数学必修 第三册向量数量积的运算律精练

这是一份数学必修 第三册向量数量积的运算律精练，共39页。

知识点01 平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【注意】向量数量积不满足：
①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；
②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)．
【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（ ）
A．；B．；
C．；D．.
知识点02 平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【即学即练2】（23-24高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量，，，下列说法不错误的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
题型01 利用运算律求数量积
【典例1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（ ）
A．2B．C．1D．
【变式1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
【变式2】 （2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（ ）
A．3B．8C．12D．13
【变式3】 （24-25高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A．B．C．2D．
【变式4】 （23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（ ）

A．B．C．D．
题型02 向量的夹角问题
【典例2】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．150°
【变式1】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4】 （24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
题型03 向量的模的问题
【典例3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（ ）
A．12B．C．8D．
【变式1】（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【变式2】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，，则等于（ ）.
A．B．C．D．
【变式3】 （24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（24-25高三上·河南·期末）已知，为相互垂直的单位向量，则（ ）
A．2B．C．D．4
【变式5】（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型04 数量积的最值问题
【典例4】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．-2
【变式1】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【变式2】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型05 判断三角形的形状
【典例5】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，若且，则为（ ）
A．四边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【变式1】（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
【变式2】（23-24高一下·山东枣庄·期中）中，若非零向量与满足，，则为（ ）
A．等腰直角三角形B．四边均不相等的直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形
【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（ ）
A．等腰（非直角）三角形B．等边三角形C．直角（非等腰）三角形D．等腰直角三角形
【变式4】是所在平面上一点满足的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
题型06 三角形的“心”
【典例6】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式1】 （23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心D．外心、重心、内心
【变式2】（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型07 新定义问题
【典例7】 （多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．若，则
【变式1】（多选）（23-24高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量为B．
C．D．若，则与平行
【变式2】（多选）（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（ ）
A．当时，
B．对于任意非零向量，都有
C．对于不垂直的非零向量，都有
D．若，则
【变式3】（多选）（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．对于任意与不共线的非零向量，都有
C．对于任意的非零实数，都有
D．若，，则
【变式4】（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有
A．在方向上的投影为
B．
C．
D．若，则与平行
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知单位向量的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A．12B．8C．4D．14
3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设非零向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．3
5．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，若，则（ ）
A．B．C．D．1
6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，P是BN上一点，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
8．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（ ）
A．2B．C．D．1
二、多选题
9．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．（24-25高一下·湖南岳阳·开学考试）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ）
A．若，则
B．非零向量满足，则与的夹角为
C．非零向量和满足，，则
D．的外接圆的圆心为，若，且，则向量在向量方向上的投影向量为
三、填空题
12．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，，均为单位向量，且满足，则 .
13．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 .
14．（24-25高三上·天津·期末）在三角形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点
（1）若用向量表示向量 ；
（2）若则的最小值为 .
四、解答题
15．（24-25高三上·上海·期中）已知，且.
(1)求向量与的夹角大小；
(2)求.
16．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点．
(1)试用表示和；
(2)若，求．
17．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足
(1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；
(2)若为钝角，求实数t的取值范围．
18．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则
(1) ；
(2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值.
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末） 已知向量满足，且与互相垂直.
(1)求向量在向量上的投影向量 （用表示）；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“*”：（其中是非零向量和的夹角），求课程标准
学习目标
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．
2.能利用运算律进行向量的数量积运算．
1.通过向量减法与数除运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．
2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.
第02讲 向量数量积的运算律
知识点01 平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【注意】向量数量积不满足：
①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；
②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)．
【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若、、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（ ）
A．；B．；
C．；D．.
【答案】B
【分析】根据向量的四则运算、数量积的定义及分配律逐个判断即可.
【详解】对A，得出的是数量，故结果是与共线的向量，
同理得出的是与共线的向量，
等式对任意三个向量、、不一定错误，故A错误；
对B，由数量积定义可得，，故B错误；
对C，向量数量积运算满足减除分配律，故C错误；
对D，由分配律可得，
故D错误.
.
知识点02 平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【即学即练2】（23-24高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量，，，下列说法不错误的是（ ）
A．B．
C．若，且，则D．
【答案】AD
【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D.
