ；
（2）由（1）可知抛物线解析式为 y = -2x2 + 4x + 2 = -2(x -1)2 + 4 :抛物线开口向下，对称轴为x = 1
:当x > 1 时，y 随 x 的增大而减小；
（3）如图所示，过点 A 作AD 丄 y 轴于 D，过点 M 作MN ^ AD 于 N，
: y = -2x2 + 4x + 2 = -2(x -1)2 + 4 : M (1, 4) ，
: A(3, -4) ，C (0, 2)
: D (0, -4) ，N (1, -4)
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式， 二次函数的性质，坐标与图 形，解题的关键是掌握以上知识点．
20 ．(1) y = x2 + 2x - 3
(2)最大值5 ，最小值 -4
②-1≤ m < 或-3 ≤ m ≤ -
【分析】本题考查二次函数的综合应用， 解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析 式配方，通过数形结合的方法求解．
（1）根据待定系数法求解即可得解；
（2）由 y = x2 + 2x - 3 = (x +1)2 - 4 ，当 x = -1 时，y 取最小值为-4 ，根据
2 - (-1) > -1- (-2) ，得当 x = 2 时，y 取最大值22 + 2 × 2 - 3 = 5 ．
（3）①根据PQ = 2m -1 求出m 取值范围，②通过数形结合求解． 【详解】（1）解：将点 A(0, -3) ，点B(1,0) 代入y = x2 + bx + c
得 解得
:此二次函数的解析式为y = x2 + 2x - 3 ．
（2）解：Q y = x2 + 2x - 3 = (x +1)2 - 4 ， Q抛物线开口向上，对称轴为直线x = -1 ．
: 当x = -1 时，y 取最小值为-4 ． Q 2 - (-1) > -1 - (-2) ，
: 当x = 2 时，y 取最大值22 + 2 × 2 - 3 = 5 ．
（3）解：①:点P 横坐标为m ，点Q 的横坐标为-m +1． :PQ = m - (-m +1) = 2m -1 ．
当2m -1 > 0 时，PQ = 2m -1 ，PQ 的长度随m 的增大而增大．
当2m -1 < 0 时，PQ = 1 - 2m ，PQ 的长度随m 增大而减小．
:2m -1 < 0 满足题意，解得m < ．
故答案为： ② Q 0 < PQ ≤ 5 ， : 0 < 1 - 2m ≤ 5 ，
解得-2 ≤ m < ．
如图，当-1≤ m < 时，线段PQ 与二次函数y = x2 + bx + c 的图象 1 个交点．
5 2 ( 1 ö
如图，当-3 ≤ m ≤ - 2 时，线段PQ 与二次函数y = x + bx + cçè-3 ≤ x < 2 ,÷ 的图象 1 个交点．
21 ．
(2)见解析；
的最大值是 20
【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系， 熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可；
（3）根据题意可得 ，可证明点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称，则可 得到F(-8 - a, 0) ，进而求出DE = - a2 - 2a + 2 ，EF = 8 + 2a ，根据据此周长计算公式可得 ,据此利用二次函数的性质求出最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为 y= a (x + 4)2 + 6 ， 将点C(0, 2) 代入解析式可得2 = 16a + 6 ，解得
:抛物线的函数表达式为
（2）证明：将直线 与抛物线 联立可得 整理得
:直线 与抛物线 没有交点；
（3）解：由题意得E(a, 0) ，则 :四边形EFGD 是矩形，
: GD∥EF，GD = EF ，
:点 G 和点 D 关于抛物线对称轴对称，
:点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称，
由（1）可得抛物线对称轴为直线
:F (-8 - a, 0)，
即m 与a 的函数关系式是
: 当a =0 时，m 的值最大，m 的最大值是 20．
22 ．(1)二次函数的解析式为y = (x -1)2 - 4 ；
(2) y1 < y2 ．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式 时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当 已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物
线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时， 可选择设其解析式为交点式来求解．
（1）设抛物线的解析式为 y= a (x -1)2 - 4 ，把 A(3, 0) 代入求出 a 即可得到抛物线解析式；
（2）分别求出 y1, y2 的值即可求解．
