第27讲 正切函数的性质与图象 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第27讲 正切函数的性质与图象 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共27页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
1 正切函数的图像与性质
注 表中的k∈Z

【题型一】 正切函数图象
1 正切函数的定义域
根据正切函数的定义，tan α=yx(α的终边与单位圆交于点P(x，y))，当交点P(x，y)在y轴上时，x=0，即当x=π2+kπ，k∈Z，则tan α没意义.
故y=tan⁡x的定义域是x≠π2+kπ，k∈Z.
2 正切函数的周期性
由诱导公式 tan⁡(x+π)=tan⁡x,x∈R，且x≠π2+kπ,k∈Z，
可知道，正切函数是周期函数，周期是π.
注 三角函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=π|ω|.
3 正切函数的奇偶性
由诱导公式 tan⁡(-x)=-tan⁡x,x∈R，且x≠π2+kπ,k∈Z，可知，正切函数是奇函数.
4 正切函数的图象
设x∈0,π2，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的角度B(x0,y0)，过点B作x轴的垂线，垂足是M；
过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则tan⁡x=y0x0=MBOM=ATOA=AT.
由此可见，当x∈0,π2时，线段AT的长度就是相应角x的正切值，我们可以利用线段AT画出函数y=tanx,x∈0,π2的图象，如下图；
当x∈0,π2时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于π2时，AT的长度趋向于无穷大.相应地，函数y=tanx,x∈0,π2的图象从左到右呈不断上升的趋势，且向右上方无限逼近直线x=π2.
又因为正切函数是奇函数，且周期为π，
所以我们可以得到正切函数y=tan⁡x,x∈R,x≠π2+kπ,k∈Z的图象，把它叫做正切曲线.
5 正切函数的单调性
观察正切曲线可知，正切函数在-π2，π2上单调递增.
由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间-π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)上都单调递增.
6 正切函数的值域
当x∈-π2，π2时，tanx在(-∞，+∞)内可取到任意实数值， 但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集R.
【典题1】 画出函数y=2tan12x-π4在x∈[0,2π]上的简图．
【答案】答案见解析
【分析】根据五点作图法画图即可.
【详解】令12x-π4=π2+kπ，k∈Z，可得x=3π2+2kπ，k∈Z，
又x∈[0,2π]，所以直线x=3π2是该函数图象的一条渐近线．
当x=0时，y=2tan-π4=-2；当x=π2时，y=2tan0=0；
当x=π时，y=2tanπ4=2；当x=2π时，y=2tan3π4=-2．
描点(0,-2)，π2,0，(π,2)，(2π,-2)，画虚线x=3π2，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．

【典题2】 函数fx=-tanx-sinx+tanx-sinx|在区间(π2，3π2)内的图象是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论去绝对值符号，化简函数式结合正弦函数与正切函数的图象即可判定.
【详解】当x∈π2,π时，tanxsinx，
∴fx=-tanx-sinx+tanx-sinx=-2sinx，
由选项可判定B选项图象正确.
故选：B

变式练习
1.下列四个函数中，以π为最小正周期的偶函数是( )
A．y=tanxB．y=csxC．y=sinxD．y=sinx
【答案】A
【分析】由正弦、余弦、正切函数的图象结合性质判断即可.
【详解】对于A：函数y=tanx的图象如下图所示：
由图可知，y=tanx的周期为π，且图象关于y轴对称，则y=tanx为偶函数，故A正确；
对于BC：函数y=csx，y=sinx的最小正周期都为2π，故BC错误；
对于D：函数y=sinx的图象如下图所示：
由图可知，函数y=sinx不具有周期性，故D错误；
故选：A
2.“α∈0,π2”是“tanα＞0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可.
【详解】充分性：若α∈0,π2，则tanα＞0成立，故充分性成立；
必要性：若tanα＞0，则kπ