【详解】对于A，由向量的运算法则，得A错误；
对于B，向量数量积满足分配律，B错误；
对于C，由，得，当时，满足题设，C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误.
D
题型01 利用运算律求数量积
【典例1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】，利用向量数量积公式计算出结果.
【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故，
.
【变式1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】因为向量，均为单位向量，且，所以，，
所以，
.
【变式2】 （2025·广东惠州·模拟预测）已知向量和的夹角为，且，，则（ ）
A．3B．8C．12D．13
【答案】C
【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为向量和的夹角为，且，
则.
.
【变式3】 （24-25高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】结合向量的线性运算，利用数量积定义直接求解即可.
【详解】如图：
可知，
故.
.
【变式4】 （23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形中，，，，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，结合数量积的定义得，最后由数量积的运算律即可求解.
【详解】，
，
，
，，，
，
，
，
.
题型02 向量的夹角问题
【典例2】（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量，满足，且，，则与的夹角为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】利用向量的数量积的运算律求得，利用向量的夹角公式可求得，可求与的夹角.
【详解】由，可得，即
又，所以，解得，
所以，又，所以，
所以与的夹角为.
.
【变式1】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先设向量夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可.
【详解】设向量，的夹角为.因为，则，
所以，则，解得，所以.
.
【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知，，且与互相垂直，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知，应用向量垂直关系及数量积的运算律可得，即可得答案.
【详解】由题设，，，
所以，即向量与的夹角为.
【变式3】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解.
【详解】单位向量满足，则，
，，
所以.
【变式4】 （24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可.
【详解】设与的夹角为，根据题意，可得，
所以，代入，所以，
解得，因为，所以与的夹角为．
【变式5】
题型03 向量的模的问题
【典例3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知，则（ ）
A．12B．C．8D．
【答案】B
【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果.
【详解】易知，即，
又可得；
所以.
【变式1】（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案.
【详解】由，
所以，即，
即，整理得，
解得或（舍去），
所以.
.
【变式2】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，，则等于（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可.
【详解】因为，所以，
即，所以，
则.
.
【变式3】 （24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可.
【详解】因为向量满足，
所以，解得，
所以在方向上的投影向量是，
.
【变式4】（24-25高三上·河南·期末）已知，为相互垂直的单位向量，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】由知，，的模都等于1，先计算的平方，再开方即得模长.
【详解】解：因为向量，满足，，，
所以，
则
【变式5】（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据，由求得，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：由，得，
即，解得，
所以．
题型04 数量积的最值问题
【典例4】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．-2
【答案】B
【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案.
【详解】设的中点为的中点为E，
则有 ，
则 ，
而
而 ，，
故当P与E重合时， 有最小值 ，
所以的最小值为，
.
【变式1】（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案.
【详解】因为则，则，
所以，所以，
，
.
【变式2】（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围．
【详解】延长交于点，延长交于点，
如图所示：
根据正八边形的特征，可知，
又，
所以，
，
则的取值范围是.
.
【变式3】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由投影向量的定义得到当在上时，取得最小值，进而得到答案.
【详解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最小值，
延长交的延长线于点，
的最小值为，
其中正八边形的外角为，故，
故，，
故，
所以最小值为.

题型05 判断三角形的形状
【典例5】（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，若且，则为（ ）
A．四边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【答案】C
【分析】根据可得为等腰三角形，根据可得，由此可得答案.
【详解】∵，∴，其中分别是与方向相同的单位向量.
如图，在边上分别取点，使，
作平行四边形，则，
由得平行四边形为菱形，则为的平分线，
由得，故，
延长交于点，则，故既是高线，又是角平分线，
∴为等腰三角形，且，
∵，∴，
由得，，
∴为等边三角形.
.
【变式1】（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，若，则△ABC为（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据向量的减法法则可得，化简可得，即可得出结果.
【详解】解：由题意可知：，
故，则，
故，即△ABC为直角三角形.
【变式2】（23-24高一下·山东枣庄·期中）中，若非零向量与满足，，则为（ ）
A．等腰直角三角形B．四边均不相等的直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】利用和都为单位向量，得到，再利用，得到，判断即可．
【详解】和都为单位向量，垂直平分，故，
，，
为等腰直角三角形．
．
【变式3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（ ）
A．等腰（非直角）三角形B．等边三角形C．直角（非等腰）三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解.
