数学必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念导学案

这是一份数学必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念导学案，共7页。

8．1.1 向量数量积的概念
[课程目标] 1.理解平面向量数量积的含义．
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．提高分析事物间相互联系的能力，培养学科间相互渗透的学习意识．
[填一填]
1．两个向量的夹角
(1)给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
(3)当〈a，b〉＝0时，a与b同向；
当〈a，b〉＝π时，a与b反向；
当〈a，b〉＝eq \f(π,2)或a与b中至少有一个为零向量时，a⊥b.
2．向量的数量积(内积)
(1)当a与b都是非零向量时，称|a||b|cs〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)两向量的数量积不是向量而是实数，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．
(3)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔a·b＝0.
3．向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)设非零向量eq \(AB,\s\up16(→))＝a，过A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′、B′，则称向量eq \(A′B′,\s\up16(→))为向量a在直线l上的投影向量或投影．
(2)如果a，b都是非零向量，则称|a|cs〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．
(3)向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．
4．平面向量的数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cs〈a，e〉；
(2)a⊥b⇒a·b＝0，且a·b＝0⇒a⊥b；
(3)a·a＝|a|2即|a|＝eq \r(a·a)；
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
[答一答]
1．如何理解平面向量的数量积？
提示：(1)此定义式同时也是两向量数量积的计算式．
(2)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.
(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．
(4)a·b的几何意义是：a的长度与b在a方向上的射影的数量的乘积或b的长度与a在b方向上的射影的数量的乘积．
2．怎样确定两向量数量积的符号？
提示：两向量的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值符号决定．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当a与b同向时，θ＝0°，csθ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，csθ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，csθ<0，a·b<0；
当a与b垂直时，θ＝90°，csθ＝0，a·b＝0；
当a与b反向时，θ＝180°，csθ＝－1，a·b＝－|a||b|.
由上可知，a·b>0⇒/ θ为锐角，因为还有可能是θ＝0°；
a·b<0⇒/ θ为钝角，因为还有可能是θ＝180°.
3．向量数量积的各条性质是如何证明的？
提示：(1)①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|·cs〈a，e〉．
证明：a·e＝|a||e|cs〈a，e〉＝|a|cs〈a，e〉，
e·a＝|e||a|cs〈e，a〉＝|a|cs〈a，e〉，
∴a·e＝e·a＝|a|·cs〈a，e〉．
②a⊥b⇔a·b＝0.
证明：已知a⊥b，Ⓐ若a、b中至少有一个为零向量，则符合条件a⊥b，∴a·b＝0；Ⓑ若a≠0，b≠0，由已知〈a，b〉＝90°，∴a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝0.因此，a⊥b⇒a·b＝0.
已知a·b＝0，Ⓐ若a、b中至少有一个为零向量，满足a·b＝0，根据定义知a⊥b；Ⓑ若a≠0，b≠0，则a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉＝0，即cs〈a，b〉＝0.又因为0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°，∴a⊥b.因此，a·b＝0⇒a⊥b.综上所述，a⊥b⇔a·b＝0.
③a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
证明：a·a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2cs0°＝|a|2，且|a|＝eq \r(a·a).
④cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)．
证明：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉，
∴当a≠0，b≠0时，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).
⑤|a·b|≤|a||b|.
证明：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉≤|a||b|.
(2)性质①可以帮助理解数量积的几何意义；性质②可以解决有关垂直的问题；性质③可以求向量的长度；性质④可以求两向量的夹角；性质⑤可以解决有关不等式的问题，当且仅当a∥b时，等号成立.
类型一 平面向量数量积的定义
[例1] 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
[解] (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cs0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cs180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a|·|b|cs90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a|·|b|cs30°＝4×5×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3).
求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|csθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
[变式训练1] 在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝0，eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＝－16，eq \(CA,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))＝－16.
解析：由题意知∠B＝90°，∠A＝∠C＝45°，
∴eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＝0.
eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＝|eq \(BC,\s\up16(→))|·|eq \(CA,\s\up16(→))|·cs135°＝4×4eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－16.
eq \(CA,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))＝|eq \(CA,\s\up16(→))|·|eq \(AB,\s\up16(→))|·cs135°
＝4eq \r(2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－16.
类型二 平面向量的投影
[例2] 已知a·b＝－9，a在b方向上的投影的数量为－3，b在a方向上的投影的数量为－eq \f(3,2)，求a与b的夹角θ.
[解] ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|csθ＝－3，,|b|csθ＝－\f(3,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a·b,|b|)＝－3，,\f(a·b,|a|)＝－\f(3,2)，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－9,|b|)＝－3，,\f(－9,|a|)＝－\f(3,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|＝6，,|b|＝3.))
∴csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－9,6×3)＝－eq \f(1,2).
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
a在b方向上的投影的数量也可以写成，投影的数量可正，可负，可为0，它的符号取决于θ角的范围.
[变式训练2] 设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，θ＝150°，求a在b方向上的投影的数量；
(2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影的数量．
解：(1)|a|·csθ＝5×cs150°
＝5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(5\r(3),2).
∴a在b方向上的投影的数量为－eq \f(5\r(3),2).
(2)eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(9,6)＝eq \f(3,2).
∴b在a方向上的投影的数量为eq \f(3,2).
类型三 平面向量的夹角问题
[例3] 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
[解析] 设a与b的夹角为θ，则根据向量数量积公式可得csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，则csθ＝eq \f(2,1×4)＝eq \f(1,2).∵θ∈[0，π]．∴θ＝eq \f(π,3).
[答案] C
[变式训练3] 在等边三角形ABC中，向量eq \(AB,\s\up16(→))与向量eq \(BC,\s\up16(→))的夹角为120°；若E为BC的中点，则向量eq \(AE,\s\up16(→))与eq \(EC,\s\up16(→))的夹角为90°.
解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长边AB至点D，使BD＝AB，
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(BD,\s\up16(→))，
∴∠DBC为向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BC,\s\up16(→))的夹角，且∠DBC＝120°.
又∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴eq \(AE,\s\up16(→))与eq \(EC,\s\up16(→))的夹角为90°.
1．若|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为30°，则a·b的值是( C )
A．2eq \r(3) B．4
C．4eq \r(3) D．8eq \r(3)
解析：a·b＝|a||b|cs30°＝2×4×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量为eq \f(3,2)，则a·b为( B )
A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2)
解析：a·b＝|a||b|csθ＝|b|·|a|csθ＝3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).故选B.
3．已知平面上三点A，B，C，满足|eq \(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq \(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq \(CA,\s\up16(→))|＝5，则eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))·eq \(AB,\s\up16(→))的值等于( D )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
解析：由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cs(180°－C)＋5×3cs(180°－A)＝－20csC－15csA＝－20×eq \f(4,5)－15×eq \f(3,5)＝－16－9＝－25.
4．已知|a|＝3，|b|＝4，且a·b＝－6，则a与b的夹角是120°.
解析：设a与b的夹角为θ.由题意可得csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝
－eq \f(1,2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝120°.