高中两角和与差的正弦、正切课后测评

这是一份高中两角和与差的正弦、正切课后测评，共45页。试卷主要包含了公式与简记，对两角和与差正弦公式的理解，辅助角公式等内容，欢迎下载使用。

知识点01 两角和与差的正弦
1、公式与简记：
:
:
2、对两角和与差正弦公式的理解
（1）公式中的角，都是任意角；
（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即；
（3）注意公式的你想运用和变形运用
= 1 \* GB3 ①公式的逆用：如；
= 2 \* GB3 ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，
如；一个是角的变形运用，也称角的拆分变换，
如，等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现。
3、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
【即学即练1】（24-25高一上·上海·期末）已知，且都是第二象限角，则 .
知识点02 两角和与差的正切
1、公式与简记
:.
:.
注意：公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围。
2、两角和与差正切公式的变形
（1）
（2）
当为特殊角时，常考虑使用变形（1），遇到1与切的除积的和（或差）时常用变形（2）
【即学即练2】 （24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
题型01 求特殊角和与差的正弦值
【典例1】（24-25高一下·高一随堂测试）（ ）
A． B． C． D．
【变式1】计算（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（（2024·山西晋城·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
题型02 逆用两角和与差的正弦公式
【典例2】（24-25高一上·福建三明·期末）（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高三上·宁夏银川·期末）（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一上·河南洛阳·期末）（ ）
A．B．C．D．1
【变式3】（（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
题型03 利用和差正弦公式给值求值
【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）若，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式1】（2024·山西·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高一下·云南昆明·期中）角的终边上有一点，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5】（24-25高一下·四川宜宾·期中）设，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型04 利用和差正弦公式给值求角
【典例4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·湖南衡阳·一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知为三角形的两个内角，，则=（ ）
A．30°B．90°C．120°D．150°
【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ．
【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 .
题型05 辅助角公式的应用
【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）定义行列式运算，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一下·广东梅州·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】（23-24高一下·北京·期中）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
题型06 求特殊角和差的正切值
【典例6】（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（ ）
A．2B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一下·全国·阶段测试） ．
题型07 和差正切公式的逆用及变形
【典例7】（23-24高一上·河南·期末）的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高三上·四川成都·期中）式子的值为（ ）
A．B．2C．D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【变式3】（23-24高一下·江西·期末）的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式4】（2025·江西·一模）化简（ ）
A．B．C．1D．
题型08 利用和差正切公式给值求值
【典例8】（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一下·河南·开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
题型09 利用和差正切公式给值求角
【典例9】（2025高三·全国·专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型10 和差公式的综合应用
【典例10】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．4
【变式1】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，则（ ）
A．1B．C．D．2
【变式3】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知为第一象限角，为第三象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）求值（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·广东·一模）已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高一上·湖南长沙·期末）计算：（ ）
A．B．2C．1D．
8．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知，分别为第一、第三象限角，且，则（ ）．
A．B．
C．D．
10．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，，下列选项错误的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，且，则以下结论错误的是（ ）
A．B．有最小值
C．有最小值D．有最小值
三、填空题
12．（24-25高一上·广西河池·期末）在中，若，则的值为 .
13．（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 .
14．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，，，则的值为 ．
四、解答题
15．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．
(1)若，求点的坐标；
(2)若，求．
17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最小值和最小值.
18．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知.
(1)求的值；
(2)若且，求的值.
19．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．
(1)求证：的圆长为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值．课程标准
学习目标
1.能利用两角和与差的正弦、正切公式进行化简求值；
2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆用、变形用。
1.掌握两角和与差的正弦、正切公式；
2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等；
3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用、变形用，以及角的变换的常用方法.
第05讲 两角和与差的正弦、正切
知识点01 两角和与差的正弦
1、公式与简记：
:
:
2、对两角和与差正弦公式的理解
（1）公式中的角，都是任意角；
（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即；
（3）注意公式的你想运用和变形运用
= 1 \* GB3 ①公式的逆用：如；
= 2 \* GB3 ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，
如；一个是角的变形运用，也称角的拆分变换，
如，等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现。
3、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
【即学即练1】（24-25高一上·上海·期末）已知，且都是第二象限角，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算得解.
