第25讲 正弦函数、余弦函数的图象 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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1.了解正弦函数、余弦函数的图象；
2.会用五点作图法画正弦函数、余弦函数的图象；
3.能够利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.
1 正弦函数的图象
2 余弦函数的图象
余弦函数y=csx,x∈R的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
3 用“五点法”作正弦、余弦函数的简图步骤
(1)确定五个关键点：最高点、最低点、与x轴的三个交点；
(2)列表：将五个关键点列成表格形式；
(3)描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；
(4)连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符号三角函数的图象特征；
(5)平移：将所作的[0,2π]上的曲线向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线.
【题型一】 “五点法”作正弦、余弦函数的图象
相关知识点讲解
1 正弦函数的图象
解析
(1) 画正弦函数y=sinx在x∈[0,2π]的图象
如下图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0)，在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0,sinx0).
若把x轴上从0到2π这一段分成12等份, 使x0的值分别为0,π6,π3,π2,⋯,2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分, 再按上述画点Tx0,sin⁡x0的方法, 就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.
若使x0区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够多的点Tx0,sin⁡x0, 将这些点用光滑的曲线连接起来, 可得到比较精确的函数y=sin⁡x,x∈[0,2π]的图象.
由于诱导公式sinx+2kπ=sinx(k∈Z)，即把函数y=sin⁡x,x∈[0,2π]的图象不断向左右平移(每次平移2π个单位长度)，就可得到正弦函数y=sin⁡x,x∈R的图象.
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
2 余弦函数的图象
解析
由诱导公式可知y=csx=sin(x+π2)，即余弦函数的图象可视为正弦函数向左平移π2个单位长度得到，如下图.
余弦函数y=csx,x∈R的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
3 用“五点法”作正弦、余弦函数的简图步骤
(1) 确定五个关键点：最高点、最低点、与x轴的三个交点；
(2)列表：将五个关键点列成表格形式；
(3)描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；
(4)连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符号三角函数的图象特征；
(5)平移：将所作的[0,2π]上的曲线向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线.
【典题1】 已知函数fx=2sin2x+π6．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数fx在0,π上的大致图象.

【答案】作图见解析
【分析】通过列表得函数fx在0,π内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点连线画出图.
【详解】列表：
描点，连线，画出fx在0,π上的大致图象如图：


变式练习
1.函数y=cs2x-π6在区间-π2，π的简图是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用排除法，先取特殊值，再通过求函数的单调区间判断
【详解】解：因为f(0)=cs-π6=csπ6=32>0，所以排除AC，
由2kπ≤2x-π6≤π+2kπ,k∈Z得kπ+π12≤x≤7π12+kπ,k∈Z，
所以可知函数在π12,7π12上递减，0,π12上递增，所以排除B，
故选：D
2.用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y=2csx，x∈R；
(2)y=sin2x，x∈R.
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.
【分析】利用“五点”作图法：一个周期内确定五个自变量对应的函数值，进而再坐标系上描点并画出它们的函数图象.
【详解】(1)先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象，如下图示.
(2)先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得出整个图象，如下图示，
3.画出函数y=12sin(3x-π6)的简图．
【答案】作图见解析
【分析】应用五点作图法画出函数图象即可.
【详解】应用“五点作图法”，如下表，
描点画出一个周期的图象，然后根据周期性画出简图，如下图，
【题型二】正弦、余弦函数的图象的变换
【典题1】 已知fx=csx-π2,gx=1+sinx,则fx的图象
A．与gx的图象相同
B．与gx的图象关于y轴对称
C．向上平移1个单位,得gx的图象
D．向下平移1个单位,得gx的图象
【答案】C
【解析】由已知fx=sinx
【详解】解：fx=csx-π2=sinx，其向上平移1个单位即可得到gx的图像,故C正确, A错误; fx的图像与gx的图像即不相同也不关于y轴对称,故B D错误.
故选: C.
【典题2】若y=fx的图像与y=csx的图象关于x轴对称，则y=fx的解析式为( )
A．y=cs-xB．y=-csx
C．y=csxD．y=csx
【答案】B
【分析】根据f-x、-fx、fx与fx的图象特征依次判断即可得到结果.
【详解】对于A，y=cs-x=csx，图象与y=csx重合，A错误；
对于B，∵ y=fx与y=-fx图象关于x轴对称，∴y=-csx与y=csx图象关于x轴对称，B正确；
对于C，当x≥0时，y=csx=csx，可知其图象不可能与y=csx关于x轴对称，C错误；
对于D，将y=csx位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，就可以得到y=csx的图象，可知其图象与y=csx的图象不关于x轴对称，D错误.
故选：B.

变式练习
1. 要想得到正弦曲线，只需将余弦曲线( )
A．向右平移π2个单位B．向左平移π2个单位
C．向右平移π个单位D．向左平移π个单位
【答案】A
【分析】由诱导公式及函数图象平移规则即得.
【详解】因为y=csx=sin(x+π2) ,
所以将余弦曲线向右移π2个单位可得y=sin(x-π2+π2)=sinx．
故选：A．
2.三角函数y=2sinx在区间-π,π上的图像为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合三角函数的奇偶性，以及函数的最值点，即可求解.
【详解】解：∵y=2sinx为奇函数，
∴y=2sinx的图像关于原点对称，故排除A、D选项，
三角函数y=2sinx在区间-π,π上的最大值为y=2sinπ2=2，故排除B选项.
故选：C.
3.函数y=cs(-x),x∈[0,2π]的简图是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由cs(﹣x)＝csx及余弦函数的图象即可得解．
【详解】由y=cs(-x)=csx知，其图象和y=csx的图象相同，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
4.函数y=|sinx|-π20时，两函数图象有5个交点.
又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数，
所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.，
即函数y=f(x)-lgx的零点个数是10．
故选：B．

【点睛】本题考查求函数零点个数，解题关键是由周期性，偶函数，及一个区间上的表达式确定出f(x)的解析式，然后作出函数y=f(x)和y=lgx(x>0)的图象，得函数图象交点个数，得函数零点个数．

变式练习
1. 方程sinx=lgx的实数根的个数是
A．1B．2C．3D．无穷多
【答案】C
【分析】作出函数y=sinx,x>0与y=lgx的图像观察图像交点个数即可.
【详解】解析:在同一直角坐标系中作出函数y=sinx与y=lgx的图像,由图可以看出两函数图像有3个交点,即sinx=lgx有3个实数根.

故选：C.
【点睛】本题考查函数图像的应用，将方程的根的个数问题转化为图像的交点个数问题是本题的关键，是基础题.
2.在0,2π内，使sinx>csx成立的x的取值范围为( )
A．π4,πB．π4,π2∪π,5π4
C．π4,5π4D．π4,π2∪3π4,5π4
【答案】C
【分析】作出函数y=sinx和y=csx在0,2π内的图象，根据图象直接观察得到答案.
【详解】作出函数y=sinx和y=csx在0,2π内的图象，
∵ sinx>csx，
∴函数y=sinx的图象在函数y=csx的图象上方的区间就是sinx>csx的解集，
即为π4,5π4.
故选：C.
3.如图为函数y=fx的图象，则该函数可能为( )
A．y=sinxxB．y=csxxC．y=sinxxD．y=sinxx
【答案】B
【分析】取特殊值点即可快速判断.
【详解】由图可知，x=π时，y