高中数学人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的概念习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的概念习题，共28页。

知识点01 向量的夹角
1、如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角，记作.
显然,当时,与同向;当时,与反向.
2、如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.
【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角：
(1)；
(2)；
(3)．
知识点02 向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，与的夹角为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点03向量的投影向量
1、如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2、如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.
3、设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有
【即学即练3】（24-25高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
知识点04向量数量积的性质
设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则
（1）；（2）；（3）；
【注】当与同向时, ；当与反向时，.
（4）；（5）或
【即学即练4】（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）对于任意向量，，，下列命题中不错误的是（ ）
A．若，则与中至少有一个为
B．向量与向量夹角的范围是
C．若，则
D．
题型01 向量数量积的相关概念
【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）若均为非零向量，则是与共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知下列命题中：
（1）若，且，则或；
（2）若，则或；
（3）若不平行的两个非零向量，满足，则；
（4）若与平行，则；
（5）.
其中真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ）
A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的
C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直
题型02 平面向量的夹角
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，夹角 .
题型03 向量数量积的简单计算
【典例3】（24-25高一·上海浦东新·期末）在边长为3的等边三角形中，，则（ ）
A．B．C．D．-
【变式1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式3】（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 .
【变式4】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，在上的投影的数量为6，则 ．
【变式5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于 ．
题型04 求向量的投影向量
【典例4】（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示）
【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，求：
(1)；
(2)在方向上的投影的数量；
(3)在方向上的投影的数量．
一、单选题
1．（23-24高一下·北京·期中）在中，“”是“为锐角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形中，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·河南漯河·期中）平面向量是不共线的向量，则下列错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（ ）
A．12B．6C．D．
6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·北京昌平·期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·河北·期末）在正中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
10．（24-25高二上·河南许昌·开学考试）在中，下列说法错误的是（ ）
A．与共线的单位向量为
B．
C．若，则为钝角三角形
D．若是等边三角形，则，的夹角为
11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法错误的是（ ）
A．在方向上的投影向量的模为2
B．
C．
D．若为外接圆上任意一点，则
三、填空题
12．（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示）
13．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示)
14．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则= ．

