高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册导数与函数的极值、最值教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册导数与函数的极值、最值教案设计，共9页。
板书设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
问题探究1
1.函数的极值
情境与问题
如图(1)所示,在群山之中,各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点.同样,各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处,但它却是其附近的最低点.
观察图(2)中函数的图像,指出其中是否有类似山峰、山谷的地方,如果有,尝试用数学语言描述.
结论:从图(2)中可以看出,函数在这三点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最大者;而在这两点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最小者.
教师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
培养学生探索发现问题的能力.
概念形成
函数的极值与极值点
一般地,设函数的定义域为,设,如果对于附近的任意不同于的,都有
（1）,则称为函数的一个极大值点,且在处取极大值;
（2）,则称为函数的一个极小值点,且在处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点.
极大值与极小值都称为极值.
教师引导学生通过函数图像理解极值点和极值的概念.
通过师生互动，培养学生的数学抽象核心素养.
问题探究2
2.导数与函数的极值
探究1 从下图所示的函数的图像中可以看出,对应的横坐标,都是函数的极值点.已知曲线在,处都存在切线.
（1）处的切线具有什么特征?这说明在处的导数具有什么特点?
（2）曲线在附近的点处的切线具有什么特征?
提示:(1)曲线在处的切线平行于轴,这等价于.
（2）在点与点左侧的附近,曲线的切线的斜率都大于0;在右侧的附近,曲线的切线的斜率都小于0.在点与点的附近则正好相反.因此,在两侧附近的符号不一样.
结论:一般地,如果是的极值点,且在处可导,则必有.
探究2 已知,求所有使得0的,并判断所求得的数是否为函数的极值点.提示:不是函数的极值点.
探究3 若存在,“”是“是的极值点”的什么条件?
提示:必要不充分条件.
让学生自己根据函数图像发现导数与极值、极值点的关系.
教师总结此结论，让学生理解.
学生通过画出函数的图像，回答此问题.
教师指导学生阅读教材第93页例1处的解答.
通过探究2学生回答探究3.
通过学生自己发现导数和极值点的关系，培养学生探究发现问题的能力.
由探究2和探究3学生得出函数取得极值的条件.
形成规律
一般地,设函数在处可导,且.
（1）如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有0,那么此时是的极大值点.
（2）如果对于左侧附近的任意,都有,对于右侧附近的任意,都有0,那么此时是的极小值点.
（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则一定不是的极值点.
学生用自己的语言表达该规律，教师进行必要的修正.
通过观察和讨论得出极值与极值点和导数的关系，培养学生抽象概括的能力.
问题探究3
3.函数最值的求法
尝试与发现
观察下图所示函数的图像,回忆函数最值的定义,回答下列问题.
（1）图中所示函数的最值点与最值分别是多少?
（2）图中所示函数的极值点与极值分别是多少?
提示:函数的最大值点为2,最大值为3;最小值点为0,最小值为;极大值点为,极大值为2;极小值点为0,极小值为.
（3）一般地,函数的最值与函数的极值有什么关系?怎样求可导函数的最值?
学生回顾函数最值的定义，自主完成“尝试与发现”中的问题（1）（2）.
学生小组探究极值与最值的关系.
通过讨论总结出求函数
最值的方法.
形成结论
一般地,如果函数在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数的定义域为且存在最值,函数在内可导,那么函数的最值点要么是区间端点或,要么是极值点.
教师引导学生理解极值点与最值点，极值与最值之间的关系.
让学生体会解题方法的
支撑点是对概念的理解和把握.
应用举例
例1 已知函数,求函数的极值,并作出函数图像的示意图.
解 由题意可得
.
解方程,可得或.
解不等式,可得或,此时递增.
解不等式,可得,此时递减.
因此,在上递增,在上递减,在上递增,而且.
从而可知是函数的极大值点,极大值为;
是函数的极小值点,极小值为；
函数图像的示意图如图所示.
练习:教材第96页练习A第2题.
例2 已知,求的极值点以及极值、最值点以及最值.
解 当时,
解方程,可得或.
解不等式,可得或1,此时递增.
解不等式,可得,此时递减.
因此,在上递增,在上递减,在上递增.由于,可知是函数的极大值点,极大值为；
是函数的极小值点,极小值为.
又因为,所以函数的最大值点为1,最大值为对任意实数都是成立的,因此函数的最小值点为0,而且最小值是0.
学生分组练习,交流讨论,教师巡视,收集信息及时评价.
教师指出:
为了方便起见,也可以先将例1中的结论整理成如下表格的形式(表示递增,表示递减),然后再作示意图.
结合例1,教师引导学生总结求函数极值的步骤.
求可导函数的极值的步骤:
（1）确定函数的定义区间,求导数;
（2）求方程的根;
（3）用函数的导数为0的点,
顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么在这个根处无极值.
学生独立完成,集体订正答案.
学生自主完成例2,教师引导归纳利用导数求函数最值的步骤.
设函数在上连续,在内可导,则求在上的最大值与最小值的步骤如下:
（1）求在内的极值;
（2）将的各极值与比较,得出函数在上的最值.
通过例题，使学生总结出利用导数求函数极值和最值的步骤，掌握新知识.
课堂小结
1.知识
（1）利用导数求函数的极值；
（2）利用导数求函数的最值.
2.思想方法
本节用到了数形结合的思想方法.
学生归纳小结，教师补充完善.
引导学生构建知识框架，从整体上把握本节内容.
布置作业
1.教材第96页练习A第3，4，5，6题.
2.教材第96页练习B第4题.
学生独立完成，教师批阅.
通过练习巩固本节重点
知识.
导数与函数的极值、最值
1.函数的极值与极值点
一般地,设函数的定义域为,设,如果对于附近的任意不同于的,都有（1）,则称为函数的一个极大值点,且在处取极大值
（2）,则称为函数的一个极小值点,且在处取极小值
极大值点与极小值点都称为极值点
极大值与极小值都称为极值
2.导数与函数的极值
一般地,如果是的极值点,且
在处可导,则必有
一般地,设函数在处可导,且.
（1）如果对于左侧附近的任意,都有0,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极大值点
（2）如果对于左侧附近的任意,都有0,对于右侧附近的任意,都有,那么此时是的极小值点
（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则一定不是的极值点
3.函数最值的求法
一般地,如果函数在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数的定义域为且存在最值,函数在内可导,那么函数的最值点要么是区间端点或,要么是极值点
例1
例2
4.小结
（1）知识
①利用导数求函
数的极值
②利用导数求函
数的最值
（2）思想方法
数形结合思想
5作业