第26讲 正弦函数、余弦函数的性质 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第26讲 正弦函数、余弦函数的性质 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（解析版），共26页。学案主要包含了考点定位，A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义，会求y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的周期；
2.掌握y=sinx、y=csx的奇偶性和对称性，会判定简单函数的奇偶性；
3.掌握y=sinx、y=csx的单调性，并能利用单调性比较三角函数值的大小；
4.会求y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的单调区间；
5.掌握y=sinx、y=csx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.
1 周期函数
一般地，对于函数f(x) ，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足
f(x+T)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
2 正弦函数，余弦函数的图像与性质
注 表中的k∈Z
【题型一】 三角函数的最小正周期
相关知识点讲解
y=sinx、y=csx的最小正周期为2π;
y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的最小正周期为2π|ω|.
【典题1】 下列函数中，最小正周期为π2的是( ).
A．y=sinx2B．y=sin2xC．y=cs4xD．y=csx
【答案】C
【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可.
【详解】由题意知y=sinx2周期为4π，y=sin2x周期为π，
y=cs4x周期为π2，y=csx周期为π.
故选：C

变式练习
1. 函数fx=2cs2x+π2是( ).
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为fx=2cs2x+π2=-2sin2x，
所以fx的最小正周期T=2π2=π，且为奇函数.
故选：C
2.函数y=3cs4x+π3的最小正周期是( )
A．2πB．π2C．π3D．π
【答案】B
【分析】根据余弦型函数y=Acs(ωx+φ)的最小正周期T=2πω，进而即得.
【详解】由题可知最小正周期T=2π4=π2.
故选：B.
3.函数fx=sinωxω>0的最小正周期为π2，则ω的值为( )
A．4B．2C．1D．12
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的周期计算公式T=2πω即可求解.
【详解】由T=2πω，
∴ω=2πT=2ππ2=4.
故选：A.
【题型二】 正、余弦函数的对称性
相关知识点讲解
【典题1】 关于函数f(x)=3sin2x+π4，有下列命题：
①函数f(x)是奇函数；
②函数f(x)的图象关于直线x=-3π8对称；
③函数f(x)可以表示为y=3cs2x-π4；
④函数f(x)的图象关于点-π8,0对称
其中正确的命题的个数为( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据函数f(x)=3sin2x+π4的性质，对各个选项逐个分析判断即可得解.
【详解】对①，f(0)=3sin(π4)=322≠0，函数f(x)不是奇函数，故①错误；
对②，由f(-3π8)=3sin(-π2)=-3，所以函数图象关于直线x=-3π8对称，故②正确；
对③，f(x)=3sin2x+π4=3sin2x+π4-π2+π2=3cs2x-π4，故③正确；
对④，由函数f-π8=3sin(0)=0，所以函数的图象关于点-π8,0对称，故④正确，
共有3个正确，
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，主要考查了三角函数的对称性，判断过程中主要用了代入验算法，属于简单题.
【典题2】 已知函数f(x)=2cs(x+π3+φ)是奇函数，则tanφ的值为( )
A．-3B．33C．-33D．-13
【答案】B
【分析】利用余弦型函数的性质，求出φ的表达式，再利用诱导公式计算即得.
【详解】由函数f(x)=2cs(x+π3+φ)是奇函数，得π3+φ=kπ+π2,k∈Z，
则φ=kπ+π6,k∈Z，所以当k∈Z时，tanφ=tan(kπ+π6)=tanπ6=33.
故选：B
变式练习
1. 下列函数中为奇函数的是( )
A．y=sinx+csxB．y=csx+sinx
C．y=sinx⋅csxD．y=csx⋅sinx
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义对选项一一判断即可．
【详解】对A，由f-x=sin-x+cs-x=fx，fx=sinx+csx不是奇函数；
对B，由f-x=cs-x+sin-x=csx-sinx≠-fx，fx=csx+sinx不是奇函数；
对C，由f-x=sin-x⋅cs-x=sinx⋅csx=fx，fx=sinx⋅csx不是奇函数；
对D，由f-x=cs-x⋅sin-x=-csx⋅sinx=-fx，又fx=sinx⋅csx的定义域为R关于原点对称，所以D正确．
故选：D
2.函数y=sin2x+π6的图象( )
A．关于直线x=π3对称B．关于直线x=-π3对称
C．关于点π6,0对称D．关于点π3,0对称
【答案】B
【分析】根据选项，采用代入法，判断选项.
