人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念教案配套课件ppt

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1.理解向量数量积的含义及其物理意义.2.知道向量的投影与向量数量积的几何意义.3.掌握数量积的定义及运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.
在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成θ角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cs θ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F||s|cs θ.在这个公式中,当θ为锐角时,W>0,称力对物体做了正功;当θ为钝角时,W<0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积(也称内积).物体运动时,本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积.
知识点一:两个向量的夹角
名师点析 两向量的方向与夹角关系除了两非零向量夹角的一般情况,特殊地,当=0时,a与b同向;当=π时,a与b反向;当= 或a与b中至少有一个是零向量时,a⊥b.
微练习作出向量a与b的夹角:
知识点二:向量数量积的定义1.一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cs为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.2.数量积的性质如果a,b都是非零向量,向量的数量积有如下性质.
名师点析 (1)向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为a×b或ab.(2)由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,a·b的符号由cs决定,即由的大小决定.也就是说,两个非零向量的数量积可以是正数,可以是零,还可以是负数.这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.(3)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是[0,π].
微思考向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?提示当0°≤<90°时,a·b为正;当90°<≤180°时,a·b为负;当=90°时,a·b为零.微练习若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b=　　　　　. 答案±12
知识点三:向量的投影与向量数量积的几何意义
2.给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.
3.一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cs为向量a在向量b上的投影的数量.(1)两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.(2)当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cs,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.名师点析 (1)如果a,b都是非零向量,则b在a方向上的投影的数量可以记为|b|cs,也可记为a在b方向上的投影的数量与b在a方向上的投影的数量是不一样的.(2)投影是数量而不是长度,它的正负与两向量的夹角有关.
微思考一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?提示一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.微练习已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于(　　)A.-4　　　　　　B.4答案A
与向量数量积有关命题的判断例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为(　　)①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.A.1B.2C.3D.4
解析①中因为a·b=|a||b|cs θ,所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cs θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cs π=-|a||b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当|a|=|b|,如果a与c的夹角和b与c的夹角不等时,则|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.答案C
反思感悟 两向量夹角的关注点两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为 (或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
变式训练1设a,b,c是三个向量,有下列命题:①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;②若a·b=0,则a=0或b=0;③a·0=0.其中正确的有(　　)A.0个B.1个C.2个D.3个解析①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③中,a·0=0,即③不正确.答案A
求向量的投影的数量或数量积
反思感悟 1.求向量数量积的步骤(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π].(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积,即a·b=|a||b|cs θ.2.求投影的数量的两种方法(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cs,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cs.
向量数量积的性质及应用
分析(1)根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.(2)利用向量数量积的公式求解.
(1)解析如图,连接AC,BD,则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,
用数形结合法求向量的夹角求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角,并结合图形利用平面几何性质求出夹角.
典例 已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求.
方法点睛 熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类问题的有效方法.
变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则是(　　)
解析如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,∵|a+b|=|a-b|,∴四边形ABCD为矩形.在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是(　　)A.e1·e2=1B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.|e1·e2|<1解析设e1与e2的夹角为θ,由题意知θ=0或π,则e1·e2=|e1||e2|cs θ=±1.所以|e1·e2|=1.答案CA.3B.6C.9D.12答案B
3.已知|a|=3,|b|=4,且=60°,则a在b方向上投影的数量为　　　　　. 
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为　　　　　.