【详解】（1）解：Q 二次函数图象的顶点为P(1, -4)， :设抛物线的解析式为y = a (x -1)2 - 4 ，
把A(3, 0) 代入，得a (3 -1)2 - 4 = 0 ，解得 a = 1 ， :抛物线的解析式为y = (x -1)2 - 4 ；
（2）解：Q 当x = 2 时，y1 = -3 ，当 x = 3 时，y2 = 0 ，
:y1 < y2 ．
23 ．(1)见解析
(2) 3.2 ；
(4) 2.6
【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、画函数图象等知识点， 灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可；
（2）根据图像及表中数据即可解答；
（3）根据图像得知二次函数对称轴为 x =5 ，再用待定系数法代入图上一点即可解答；
（4）将 x =2.5 代入抛物线解析式求出y 的值即为本题答案．
【详解】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为： (0, 0.7), (1,1.6), (2, 2.3), (3, 2.8), (4, 3.1), (5,3.2), (6, 3.1) ，
将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线：
（2）解：通过表中数据得知，当 x =5 时水流最高，此时水流到达地面距离为3.2 米，
（3）解：设二次函数解析式为 v = a (x - h)2 + k(a ≠ 0)，
由（2）知，对称轴为 x =5 ，最高点为 3.2 ， :顶点坐标为(5,3.2)，
: v = a (x - 5)2 + 3.2(a ≠ 0) ，
:把(0, 0.7) 代入v = a (x - 5)2 + 3.2(a ≠ 0) 中得：
0.7 = a (0 - 5)2 + 3.5 ，解得： ， :抛物线表达式为
（4）解：根据题意把x = 2.5 代入 中得：
:大理石雕塑的高度约为2.6m ．
24 ．(1) y = - (x -1)2 + 4 ；
(2) ① -5 ≤ n ≤ 4 ； ② 2 或1- ·、 ．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， 待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握 知识点的应用是解题的关键．
（1）设该抛物线的解析式为 y= a (x -1)2 + 4 ，然后把C(0, 3) 代入求出a 的值即可；
（2 ）① 由（1）得抛物线的解析式为y= - (x -1)2 + 4 ，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3 ） ② 由抛物线的解析式y = - (x -1)2 + 4 = -x2 + 2x + 3 ，求出C(0, 3)，通过
S△ABC = S△ABD ，则 则有 -m2 + 2m + 3 = 3，然后分情况解一元二次 方程即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点坐标为(1, 4) ，
:设该抛物线的解析式为y = a (x -1)2 + 4 ， ∵与y 轴交于点C(0, 3)，
: 3 = a (0 -1)2 + 4 ，解得：a = -1 ，
:该抛物线的解析式为y = - (x -1)2 + 4 ，
（2）解： ① 由（1）得抛物线的解析式为 y = - (x -1)2 + 4 ， :当x =1 时，n 的最大值为4 ，当 x = -2 时，n 的最小值为-5 ， : n 的取值范围-5 ≤ n ≤ 4 ；
② 由抛物线的解析式y = - (x -1)2 + 4 = -x2 + 2x + 3 ， 当 x = 0 时， y = 3 ，
: C (0, 3)，
: OC = 3 ，
∵ S△ABC = S△ABD ，
即 yD = 3， ∵点D (m, n ) 是抛物线上一点，
: -m2 + 2m + 3 = 3 ， 当-m2 + 2m + 3 = 3时，
解得m = 2 或m = 0 （舍去）， 当-m2 + 2m + 3= -3时，
解得m = 1- 或m = 1+ （舍去），
: m 的值为2 或1- ．
25 ．(1) y = -x2 + 2x + 3
(2)最值为 4，为最大值
【分析】本题考查二次函数的知识， 解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二 次函数的图象和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可．
（1）根据二次函数与x 轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式y= a (x - 3)(x +1) ， 然后把点(0, 3) 的坐标代入计算，求出a 的值，即可得到二次函数解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到y = -(x -1)2 + 4 ，然后根据二次函数的性质求解即 可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x 轴于(-1, 0) ，(3, 0)