【详解】A.fπ3=sin2×π3+π6=sin5π6≠±1，所以函数不关于直线x=π3对称，故A错误；
B. f-π3=sin2×-π3+π6=sin-π2=-1，所以函数关于直线x=π3对称，故B正确；
C. fπ6=sin2×π6+π6=sinπ2=1≠0，所以函数不关于点π6,0对称，故C错误；
D. fπ3=sin2×π3+π6=sin5π6≠0，所以函数不关于点π6,0对称，故D错误；
故选：B
3.设f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若fπ4=1，则函数y=fπ4-x
A．是奇函数B．图象关于点π2,0对称
C．是偶函数D．图象关于直线x=π2对称
【答案】C
【分析】由fπ4=1可得ωπ4+φ=π2+2kπ,k∈Z，化简y=fπ4-x可得f(π4-x)=csωx，即可得到结果.
【详解】由题意得fπ4=sinωπ4+φ=1，
∴ωπ4+φ=π2+2kπ,k∈Z．
∴y=fπ4-x=sinωπ4-x+φ=sinωπ4+φ-ωx=sinπ2+2kπ-ωx
=sinπ2-ωx=csωx，
∴函数y=fπ4-x为偶函数．
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，熟记正余弦函数的图像和性质是关键，属基础题.
4.已知函数fx=5sin3x+φ，φ∈-3,6，若fx+fπ2-x=0，则所有满足条件的φ之和为( )
A．π4B．π2C．3π4D．5π4
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的对称性即可求解所有符合条件的φ.
【详解】∵fx+fπ2-x=0，∴fx=5sin3x+φ关于π4,0对称，
∴φ=kπ-34π，k∈Z且φ∈-3,6，解得满足题意的φ有-34π，14π，54π．
∴所有满足条件的φ之和为34π．
故选：C
5.已知函数fx=sinx+π4+φ是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0B．π4C．π2D．3π4
【答案】D
【分析】根据正弦型函数的奇偶性，得到关于φ的方程，找到满足条件的φ值即可.
【详解】fx=sinx+π4+φ是奇函数，则只需π4+φ=kπ，k∈Z，
所以φ=kπ-π4,k∈Z，
所以k=1时，φ=3π4.
故选：D.
6.若函数fx=csx-π3+φ为偶函数，则φ的值可以是( )
A．5π6B．4π3C．πD．π2
【答案】B
【分析】由题意可知：x=0为函数fx的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【详解】由题意可知：x=0为函数fx的对称轴，
则-π3+φ=kπ,k∈Z，则φ=kπ+π3,k∈Z，
对于选项A：令φ=kπ+π3=5π6，解得k=12∉Z，不合题意；
对于选项B：令φ=kπ+π3=4π3，解得k=1∈Z，符合题意；
对于选项C：令φ=kπ+π3=π，解得k=23∉Z，不合题意；
对于选项D：令φ=kπ+π3=π2，解得k=16∉Z，不合题意；
故选：B.
7.已知函数fx=sinωx+φ ω>0，若f0=22，f-π3=-f56π，则ω的最小值为( )
A．3B．1C．67D．23
【答案】C
【分析】由f0=22求出φ的取值，再根据f-π3=-f56π，分π4,0是函数fx的一个对称中心与不是对称中心两种情况讨论，分别求出ω的最小值，即可得解.
【详解】因为f0=22，所以sinφ=22，
则φ=π4+2k1πk1∈Z或φ=3π4+2k2πk2∈Z，
又f-π3=-f56π，-π3+5π62=π4，
当π4,0是函数fx的一个对称中心时，fπ4=0，
若φ=π4+2k1πk1∈Z，则sinπ4ω+π4+2k1π=0，
所以π4ω+π4+2k1π=kπ,k∈Z，则π4ω=-π4+k-2k1π，又ω>0，
所以当k-2k1=1时ωmin=3；
若φ=3π4+2k2πk2∈Z，则sinπ4ω+3π4+2k2π=0，
所以π4ω+3π4+2k2π=kπ,k∈Z，则π4ω=-3π4+k-2k2π，又ω>0，
所以当k-2k2=1时ωmin=1；
当π4,0不是函数fx的一个对称中心时，因为f-π3=-f56π，
即sin-π3ω+φ=-sin5π6ω+φ，
所以5π6ω+φ--π3ω+φ=π+2kπk∈Z，
所以7π6ω=π+2kπk∈Z，又ω>0，
所以当k=0时ωmin=67，
综上所述：ωmin=67.