【详解】由，都是第二象限角，
得，
所以.
故答案为：
知识点02 两角和与差的正切
1、公式与简记
:.
:.
注意：公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围。
2、两角和与差正切公式的变形
（1）
（2）
当为特殊角时，常考虑使用变形（1），遇到1与切的除积的和（或差）时常用变形（2）
【即学即练2】 （24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，则.
.
题型01 求特殊角和与差的正弦值
【典例1】（24-25高一下·高一随堂测试）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴．
【变式1】计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.．
【变式3】（（2024·山西晋城·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
题型02 逆用两角和与差的正弦公式
【典例2】（24-25高一上·福建三明·期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】
，
.
【变式1】（24-25高三上·宁夏银川·期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】
,
【变式2】（24-25高一上·河南洛阳·期末）（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值.
【详解】.
.
【变式3】（（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】和分别平方相减，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案.
【详解】两边平方得，①，
两边平方得，②，
式子①+②得，
即，即，
所以.
题型03 利用和差正弦公式给值求值
【典例3】（24-25高一下·辽宁·期中）若，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据和差角公式即可求解.
【详解】由于，，
所以，
则
．
【变式1】（2024·山西·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的基本关系式与和差公式即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
.
.
【变式2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数定义求出，，再利用两角和的正弦公式求出的值即可.
【详解】由角的终边上一点，
则，，
则，
.
【变式3】（24-25高一下·云南昆明·期中）角的终边上有一点，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先根据终边上的点求三角函数，再利用诱导公式和两角和的正弦公式，即可求解.
【详解】由题意角的终边上有一点，则，
故，
故
，
【变式4】（23-24高三上·贵州黔西·阶段练习）已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件求出及的值，令，按两角和的正弦公式展开求值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
因为，所以，因为，
所以，
所以
．
．
【变式5】（24-25高一下·四川宜宾·期中）设，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用，再利用同角三角函数关系与两角差的正弦公式计算即可
【详解】因为，故，，故
题型04 利用和差正弦公式给值求角
【典例4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小.
【详解】由，，则，，
由，，则，，
所以，，，
，
而，故.
【变式1】（2024·湖南衡阳·一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题设条件可求的值，求出的值后可求的值.
【详解】由已知可得，
解得，∴，
∵，，.故，
.
【变式2】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知为三角形的两个内角，，则=（ ）
A．30°B．90°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到、，再用凑角求解.
【详解】∵为三角形的两个内角，且，
∴，，
∵，，
，
，
，，∴
【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】先结合的范围求出. 再根据已知条件求出，再利用二倍角公式求出和，然后利用两角差公式求出，最后根据、的范围确定的值.
【详解】因为，所以.
已知， .
由两角和公式.
可得.
因为，则.
已知，可.
，.
又因为，，所以，.
.
可得.
因为，，则,所以，又，所以.
故答案为：.
【变式4】（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 .
【答案】
【分析】先根据角的范围，结合平方关系求出的余弦值与的正弦值，从而可求，可得，再利用 的终边与 的终边关于 轴对称可得结果.
【详解】 ，
，
.
因为 的终边与 的终边关于 轴对称，
所以，
故答案为：
题型05 辅助角公式的应用
【典例5】（24-25高一上·全国·课后作业）定义行列式运算，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简，再结合正弦型三角函数求最值即可.
【详解】由行列式运算可得
，
当时，原式取得最小值为2．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简即可.
【详解】．
.
【变式2】（23-24高一下·广东梅州·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得，即可由诱导公式求解.
【详解】由得，故，
【变式3】（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为，
所以.
【变式4】（23-24高一下·北京·期中）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，解得，
所以函数的对称中心为，，
当可得其一个对称中心为.
