高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册导数及其几何意义教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册导数及其几何意义教学设计及反思，共8页。
板书设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
问题探究1
探究1 已知物体运动的位移与时间的关系为.
（1）分别求出物体在与这两段时间内的平均速度;
（2）思考物体在时的速度该如何定义,并指出这一速度的实际意义.
结论:（1）根据平均速度等于平均变化率可知,在内,物体的平均速度为
；
在这段时间内,物体的平均速度为
.
（2）不难想到,如果记时物体的速度为,那么当很小时,物体在以2和为端点的闭区间上的平均速度应该是的近似值，即
.
而且当无限接近于0时,近似会越来越精确,此时,可以看出是无限接近于2的,如下表所示.
因此,可以认为时,物体的速度
这个速度通常称为瞬时速度(简称为速度).这一速度的实际意义是,在附近的任意一小段时间内,物体运动的位移的近似值为.
教师出示问题,引导学生计算物体在与,
3]这两段时间段内的平均速度,学生完成计算后回答.
教师引导学生分别计算上述问题的
2.001时间段内的平均速度,说出自己的发现,并初步修正到最终的结论上.
培养学生的动手能力以
及数学运算核心素养.通过问题的探究体会逼近的数学思想方法.
提醒学生
符号表示的意义.
概念形成1
1.瞬时变化率(即导数)的概念
一般地,设函数在附近有定义,自变量在处的改变量为,当无限接近于0时,若平均变化率无限接近于一个常数,那么称常数为函数在处的瞬时变化率.
此时,也称在处可导,并称为在的导数,即.
2.瞬时变化率的实际意义
瞬时变化率的实际意义是当自变量在处的改变量很小时,因变量对应的改变量的近似值为.
先让学生根据自己的理解说一说瞬时变化率的概念和实际意义，然后教师给予必要的解释和总结.
通过对导数概念的理解，提升学生的数学抽象核心素养.
问题探究2
探究2 已知函数,设自变量在处的改变量为.
（1）依照定义求出;
（2）设为函数图像上一点,探讨无限接近于0时,直线具有什么样的性质.
结论:(1)显然,平均变化率
.
可以看出,当无限接近于0时,无限接近于1,因此
.
（2）从几何上来看,如图所示,点对应的都小于0,而且对应的更加接近于0,这也就是说,直线的斜率都小于1,且的斜率更接近于1;类似地,点对应的都大于0,而且对应的更加接近于0,直线的斜率都大于1,且的斜率更接近于1.
因此,若为函数图像上一点,则无限接近于0时,直线的斜率将无限接近于1,直线将无限接近于过点且斜率为1的直线.这里的直线就是曲线在处的切线.
教师出示问题,引导学生根据导数的定义求出,学生动手计算,得出结果.
教师利用信息技术工具动态演示函数图上的直线的斜率的变化过程,再次强调可以是正值,也可以是负值,但不能为0.
小组展开讨论,利用极限思想,得出当无限接近于0时,直线的斜率无限接近1,直线将无限接近直线.直线就是曲线在处的切线.
通过观察和讨论，探究得出导数的几何意义，培养学生利用极限思想解决问题的能力.
概念形成2
1.曲线的割线与切线
一般地,如图所示,设是平面上的一条曲线,是曲线上的一个定点,是曲线上附近的点,则称直线为曲线的割线,如果无限接近于时,割线无限接近于通过的一条直线,则称直线为曲线在点处的切线.
2.切线的斜率与切线的方程
依照切线的定义可知,如果将函数的图像看成曲线(称为曲线,下同),而且曲线在点处的切线为,则很小时,是附近的一点,割线的斜率是
，
则当无限接近于0时,切线的斜率将无限趋近于切线的斜率.
这就是说,就是曲线在点处(也称在处)切线的斜率,
即.
从而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是.
3.利用导数估计函数值
当很小时,
,
这就是“以直代曲”的思想.
教师归纳曲线在某一点处的割线与切线的定义，以及割线斜率与切线斜率的关系，学生理解并记忆.
教师指导学生写出切线的方程.
培养学生的数学抽象核
心素养.
应用举例
例1 已知函数,求在处的导数.
解 当自变量在处的改变量为时,平均变化率
.
可以看出,当无限接近于0时,无限接近于,因此
.
练习:教材第72页练习第2题.
例2 在生产过程中,产品的总成本一般来说是产量,的函数,记作,称为总成本函数,为了方便起见,经济学家一般假设能在某一区间内连续地取值,并将总成本函数在处的导数称为在处的边际成本,用表示,即.
已知某产品的总成本函数为,求边际成本,并说明其实际意义.
解 设时产量的改变量为,则
.
令,可得.
因此,产量为300的边际成本为600,其实际意义是:此时多生产1件产品,成本要增加600.
练习:教材第68页例.
例3 已知函数，求曲线在处切线的方程
解 因为.
，
又因为，
所以所求切线方程为，
即.
练习：教材第70页例4.
教师出示例1，先让学生板演，再评价讲解.
学生完成练习交流讨论，教师巡视，收集信息，及时评价.
学生自学例2，教师指导评价.
学生完成练习，师生共同核对答案.
教师出示例3，引导学生完成后再评价讲解.
教师让学生板演，找学生评价，共同核对答案.
让学生掌握求函数在某点处的导数的方法，培养学生的数学运算核心素养.
培养学生的自学能力，以及用所学知识解决实际问题的能力.
强化导数的几何意义，掌握求曲线在某点处切线的方程的方法.
课堂小结
1.（1）瞬时速度与瞬时变化率的概念、导数的概念；
（2）导数的几何意义
2.本节用到了极限思想、以直代曲的思想.
学生归纳小结，教师补充完善.
构建知识和方法框架，从整体上把握本节所学内容.
布置作业
1.教材第72页练习A第4题.
2.教材第72页练习B第1，2，3，4，5题.
学生独立完成，教师批阅.
通过完成作业，巩固本节所学知识.
导数及其几何意义
1.瞬时变化率与导数
（1）瞬时变化率(即导数)的概念
一般地,设函数在附近有定义,自变量在处的改变量为,当无限接近于0时,若平均变化率无限接近于一个常数,那么称常数为函数在处的瞬时变化率.此时,也称在处可导,并称为在的导数,即
（2）瞬时变化率的实际意义瞬时变化率的实际意义是当自变量在处的改变量很小时,因变量对应的改变量的近似值为
2.导数的几何意义
（1）切线的斜率:是曲线在点处(也称在处)切线的斜率
（2）切线的方程
3.例题
例1
例2
例3
4.小结
（1）知识
①瞬时速度与瞬时变化率的概率、导数的概念
②导数的几何意义
（2）思想方法
极限思想
以直代曲
5作业