:设该二次函数的解析式为：y = a (x - 3)(x + 1)(a ≠ 0)
∵二次函数图象过点(0, 3)
:将x = 0, y = 3 代入，得3= a (0 - 3)(0 +1) ， 解得a = -1 ，
:抛物线的解析式为y = - (x - 3) (x + 1) ， 即y = -x2 + 2x + 3 ．
（2）解：∵ y = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4 ，
:这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线x =1 ，顶点坐标为(1, 4) ， :最值为 4，为最大值．
26 ．(1) y = x2 + 2x - 3
(2)对称轴为直线x = -1 ，最小值为 -4
【分析】本题考查二次函数图象与性质， 涉及待定系数法确定函数关系式、将一般式化为顶 点式得顶点坐标等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，设二次函数表达式为y= a (x -1)(x + 3) ，再将 (0, -3) 代入求a 即可得到答案；
（2）由（1）中求得表达式化为顶点式即可得到答案．
【详解】（1）解：Q 二次函数图象经过点(1, 0) ，(-3, 0)， :设二次函数表达式为y = a (x -1)(x + 3) ，
Q 二次函数图象经过点(0, -3)，
: -3 = a (0 -1)(0 + 3)，
解得a = 1，
:二次函数表达式为y = (x -1)(x + 3) = x2 + 2x - 3 ；
（2）解：由（1）可知二次函数表达式为 y = x2 + 2x - 3 = (x +1)2 - 4 ， :该抛物线的对称轴为直线x = -1 ，
∵ 1 > 0 ，抛物线开口向上， :函数有最小值为-4 ．
27 ．
(2)Q(-2, -4)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题， 涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题 等知识．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）先求出C(0, -4) ，再得出 OB = OC ，结合已知条件分别得出 △BDE,△QFE 为等腰直角 三角形，利用待定系数法求出BC 直线的解析式，设点E(x, - -x 4) ，则点 进而由等腰直角三角形的性质可得出 根 据BE = 2EF 得出关于 x 的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点 Q 在直线BC 下方 的抛物线上的点即可．
【详解】（1）解：由已知可设：y = a (x + 4)(x - 2) = a (x2 + 2x - 8)， 则-8a = -4 ，得：
进而有b = 2a = 1
所以抛物线的解析式为
解：由 知 当x = 0 时，y = -4 ，
: C (0, -4) ， : OB = OC ，
: ÐBCO = ÐOBC = 45。， : ÐBED = ÐQEF = 45。，
∵QF 丄 BC ，
: 上QFE = 90° ,
: 上EQF = 上QEF = 45° , : EF = QF ，
设直线BC 的解析式为：y = ax + b ， 则
解得：
: BC 的解析式为：y = -x - 4 ，
设点E(x, -x - 4) ，则点
而BE = BD = (x +4) ， ∵ BE = 2EF ，
解得：x = -4 （舍去）或 -2 ， 即点Q(-2, -4)；
28 ．(1) (-2, 0) ，(14, 0)
(3)10 < m <
令y = 0 ，则 解方程即可得解；
（2）求出点 P 坐标是(0, -7) ，设抛物线L2 的表达式为 利用待定系数 法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质即可得解；
（3）先求出抛物线L1 的顶点坐标是(6, -16) ，当点 (6, -16) 在抛物线L2 上时求出 m = 10 ， 求出 ，再利用待定系数法得出直线 MN 的表达式为 当点(6, -16)
在线段MN 上时，求出 结合题意即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线L1 的表达式为
:令y = 0 ，则 解得x1 = -2 ，x2 = 14 ．
:A 点坐标是(-2, 0) ，B 点坐标是(14, 0) ；
解：令x = 0 ，则 :点 P 坐标是(0, -7) ．
∵抛物线 与 x 轴交于点C(-10, 0) 和点M(m, 0) ．
:设抛物线L2 的表达式为
当点 P ，N 重合时，将点P(0, -7) 代入y = )(x - m) ，得 - - m) ， 解得
:抛物线L2 的表达式为 即
( 18 256 ö
:抛物线L2 的顶点坐标是 çè - 5 , - 25 ,÷ ;
（3）解：∵抛物线L1 的表达式为 :其顶点坐标是(6, -16) ．