【详解】是非零向量且满足，，
，，
即，，
，
，且，又，
所以，
∴是等边三角形.
．
【变式4】是所在平面上一点满足的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得.
【详解】由，得，即，
两边平方并化简得，则，即，所以是直角三角形.
题型06 三角形的“心”
【典例6】 （24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解.
【详解】由已知得，
所以，所以，
所以点O是的外心，
故选:A．
【变式1】 （23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心D．外心、重心、内心
【答案】B
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可.
【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心；
取的中点分别为，连接，
则有，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
即N为的重心；
由，即，同理，
所以为垂线的交点，故为的垂心.
【变式2】（23-24高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据四边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可.
【详解】因为，，，
所以，
因为O为的内心，设，由题意，
则，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有，
所以，
即，
所以，
．
．
题型07 新定义问题
【典例7】 （24-25高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．若，则
【答案】BB
【分析】根据数量积的公式和新定义判断即可.
【详解】A选项，，则，即或，所以，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C错；
D选项， 当时，，故D错.
B.
【变式1】（23-24高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量为B．
C．D．若，则与平行
【答案】BD
【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
【详解】对于选项A，在上的投影向量为，
可知与共线，但与共线，两者方向不一定相同，
所以在上的投影向量不为，故选项A错误，
对于选项B，，故选项B错误，
对于选项C，，
显然时，不成立，故选项C错误，
对于选项D，由，所以，
则，即，故选项D错误，
D．
【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需错误理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可.
【变式2】（23-24高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量，定义新运算，则（ ）
A．当时，
B．对于任意非零向量，都有
C．对于不垂直的非零向量，都有
D．若，则
【答案】BD
【分析】由定义新运算及数量积的定义分别判断即可．
【详解】设为向量与的夹角，由新运算可知，，
对于A，由上可知，
则，
又，所以，则，
当为钝角时，，即，故A错误；
对于B，因为，
，
所以，故B错误；
对于C，设为非零常数，
则，
当时，，故C错误；
对于D，因为，
所以，所以，
又，所以，所以中至少一个为0，则，故D错误，
D．
【变式3】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．对于任意与不共线的非零向量，都有
C．对于任意的非零实数，都有
D．若，，则
【答案】BBD
【分析】对于A：根据题中定义即可判断；对于BC：根据题意结合数量积的运算律分析判断；对于D：分析可知，可得，进而可知，即可得结果.
【详解】对于选项A：因为，，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，
当且仅当时，，故C错误；
对于选项D：若，，
则，
可得，则，
且，可知，
结合题意可知，，所以，故D错误；
BD.
【变式4】定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有
A．在方向上的投影为
B．
C．
D．若，则与平行
【答案】BD
【解析】本题首先根据投影的定义判断出是否错误，然后通过即可判断出是否错误，再然后通过取即可判断出是否错误，最后通过计算得出即可判断出是否错误并得出答案．
【详解】由向量投影的定义可知，A显然不成立；
，故B成立；
，当时不成立，故C不成立；
由，得，即两向量平行，故D成立．
综上所述，故选BD．
一、单选题
1．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知单位向量的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解.
【详解】由已知有，.
故.
.
2．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A．12B．8C．4D．14
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.
【详解】,
3．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）设非零向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两边平方后得即可.
【详解】因为，两边平方得，
所以，故.
4．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据等式变形，再两边平方结合已知条件计算得出结果；
【详解】，
等式两边平方得，
因为，，，化简可得，
所以.
.
5．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形中，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算结合数量积的运算性质即可求解．
【详解】在平行四边形中，，
由题意得.
.
6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得错误答案.
【详解】因为，所以，
由于，所以，
由于，所以.
7．（23-24高一下·河北沧州·期末）在中，，，P是BN上一点，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】
如图，，，且，
因三点共线，故，即，，
故．
．
8．（24-25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用投影向量的意义求出，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案.
【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则，
又，则，
解得，由，解得.
二、多选题
9．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）设，是两个相互垂直的单位向量．若向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据平面向量的数量积、模长的运算、向量平行逐项判断即可得结论.