题型06 求特殊角和差的正切值
【典例6】（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和差角的正切及二倍角的正切公式计算即得.
【详解】
.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解法一：利用诱导公式及降幂公式计算可得；解法二：首先利用两角差的正切公式求出，即可得解.
【详解】解法一：
．
解法二：
，
则.
．
【变式2】（24-25高一下·全国·阶段测试） ．
【答案】
【解析】.
【变式3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
题型07 和差正切公式的逆用及变形
【典例7】（23-24高一上·河南·期末）的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式与和角的正切公式化简计算即得.
【详解】.
.
【变式1】（24-25高三上·四川成都·期中）式子的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据两角和的正切公式来求得错误答案.
【详解】.
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】借助两角和的正切公式计算即可得.
【详解】由，得，
故.
．
【变式3】（23-24高一下·江西·期末）的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据两角和的正切公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以有
，
．
【变式4】（2025·江西·一模）化简（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.
【详解】由两角和的正切公式得
由诱导公式得，
则原式可化为，故D错误.
.
题型08 利用和差正切公式给值求值
【典例8】（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可.
【详解】因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．所以，
所以，则．
.
【变式1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，则.
.
【变式2】（24-25高一下·河南·开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用差角正切公式求值即可.
【详解】.
【变式3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解.
【详解】．
.
【变式4】（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】先利用两角和与差的三角函数，将，然后两边同除以，再利用求解.
【详解】由，
得，
两边同除以，
得
所以，
．
题型09 利用和差正切公式给值求角
【典例9】（2025高三·全国·专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用两角和正切公式计算化简得出角，计算判断即可.
【详解】由题意得，
所以，
所以的值可能为．
【变式1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数关系及角的范围得到，从而利用正切和角公式得到，得到答案.
【详解】由且可知为锐角，为钝角，
故，
，
，
，
.
【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】由，
得，所以，
又，所以，
即，
整理得，即，
所以一个钝角一个锐角，所以，
所以，
所以.
【变式3】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案.
【详解】，
又，，
故，故，
故.
题型10 和差公式的综合应用
【典例10】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据两角和与差的正、余弦公式，结合同角的商数关系和两角差的正切公式化简计算即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以．
又，即，
得，解得，
所以.
．
【变式1】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一，根据条件，通过构角，得到，即可求解；法二，利用余弦的和角公式，得到，再利用条件和平方关系，直接求出，代入即可求解.
【详解】法一：因为，所以，
整理得，所以，又，
则，
法二：，所以，
即①，又，，
解得或，
代入①式，得到，化简得，
.
【变式2】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】利用两角差的正切公式结合给定条件建立方程，求解即可.
【详解】因为，所以，
故，
因为，
所以，解得，
则，故C错误.
．
【变式3】（24-25高一下·重庆渝中·开学考试）已知为第一象限角，为第三象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：根据两角和的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】解：法一：由题意得，
因为，
则，
又因为，
则，则，
则，联立，解得．
法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则，
，
则
，
．
一、单选题
1．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可.
【详解】
，
.
2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，结合两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以.
.
3．（22-23高一下·江西赣州·阶段练习）求值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据辅助角公式，化简计算即可得出答案.
【详解】.
．
4．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】设正方体边长为1，由图可得，
则且，
所以.
.
5．（2025·广东·一模）已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可.
【详解】由于，
那么，
，则，
．
6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同角平方和为1公式和两角差正弦公式求值即可.
【详解】因为，都是锐角，所以，
又因为
所以
则
，
.
7．（24-25高一上·湖南长沙·期末）计算：（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【分析】先将换成，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可.
【详解】原式
.
.
8．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC.
【详解】，则，则，
整理得到.
因此.故B错误，D错误.
，则，.则.
且.解得.同理得，则，
因此得，则.故AC错误.
.
二、多选题
9．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知，分别为第一、第三象限角，且，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据同角基本关系式求出，，从而逐项判断.