故选：C
【题型三】 正、余弦函数的单调性
相关知识点讲解
【典题1】 下列函数在π4,3π4上单调递减的是( )
A．y=sin4xB．y=sin2x-π12
C．y=cs2x-π3D．y=csx-π6
【答案】D
【分析】利用x∈π4,3π4,求解整体的范围，即可根据正余弦函数的性质，结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由于x∈π4,3π4,所以4x∈π,3π⊄π2+2kπ,3π2+2kπ,,k∈Z,故y=sin4x在π4,3π4不是单调递减，
对于B，由于x∈π4,3π4,所以2x-π12∈5π12,17π12⊄π2+2kπ,3π2+2kπ,,k∈Z,故y=sin2x-π12在π4,3π4不是单调递减，
对于C，由于x∈π4,3π4,所以2x-π3∈π6,7π6⊄2kπ,π+2kπ,,k∈Z,故y=cs2x-π3在π4,3π4不是单调递减，
对于D，由于x∈π4,3π4,所以x-π6∈π12,7π12⊂2kπ,π+2kπ,,k∈Z,故y=csx-π6在π4,3π4是单调递减，
故选：D
【典题2】已知ω>0，函数fx=sinωx+π3满足fπ2-x=-fx，且在区间π6,π3上单调，则ω为( )
A．43B．83C．4D．203
【答案】B
【分析】首先由fπ2-x=-fx得出ω=4k-43,k∈Z，再结合f(x)在区间π6,π3上单调，即可求解．
【详解】因为fπ2-x=-fx，所以fπ2-x+fx=0，即f(x)对称中心为(π4,0)，
所以fπ4=sinπ4ω+π3=0，即π4ω+π3=kπ,k∈Z，解得ω=4k-43,k∈Z，
又因为f(x)在区间π6,π3上单调，所以T2>π3-π6=π6，即2π2ω>π6，
所以ω0且ω=4k-43,k∈Z，
所以ω=4-43=83.
故选：B．

变式练习
1. 函数y=csx和y=sinx都是增函数的区间是( )
A．π2,πB．0,π2C．-π2,0D．-π,-π2
【答案】C
【分析】根据正余弦函数图像即可求得结果.
【详解】
函数y=csx和y=sinx在-π,π上的图像如图所示，
则由图像可知C选项符合题意，
故选：C.
2.函数fx=csπ2-x是( )
A．奇函数，在区间0,π2上单调递增B．奇函数，在区间0,π2上单调递减
C．偶函数，在区间0,π2上单调递增D．偶函数，在区间0,π2上单调递减
【答案】A
【分析】先利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数性质直接判断奇偶性和单调性即可.
【详解】因为函数f(x)=csπ2-x=sinx，是正弦函数，
所以f(x)是奇函数，且在区间0,π2上单调递增.
故选：A.
3.函数fx=2sinx+π3,x∈0,π的单调减区间是( )
A．0,π6B．0,π2C．π6,2π3D．π6,π
【答案】D
【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解.
【详解】令π2+2kπ≤x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,所以π6+2kπ≤x≤7π6+2kπ,k∈Z，
当k=0,π6≤x≤7π6，由于π6,π⊆π6,7π6，故D正确，ABC均错误，
故选：D
4.函数fx=cs2x-π4在下列哪个区间上单调递增( )
A．-π2,0B．0,π2C．-π4,0D．0,π4
【答案】C
【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案.
【详解】令2kπ-π≤2x-π4≤2kπ，k∈Z，得kπ-3π8≤x≤kπ+π8，
令k=0可得，fx的一个增区间为-3π8,π8，结合选项可得C符合题意.
故选：C
5.若函数y=sinπx-π6在0,m上单调递增，则m的最大值为( )
A．13B．23C．1D．2
【答案】B
【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出m的取值范围，即可得解.
【详解】对于函数y=sinπx-π6，令-π2+2kπ≤πx-π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得-13+2k≤x≤23+2k，k∈Z，
所以函数y=sinπx-π6的单调递增区间为-13+2k,23+2k，k∈Z，
当k=0时函数的一个单调递增区间为-13,23，
又函数y=sinπx-π6在0,m上单调递增，所以00)的图象关于直线x=π3对称，且在区间0,π6上单调，则ω的值是( )
A．23B．34C．32D．2
【答案】C
【分析】由条件结合余弦型函数的性质列关系式求ω.
【详解】因为函数fx=csωx+φ(ω>0)为奇函数，所以φ=kπ+π2，k∈Z，
又函数fx=csωx+φ(ω>0)的图象关于直线x=π3对称，所以ω×π3+φ=mπ，m∈Z，所以ω=3m-k-32，m-k∈Z，
由函数fx=csωx+φ(ω>0)为奇函数且在区间0,π6上单调，所以函数fx在区间-π6,π6，所以函数fx的周期T≥2π3，所以ω≤3，又ω>0，所以ω=32，
故选：C.
7.设函数fx=2csωx-φ+π3ω>0,-π2