【详解】，是两个相互垂直的单位向量，
所以，
对于A，，
，所以，故A错误；
对于B，，故B不错误；
对于C，，所以，故C错误；
对于D，，故D不错误.
C.
10．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据向量数量积的运算即可判断，；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断，.
【详解】对于，若，则，故不错误；
对于，设，的夹角为，所以，
若，则，所以，即，同向，
所以，故错误；
对于，若，则，
所以，
因为，，所以，故错误；
对于，设，的夹角为，
若，则，
所以，
所以，所以，故错误.
故选：.
11．（24-25高一下·湖南岳阳·开学考试）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ）
A．若，则
B．非零向量满足，则与的夹角为
C．非零向量和满足，，则
D．的外接圆的圆心为，若，且，则向量在向量方向上的投影向量为
【答案】BCD
【详解】A选项，变形计算得到，得到或，或；B选项，利用向量线性运算法则得到四边形为菱形，可确定与的夹角为；C选项，利用计算出，得到模长；D选项，推出，为等边三角形，，利用投影向量的定义得到在方向上的投影向量为.
【分析】A选项，，
故或，或， A错误；
B选项，设，，则，
又，故为等边三角形，
又，四边形为平行四边形，
所以四边形为菱形，
由此可确定与的夹角为，B错误；
C选项，，，
故，
又，故，，故C错误；
对于D，，为中点，又为外接圆圆心，，
，为等边三角形，，，
在方向上的投影数量为：，
在方向上的投影向量为，D错误.
CD
三、填空题
12．（23-24高一下·四川内江·期中）已知，，均为单位向量，且满足，则 .
【答案】/
【分析】由题意，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解.
【详解】由题意，所以，解得.
故答案为：.
13．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 .
【答案】8
【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利用定义计算即可.
【详解】由得，
所以，所以.
故答案为：.
14．（24-25高三上·天津·期末）在三角形ABCD中在AD上取一点M，在AB上取一点P，使得过M点作交BC于N点，若线段MN上存在一动点E，线段CD上存在一动点
（1）若用向量表示向量 ；
（2）若则的最小值为 .
【答案】
【分析】（1）根据三角形的性质、平面向量的线性运算法则，求出用向量表示向量的式子；
（2）由结合算出然后根据向量的模的公式算出的最小值．
【详解】解：（1）根据题意，可得且所以可得
结合、可得；
（2）因为所以
观察图形可得：当时等号成立，
所以可得即的最小值为
故答案为：；
四、解答题
15．（24-25高三上·上海·期中）已知，且.
(1)求向量与的夹角大小；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果；
（2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由可得，
即，
所以，解得，
且，所以.
（2）
.
16．（24-25高一上·江西景德镇·期末）如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点．
(1)试用表示和；
(2)若，求．
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出；
（2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
设，所以，
又三点共线，所以，解得，
所以.
（2）因为，
设，
又三点共线，所以，解得，所以，
所以，
又，即，
即，解得或（舍去）.
17．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足
(1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；
(2)若为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可；
（2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可.
【详解】（1）由题意得，
则，即，
因为，则，
所以，
，
所以，解得.
（2）由（1）知，，
因为为钝角，所以，即，
若共线，设，即
则，解得或，
要使为钝角，则且，
即实数t的取值范围为．
18．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则
(1) ；
(2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）表达出，利用向量数量积公式得到；
（2）设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为.
【详解】（1）由题意可知：，，
则，
，
所以
.
（2）因为点为线段（含端点）上的动点，设，，
则，
，
其中，
可得
，
故当时，取得最小值，最小值为.
19．（23-24高一下·浙江宁波·期末） 已知向量满足，且与互相垂直.
(1)求向量在向量上的投影向量 （用表示）；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“*”：（其中是非零向量和的夹角），求
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由与互相垂直得，再根据投影向量的定义计算可得答案；
（2）利用定义对平方再开方计算可得答案.
【详解】（1）因为与互相垂直，所以，
可得，所以，
向量在向量上的投影向量为
；
（2）因为，
又，所以，，
.
课程标准
学习目标
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．
2.能利用运算律进行向量的数量积运算．
1.通过向量减法与数除运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．
2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.