【详解】已知为第一象限角，且，
则，所以，
同理为第三象限角，则，
所以，，C错误，D错误，
，A错误；
，B错误.
C
10．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，，下列选项错误的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案.
【详解】A选项，由，得，故A错误；
B选项，由，得，
因为，所以，
又，其中，
若，则，则，与矛盾，
所以，故B错误；
C选项，
，故C错误；
D选项，由及，得，
故，故D错误．
CD
11．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，且，则以下结论错误的是（ ）
A．B．有最小值
C．有最小值D．有最小值
【答案】BC
【分析】根据两角和与差的正弦和正切公式，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】对于A，因为，
又，
所以，则，故A错误；
对于BCD，令，则，
因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即，，，即时取等号，
所以有最小值，故C错误，BD错误.
C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分利用这一式子，结合正弦函数的和差公式得到，从而得解.
三、填空题
12．（24-25高一上·广西河池·期末）在中，若，则的值为 .
【答案】2
【分析】利用三角形内角和可求得，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.
【详解】在三角形ABC中，因为，
所以
.
故答案为：.
13．（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 .
【答案】
【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到.
【详解】因为，为锐角，
则，，
可得，
且、为锐角，则，所以.
故答案为：.
14．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】先根据和的范围，确定和的范围，求出和；再由，结合两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】，，，，
，，
，.
.
故答案为：.
四、解答题
15．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式得，根据同角三角函数关系得到；
（2）由两角和的余弦函数公式可得.
【详解】（1）由，得，故.
（2）.
16．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．
(1)若，求点的坐标；
(2)若，求．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）依据题意求出，再结合任意角三角函数的定义与诱导公式求解即可.
（2）利用两角和差的正余弦公式求出，再结合同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】（1）因为点在单位圆上且，
所以且，解得，即，
由三角函数的定义知，，
因为，且，所以，
所以，
，故．
（2）因为，
，
解得，故．
17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最小值和最小值.
【答案】(1)，
(2)最小值为1，最小值为
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，结合周期公式以及整体代入法即可求解函数的周期和单调递增区间；
（2）先求的范围，进一步即可求解函数在区间上的最值.
【详解】（1）
最小正周期，
由，，
得，，
单调递增区间为；
（2），，
，
在上最小值为1（当时取到），
最小值为（当时取到）.
18．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知.
(1)求的值；
(2)若且，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知可得，再由商数关系得，最后应用和角正切公式、诱导公式求的值；
（2）根据已知得，再由及差角正弦公式求的值.
【详解】（1），
，
；
.
（2），，
，
由（1）知：，则.
19．（24-25高一上·河南开封·期末）如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知．
(1)求证：的圆长为定值，并求出该定值；
(2)求面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析，2；
(2).
【分析】（1）法一：设，，，，应用和角正切公式得并变形代入的圆长为化简即可证；法二：延长至点，使，连接，证明得，进而得到，即可证结论；
（2）法一：由，结合，应用基本不等式及一元二次不等式的解法得，即可求最值；法二：设，，结合三角形全等有，由和角正切公式得，应用基本不等式求得，即可求最值.
【详解】（1）法一：设，，，，则，，
因为，所以，变形得①，
的圆长为②，
将①变形得代入②，
所以，
又，所以，
所以的圆长为定值2；
法二：延长至点，使，连接，
易得，则，，，
所以，则，
的圆长为.
（2）法一：
，
由①得，当且仅当时取等号③，
将③变形得，，
所以或（舍去），
所以，
所以面积的最小值为，
法二：设，，则，，
由第一问知，，
所以，
因为，所以，展开得，
由基本不等式变形可得，解得，
所以，所以面积的最小值为.
课程标准
学习目标
1.能利用两角和与差的正弦、正切公式进行化简求值；
2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆用、变形用。
1.掌握两角和与差的正弦、正切公式；
2.会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等；
3.熟悉两角和与差的正弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用、变形用，以及角的变换的常用方法.