高中基本初等函数的导数教案设计

这是一份高中基本初等函数的导数教案设计，共7页。
板书设计
教学研讨
由某一点处导数值过渡至导函数，利用导数的定义计算几个特殊幂函数的导函数，归纳出幂函数的导数公式，符合学生的认知规律.
应用基本初等函数的导数公式及其导数的几何意义，初步研究函数的图像，为后续学习利用导数研究函数的性质做了很好的铺垫.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
问题探究1
1.导函数
探究1 已知函数,任取一实数,判断在处是否可导,如果可导,求出,并观察与的关系.
提示:是关于的函数.
探究2 对于函数,如何求的值?
提示:将分别代入可求得.
探究3 若是一个确定的值,则与的关系是怎样的?
结论:
= 1 \* GB3 ①.
= 2 \* GB3 ②是一个函数,而(若是定义域内一个确定的值)是在处的函数值.
让学生利用导数的定义求.
学生回答，教师指出求在某点处的导数的方法.
教师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
培养学生的动手能力以及数学运算的数学核心素养.通过问题的探
究引入导函数的概念.
概念形成
一般地,如果函数在其定义域内的每一点都可导,则称可导.此时,对定义域内的每一个值,都对应一个确定的导数.于是,在的定义域内,是一个函数,这个函数通常称为函数的导函数,记作(或)即
导函数通常也简称为导数.
教师引导学生理解导函数的概念.进一步找到与的区别与联系.
区别:是函数在处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限,是一个常数.而是函数的导函数.
联系:是导函数在处的导数.
通过师生互动，培养学生数学抽象的核心素养.
问题探究2
2.常数函数与幂函数的导数
探究4分别求出下列函数的导数:
（1）,其中是常数;（2）;
（3）；（4）；（5）.
提示:（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
探究5 观察所求导函数的结论,的结果是怎样的?
探究6 你能根据导函数分析不同点的切线有什么联系或不同吗?以和为例.
提示:由的导函数是偶函数可知,在曲线上,自变量互为相反数的两点,它们的切线的斜率相等;又因为时,是增函数,这就说明曲线在的那一部分,自变量越大,切线的斜率越大,如图(1)所示.
同样,由的导函数为也能得到类似的结论.例如,曲线在的那一部分,自变量越大,切线的斜率大,如图（2）所示.
让学生动手去做，然后教师引导学生将函数写成幂的形式.
学生归纳总结相应的结论.
学生先回顾导数的几何意义，然后思考并回答该探究问题，教师补充.
通过动手尝试，让学生探究发现幂函数的求导公式.
通过导函数和原函数两图像，找到两者的关系，为后续学习利用导数研究函数的单调性做好铺垫.
形成公式
为常数,
师给出前面得出的几个常见函数的有关导函数结论，学生观察、总结，得到两个公式.
通过观察和讨论得出幂函数的导数公式，体会认知事物从特殊到一般的规律.
导数公式
教师指出：在科学研究和工程计算中，经常要用一些初等函数的导数.为了使用方便，数学工作者制作出了常用函数的求导公式表.
教师出示公式表，指导学生识记.
让学生熟练掌
握常用函数的求导
公式.
应用举例
例1 已知函数,求.
解 在中,令,可得
,因此.
在中令,可得,
即,因此.
练习:第78页练习第2,3题.
例2 已知,求以及曲线在点处的切线的方程.
解 因为,
所以.
又因为,所以所求切线方程为
,即.
练习:教材第77页例4.
例3 已知函数,而是曲线的切线,且经过点.
（1）判断是否是曲线上的点;
（2）求的方程.
解 （1）因为,
所以点不是曲线上的点.
（2）设切点,
因为,
所以切线的斜率为,又因为,
所以直线的方程为,
将代入上式并整理,可得
由此可解得或.
因此,切点为或,切线方程为
或.
即的方程为或.
练习:第78页练习第4题.
教师操作课件，引导学生自己解决问题，让学生板演.
提示：记住题目中的，.
学生分组练习交流讨论，教师巡视，收集信息及时评价.
学生自学例2，教师引导归纳.
指名学生板演，结合教材订正答案.
教师引导学生区分在某点与过某点的切线的区别：在某点的切线则该点一定是切点，而过某点的切线，该点不一定是切点.
学生独立完成，集体订正答案.
使学生熟练掌
握利用导数公式求
基本初等函数的导
数的方法.
掌握利用导数公式求切线方程的方法.
通过求过某点的切线方程，提升学生的数学运算核心素养.
课堂小结
1.知识
（1）导函数的概念.
（2）基本初等函数的求导公式.
2.思想方法
数形结合、从特殊到一般的思想方法.
学生归纳小结，教师补充完善.
引导学生构建知识和能力框架，从整体上把握本节内容.
布置作业
1.教材第78页练习A第5题.
2.教材第78页练习B第1，2，3题.
学生独立完成，教师批阅.
通过练习巩固
本节重点知识.
6.1.3基本初等函数的导数
1.导函数
（1）定义
一般地,如果函数在其定义域内的每一点都可导,则称可导.此时,对定义域内的每一个值,都对应一个确定的导数.于是,在的定义域内,是一个函数,这个函数通常称为函数的导函数,记作(或)
（2）计算公式
2.常数函数和幂函数的导数公式
（1）(C为常数);
（2）
3.导数公式表
4.例题
例1
例2
例3
5.小结