当点(6, -16) 在抛物线L2 上时 解得m = 10 ．
令x = 0 ，则
设直线MN的表达式为y = kx + b ，
将 代入函数解析式可得 ， 解得：
:直线MN 的表达式为
当点(6, -16) 在线段MN 上时
解得 ．
:抛物线L1 的顶点落在由线段MN 及抛物线L2 围成的封闭图形内部（不含边界），
:m 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次 函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
29 ．(1) (1, -2) ，(1, 2)
(2) y = 2 (x - 1)2 - 5
【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质， 根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义 “同轴对称抛物线”．
（1）根据顶点式直接写出顶点坐标；
（2）根据顶点式 y= a (x - h)2 + k 的顶点坐标为(h，k ) ；先化成顶点式，再求“同轴对称抛 物线”的解析式；
（3）写出点 B 的坐标，再由对称轴求出点B¢ ,然后结合正方形的性质列出方程求 a．
【详解】（1）解：由 y = (x -1)2 - 2 知顶点坐标为(1, -2)，由 y = - (x -1)2 + 2 知顶点坐标为 (1，2) ，
故答案为：(1, -2) ，(1, 2)
（2）解：y = -2x2 + 4x + 3 = -2(x -1)2 + 5 ，
:顶点为(1, 5)，
:(1, 5) 关于 x 轴的对称点为(1, -5)，
:抛物线y = -2x2 + 4x + 3 的“同轴对称抛物线”的解析式为：y = 2 (x -1)2 - 5 ；
（3）解：当 x = 1 时，y = 1- 3a ， : B (1,1- 3a ) ，
: C (1, 3a -1) ，
: BC = 1- 3a - (3a -1) = 2 - 6a ，
:抛物线 L 的对称轴为直线 :点B¢ (3,1- 3a ) ，
: BB¢ = 3 - 1 = 2，
:四边形BB¢C ¢C 是正方形， : BC = BB ¢ ,即 2 - 6a = 2 ，
解得：a = 0 （舍）或 a = ．
30 ．y = (x + 3)2 -1
【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式， 得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线 的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式．
【详解】解：C1 : y = x2 - 2x = (x -1)2 -1， :顶点坐标是P(1, -1)，
点P(1, -1) 关于直线x = -1 对称的点是P¢ (-3, -1)， : C2 : y = (x + 3)2 -1 ．
故答案为：y = (x + 3)2 -1．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点式．
31 ．2
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称 变化规律是解题的关键．
把函数y= -a (x -1)2 + 4a 的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为
y = a (x +1)2 - 4a = ax2 + 2ax - 3a ，从而可得b = 2a ，c = -3a ，再代入(m -1)a + b + c ≤ 0 可 得m ≥ 2 ，由此即可得到答案．
【详解】解： 把函数y= -a (x -1)2 + 4a 的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式 为y = a (x +1)2 - 4a = ax2 + 2ax - 3a ，
则b = 2a ，c = -3a ，
代入(m -1)a + b + c ≤ 0 得：ma ≤ 2a ， Qa＜0 ，
:m ≥ 2 ，
则m 最小值是2 ， 故答案为：2 ．
32 ．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角 三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得P 点的坐标是解答本题的关 键．
首先求得平移后的解析式，进而求得顶点A 的坐标和P 点的坐标，解直角三角形求得P 点到 直线OA 的距离，然后根据三角形面积得到结果．
【详解】解：将抛物线 沿x 轴对称后，向右平移3 个单位长度，再向下平 移5 个单位长度，得到抛物线
: A(-2, -2) ，
:直线OA 为y = x ，
:要使 △POA 的面积最小，则点P 在平行于直线OA ，且与抛物线 C2 相切的直线上，
设平行于直线OA ，且抛物线 C2 相切的直线为y = x + k ，
整理得 ， Q Δ = 0 ，
,
:切线为 ，
解 得
故答案为3.5 ．