高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册导数与函数的单调性教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册导数与函数的单调性教案，共7页。
板书设计
教学研讨
利用学生熟悉的二次函数,研究导数与函数单调性的关系,学生易于作出该函数及其导函数的图像,通过观察图像学生就可以自主发现导数与函数单调性的规律,符合由已知到未知，由特殊到一般的认知规律.
教材关于求单调区间例题的设置从二次函数到三次函数，再到与指数有关的函数，突出了利用导数研究单调性的价值所在.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
问题探究1
1.函数单调性与导数
尝试与发现
竖直上抛的一个小物体,其高度与时间之间的关系是2).求出这个函数的导函数,作出这个㖤数的图像与导函数的图像,观察函数的单调性与导函数之间的关系,并总结出一般结论.
教师引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
学生作图，自主探究（如图）.
从图可以看出,在区间上,
，
这说明曲线在左边部分的每一点处的切线斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此函数在区间上是增函数;类似地,在区间上,
，
这说明曲线在右边部分的每一点处的切线斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此函数在区间上是减函数.
事实上,函数在上是增函数,在上是减函数.
培养学生探索
发现问题的能力.
概念形成
函数单调性与导数
（1）如果在区间内,,则在上是增函数;
（2）如果在区间内,,则在上是减函数.
教师引导学生通过导函数图像与原函数图像的关系理解函数单调性与导数的关系.
教师指出,当时,曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态;当时,曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,由此可得函数在区间上的单调性.
培养学生数学
抽象的核心素养同时让学生体会从
特殊到一般的数学
思想.
问题探究2
2.原函数图像增长快慢与导函数值大小的关系
探究 在同一坐标系中画出函数，
的图像,观察时,函数图像增长的快慢,与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么?
让学生动手作出图像，然后老师引导得出结论.
教师关注学生作图的正确性，及时进行指导.
通过动手尝试，让学生探究发现原函数图像增长快慢与导数值的大小的关系.
形成规律
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较快,即越大,则函数的切线的斜率越大,函数的变化率就越大.
学生用自己的语言表达该规律，教师进行必要的修正.
通过观察和讨论得出导数值的大小与函数图像增长快慢的关系，体会认知事物从特殊到般的规律.
应用举例
例1 求函数的单调区间.解 据题意有
.
令,可得,解得.因此,函数在区间上是增函数.
令,可得,解得.因此,函数在区间上是减函数.
更进一步,可知函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
例2 求函数的单调区间.
解 据题意有
.
令,可得,解得或;
令,可得0,解得.
因此,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
例3 求函数的单调区间.解 据题意有
.
令,可得,因为恒成立,所以,因此;
令,可得,解不等式可得.
因此,可知函数的单调递增区间为,单调递减区间为,.
例4 生物学上的种群研究表明,很多物种的数量与时间的关系都存在下述规律:一开始,由于物种数量较少,因此物种数量的增加比较慢;随着物种数量的增加,又因为有大量的资源可以利用,物种数量的增加会越来越快;到了一定程度之后,因为资源有限,再加上物种内部的竞争开始变得激烈,物种数量的增加将减缓.假设是时间的函数,而且认为它们都能在某一区间内任意取值,则如图所示的（1）（2）中,哪个能近似地表示上述规律?
解物种数量的增加比较慢,表示曲线在对应点的切线斜率比较小;增加越来越快,表示曲线在对应点的切线斜率越来越大.因此,图(2)能近似地表示上述规律.
例5 讨论函数的单调性,其中为实常数.
解 函数的定义域为.
因为,令,可得,即.因此
当,即时,恒成立,此时在上单调递增;
当,即时,的解为,此时在上单调递减,在上单调递增.
教师操作课件，引导学生自己解决例1.
教师出示例2，指名学生板演，其他学生自主完成.
教师巡视课堂，收集信息，对学生进行指导.
（1）求函数的导数;
（2）令解不等式,所得的范围就是递增区间;
（3）令解不等式,所得的范围就是递减区间;
教师引导学生理解完成例4，关注学生是否能理解利用导数判断函数单调性的实际应用问题.
教师出示例5，指导学生完成教师出示完整的解题过程，示范解题格式提醒学生：解决此类问题要分情况讨论.
通过例1和例2，让学生熟练掌握利用导数求解函数单调区间的方法.
通过总结，让学生掌握利用导数求函数单调区间的方法步骤.
使学生体会数学的应用价值.
提高学生的解题能力，巩固提升本节所学的知识.
课堂小结
1.知识
（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）利用导数识别函数图像 2.思想方法
数形结合、从特殊到一般.
学生归纳小结，教师补充完善.
引导学生构建知识和能力框架，从整体上把握本节内容.
布置作业
1.探索与研究
结合函数研究:如果函数在区间内单调递增,那么在区间内必有吗?
2.教材第91页练习B第2,4题;
教材第91页练习第5题.
学生独立完成，教师批阅.
通过练习巩固
本节重点知识.
导数与函数的单调性
1.函数单调性与导数
（1）如果在区间内,,则在上是增函数
（2）如果在区间内,,则在上是减函数
2.原函数图像增长快慢与导函数值大小的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较快,即越大,则函数的切线的斜率越大,函数的变化率就越大
3.例题
例1
例2
例3
例4
例5
4.小结