四、解答题
15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求：
(1)；
(2)；
(3).课程标准
学习目标
1．掌握平面向量的夹角的概念；
2．掌握平面向量的数量积的定义、性质；
3．了解向量投影的概念以及投影向量的意义.
1．理解平面向量数量积的含义，会计算两个向量的数量积；体会平面向量数量积与向量投影数量之间的关系；会计算两个向量的夹角。
2．通过本节的学习，减深同学们对数学基础性的理解，减强数学学科与物理学科的学科融合，体会数学的实用性。
第1讲 向量数量积的概念
知识点01 向量的夹角
1、如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角，记作.
显然,当时,与同向;当时,与反向.
2、如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.
【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解；
（2）由向量夹角的定义即可求解；
（3）由向量夹角的定义即可求解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
知识点02 向量数量积的定义
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，与的夹角为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用向量数量积公式计算可得答案.
【详解】.
．
知识点03向量的投影向量
1、如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2、如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.
3、设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有
【即学即练3】（24-25高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可．
【详解】因为．
．
知识点04向量数量积的性质
设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则
（1）；（2）；（3）；
【注】当与同向时, ；当与反向时，.
（4）；（5）或
【即学即练4】（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）对于任意向量，，，下列命题中不错误的是（ ）
A．若，则与中至少有一个为
B．向量与向量夹角的范围是
C．若，则
D．
【答案】BB
【分析】根据互相垂直的平面向量的性质判断A，结合平面向量数量积的定义、运算性质判断C,D,向量与向量夹角的范围判断B.
【详解】A，若，则与可以是夹角为，所以A选项错误.
B，向量与向量夹角的范围是，B选项错误.
C，若，则，所以C选项错误.
D，，D选项错误.
B.
题型01 向量数量积的相关概念
【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，向量与的方向相反，然后即可得出错误的选项.
【详解】由得，所以向量与方向相反.
对于A：由得向量与的方向相同，故A错误；
对于B：由得向量与方向相反，故B错误；
对于C：由得，故C错误；
对于D：由得向量与的方向相同，故D错误.
.
【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）若均为非零向量，则是与共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由，可得，而与共线意味着或，由此即可得解.
【详解】一方面：由，可得，此时与共线;
另一方面：由与共线，可得或，此时有或，
即此时不一定成立.
结合以上两方面有是与共线的充分不必要条件.
.
【变式2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知下列命题中：
（1）若，且，则或；
（2）若，则或；
（3）若不平行的两个非零向量，满足，则；
（4）若与平行，则；
（5）.
其中真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量数除的定义可判断（1）；根据向量数量积的定义可判断（2）（4）；根据向量数量积的运算律可判断（3）（5）.
【详解】对于（1），若，且，则或，故（1）错误；
对于（2），若，则，不一定能得到或，故（2）错误；
对于（3），若不平行的两个非零向量，满足，则，故（3）错误；
对于（4），若与平行，则，故（4）错误；
对于（5），，而，故（5）错误.
.
【变式3】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据平面向量数量积的定义，向量平行的定义以及充分条件，必要条件的定义即可判断．
【详解】若平面向量，平行，则向量，方向相同或相反，所以或；
若，则，即向量，方向相同，以及向量，平行．
综上，“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的必要非充分条件．
．
【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ）
A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的
C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直
【答案】A
【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案.
【详解】对于任意得两个非零向量，，其中.
若两个非零向量同向共线，则，，，故A错误；
若两个非零向量反向共线，则，，，故B错误；
若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误；
若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D错误.
故选: C.
题型02 平面向量的夹角
【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由数量积公式求夹角即可．
【详解】因为，，所以.
【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出草图，运用平行四边形法则，结合外接圆圆心特征，得到平行四边形为菱形，进而得到和为等边三角形，得解.
【详解】由，得，
如图所示，结合向量减法的平行四边形法则可得四边形为平行四边形，
又因为为外接圆圆心，所以，
所以平行四边形为菱形，和为等边三角形，
所以向量的夹角为．
故答案为：.
【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据投影向量公式得出结合角的范围得出夹角即可.
【详解】依题意．
又．
.
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，夹角 .
【答案】/
【分析】根据向量数量积公式可得夹角.
【详解】由，，
则，
解得，
又，所以，
故答案为：.
题型03 向量数量积的简单计算
【典例3】（24-25高一·上海浦东新·期末）在边长为3的等边三角形中，，则（ ）
A．B．C．D．-
【答案】A
【分析】由题意可得，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以
.
.
【变式1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由图形可求得，由向量数量积定义可求得结果.
【详解】由图形可知：，，，
.
.
【变式2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先根据内接正各边以及与单位圆半径的关系，求出各边长度，再根据的模长与夹角代入平面向量数量积公式求解答案.
【详解】如图所示:

因为单位圆半径为1，为单位圆的内接正三角形，
可得，又也是正的中心，延长交于，
可得，，，
设的边长为，则由勾股定理得，
即，解得.
所以，.又因为的夹角为的补角，
，所以的夹角为，
所以.
.
【变式3】（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 .
【答案】1
【分析】根据向量数量积的定义运算得解.
【详解】由题，.
故答案为：1.
【变式4】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，在上的投影的数量为6，则 ．
【答案】30
【分析】利用向量投影数量的计算公式以及向量的模长、结合数量积定义计算求解.
【详解】.
故答案为：.
【变式5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于 ．
【答案】2
【分析】应用平面向量的数量积公式计算即可.
【详解】．
故答案为：2.
题型04 求向量的投影向量
【典例4】（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可.
【详解】因为在方向上的投影向量为，且，
可得，即，
又因为在方向上的投影向量为，
可得，即.
.
【变式1】（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解.
【详解】由题在上的投影向量为.
.
【变式2】（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】由已知，
在方向上的投影向量为.
．
【变式3】已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.
【详解】设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为
.
.
【变式4】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示）
【答案】
【分析】由数量积的运算公式可以得到，再根据题中条件得到,
最后利用投影向量的公式进行求解即可.
【详解】
由，则，
又，则，
又，则，即，
故，
又向量在方向上的投影向量是，
故答案为：.
【变式5】（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，求：
(1)；
(2)在方向上的投影的数量；
(3)在方向上的投影的数量．
【答案】(1)
(2)
(3)-4
【分析】（1）应用平面向量的数量积公式计算即可；
（2）应用投影数量的公式计算即可；
（3）应用投影数量的公式计算即可.
【详解】（1）．
为直角三角形，且．
．
（2）．
（3）
一、单选题
1．（23-24高一下·北京·期中）在中，“”是“为锐角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用数量积的定义可得，但不一定为锐角；若是锐角三角形可知满足，即可得出结论.
【详解】由是锐角三角形，得，从而，
故，即必要性成立；
反之，若“”可得，所以，
可得为锐角，但角可能为钝角，不一定为锐角，所以充分性不成立；
2．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形中，向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可.
【详解】如图设与交于点，由正六边形的性质可知为等边三角形，
所以，则向量与的夹角为.
3．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据进行求解，得到答案.
【详解】因为，，
所以在上的投影向量为.
4．（23-24高一下·河南漯河·期中）平面向量是不共线的向量，则下列错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用作差法和向量数量积的定义逐项判断即可.
【详解】因为，又不共线，
所以，则，故A和C都不错误；
因为，又不共线，
所以，则，故B不错误，D错误；
5．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（ ）
A．12B．6C．D．
【答案】A
【分析】利用向量数量积的定义求解.
【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角，
则.
6．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】∵，向量在向量上的投影向量是，
∴，
则，即，且，
则，
.
7．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由方程有实根得到，得，借助于余弦函数的性质，解此三角不等式即得.
【详解】设为向量与的夹角，
关于的方程有实根，则有，
又，则有，得，
又，所以．
.
8．（24-25高三上·北京昌平·期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，由平行四边形法则得到,将表示成的函数，并利用二次函数的性质求出最小值.
【详解】△中，，为的中点，
所以，
设，则，，
，
即当时，的最小值为.
.
二、多选题
9．（23-24高一下·河北·期末）在正中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】利用图形求向量夹角判断选项A；利用向量数量积的运算验证选项B；由向量的线性运算验证选项C；由投影向量的计算验证选项D.
【详解】正中，为的中点，如图所示，
，A错误；
，则，错误．
，C错误．
在上的投影向量为，错误．
CD.
10．（24-25高二上·河南许昌·开学考试）在中，下列说法错误的是（ ）
A．与共线的单位向量为
B．
C．若，则为钝角三角形
D．若是等边三角形，则，的夹角为
【答案】BC
【分析】根据单位向量判断A；由向量的减法判断B；由向量的夹角，数量积的定义判断C，D即可.
【详解】对于A，与共线的单位向量为，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，所以且，所以为钝角，所以C错误；
对于D，若是等边三角形，则，的夹角为，故D错误.
C
11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法错误的是（ ）
A．在方向上的投影向量的模为2
B．
C．
D．若为外接圆上任意一点，则
【答案】BBD
【分析】利用投影向量的定义及模的定义判断A，利用数量积的定义判断B，由向量的和的运算判断C，由向量线性运算法则判断D．
【详解】如图，正的内心为点，则也为的外心和重心，
分别是中点，则，在上，
，则，
在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模等于在方向上的投影向量的模，模为2，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D错误．
BD．
三、填空题
12．（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示）
【答案】/
【分析】直接根据向量夹角的概念求解.
【详解】向量与向量的夹角是的补角，而，
故.
故答案为：.

13．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则 (结果用数值表示)
【答案】
【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解.
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，
即，故，
故答案为：
14．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则= ．

【答案】
【分析】首先根据平行线的性质，得到，并求解正切值，最后代入向量数量积公式，即可求解.
【详解】因为，所以．因为，
所以．
故答案为：
四、解答题
15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知等边的边长为1，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据数量积的公式计算即可，要注意其夹角.
【详解】（1）与的夹角为，
.
（2）与的夹角为，
.
（3）与的夹角为，
.
课程标准
学习目标
1．掌握平面向量的夹角的概念；
2．掌握平面向量的数量积的定义、性质；
3．了解向量投影的概念以及投影向量的意义.
1．理解平面向量数量积的含义，会计算两个向量的数量积；体会平面向量数量积与向量投影数量之间的关系；会计算两个向量的夹角。
2．通过本节的学习，减深同学们对数学基础性的理解，减强数学学科与物理学科的学科融合，体会数学的实用性。